Les matrices stochastiques sont des matrices particulières utilisées pour décrire l’évolution d’un système probabiliste. Elles apparaissent notamment dans l’étude des chaînes de Markov, où elles permettent de représenter les probabilités de passage d’un état à un autre. Chaque coefficient d’une matrice stochastique est positif ou nul et les coefficients de chaque ligne, ou de chaque colonne selon la convention choisie, ont une somme égale à \(1\). Cette propriété traduit le fait que la somme des probabilités de tous les événements possibles vaut toujours \(1\). Les matrices stochastiques permettent ainsi de relier l’algèbre linéaire aux probabilités. Leur étude fait intervenir les produits matriciels, les puissances de matrices, les valeurs propres et les comportements asymptotiques.
Définition d’une matrice stochastique
Soit :
\[
P=(p_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)
\]
On dit que \(P\) est une matrice stochastique par lignes lorsque :
\[
\forall i,j,\qquad p_{i,j}\geq0
\]
et lorsque, pour chaque ligne \(i\) :
\[
\sum_{j=1}^{n}p_{i,j}=1
\]
Ainsi, tous les coefficients sont positifs ou nuls et la somme des coefficients de chaque ligne vaut \(1\).
Une matrice stochastique par lignes est donc de la forme :
\[
P=
\begin{pmatrix}
p_{1,1}&p_{1,2}&\cdots&p_{1,n}\\
p_{2,1}&p_{2,2}&\cdots&p_{2,n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
p_{n,1}&p_{n,2}&\cdots&p_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
avec :
\[
p_{i,1}+\cdots+p_{i,n}=1
\]
pour chaque \(i\).
Selon les ouvrages, on peut également rencontrer des matrices stochastiques par colonnes. Dans ce cas, ce sont les colonnes qui ont une somme égale à \(1\).
Exemple simple
Considérons la matrice :
\[
P=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{3}{4}&\displaystyle \frac{1}{4}\\
\displaystyle \frac{2}{5}&\displaystyle \frac{3}{5}
\end{pmatrix}
\]
Tous ses coefficients sont positifs.
La somme des coefficients de la première ligne vaut :
\[
\displaystyle \frac{3}{4}+\displaystyle \frac{1}{4}=1
\]
La somme des coefficients de la deuxième ligne vaut :
\[
\displaystyle \frac{2}{5}+\displaystyle \frac{3}{5}=1
\]
La matrice \(P\) est donc stochastique par lignes.
Interprétation probabiliste
Les coefficients d’une matrice stochastique représentent généralement des probabilités de transition.
Supposons qu’un système puisse se trouver dans \(n\) états :
\[
E_1,\ldots,E_n
\]
Le coefficient \(p_{i,j}\) représente la probabilité de passer de l’état \(E_i\) à l’état \(E_j\) en une étape :
\[
p_{i,j}
=
\mathbb P(X_{k+1}=E_j\mid X_k=E_i)
\]
Pour un état initial \(E_i\) fixé, le système doit nécessairement évoluer vers l’un des états possibles. On a donc :
\[
\sum_{j=1}^{n}p_{i,j}=1
\]
Cette égalité explique pourquoi les lignes d’une matrice de transition ont une somme égale à \(1\).
Vecteur de probabilité
L’état probabiliste du système peut être représenté par un vecteur ligne :
\[
\pi_n=
\begin{pmatrix}
p_1^{(n)}&p_2^{(n)}&\cdots&p_n^{(n)}
\end{pmatrix}
\]
où \(p_i^{(n)}\) désigne la probabilité que le système se trouve dans l’état \(E_i\) à l’instant \(n\).
On a naturellement :
\[
p_i^{(n)}\geq0
\]
et :
\[
\sum_{i=1}^{n}p_i^{(n)}=1
\]
Si \(P\) est la matrice de transition, alors :
\[
\pi_{n+1}=\pi_nP
\]
En répétant cette relation :
\[
\pi_n=\pi_0P^n
\]
La connaissance des puissances de \(P\) permet donc de déterminer la répartition du système après plusieurs étapes.
Produit de matrices stochastiques
Le produit de deux matrices stochastiques par lignes est encore une matrice stochastique par lignes.
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices stochastiques de taille \(n\), et posons :
\[
C=AB
\]
Les coefficients de \(C\) sont positifs ou nuls, car ils sont obtenus comme des sommes de produits de coefficients positifs ou nuls.
De plus, pour une ligne \(i\) :
\[
\sum_{j=1}^{n}c_{i,j}
=
\sum_{j=1}^{n}
\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}
\]
En inversant les deux sommes :
\[
\sum_{j=1}^{n}c_{i,j}
=
\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}
\left(
\sum_{j=1}^{n}b_{k,j}
\right)
\]
Comme \(B\) est stochastique :
\[
\sum_{j=1}^{n}b_{k,j}=1
\]
Donc :
\[
\sum_{j=1}^{n}c_{i,j}
=
\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}=1
\]
Ainsi, \(AB\) est stochastique.
Par conséquent, toutes les puissances :
\[
P^n
\]
d’une matrice stochastique sont également stochastiques.
Valeur propre égale à \(1\)
Toute matrice stochastique par lignes possède \(1\) comme valeur propre.
Considérons le vecteur colonne :
\[
\mathbf 1=
\begin{pmatrix}
1\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}
\]
Comme la somme des coefficients de chaque ligne vaut \(1\), on obtient :
\[
P\mathbf 1=\mathbf 1
\]
Ainsi, \(\mathbf 1\) est un vecteur propre associé à la valeur propre :
\[
\lambda=1
\]
Cette propriété joue un rôle fondamental dans l’étude du comportement à long terme des chaînes de Markov.
Distribution stationnaire
Une distribution stationnaire est un vecteur de probabilité \(\pi\) tel que :
\[
\pi P=\pi
\]
Cela signifie que, si le système possède initialement la distribution \(\pi\), sa répartition ne change plus après une transition.
Le vecteur \(\pi\) est donc un vecteur propre à gauche associé à la valeur propre \(1\).
Pour la matrice :
\[
P=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{3}{4}&\displaystyle \frac{1}{4}\\
\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
on cherche :
\[
\pi=
\begin{pmatrix}
x&y
\end{pmatrix}
\]
tel que :
\[
\pi P=\pi
\]
avec :
\[
x+y=1
\]
La première équation donne :
\[
\displaystyle \frac{3}{4}x+\displaystyle \frac{1}{2}y=x
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{1}{2}y=\displaystyle \frac{1}{4}x
\]
Ainsi :
\[
x=2y
\]
Comme \(x+y=1\), on obtient :
\[
3y=1
\]
Donc :
\[
y=\displaystyle \frac{1}{3}
\qquad\text{et}\qquad
x=\displaystyle \frac{2}{3}
\]
La distribution stationnaire est donc :
\[
\pi=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{2}{3}&\displaystyle \frac{1}{3}
\end{pmatrix}
\]
Matrices bistochastiques
Une matrice est dite bistochastique lorsque la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne vaut \(1\).
Par exemple :
\[
P=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{2}{3}&\displaystyle \frac{1}{3}\\
\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
est bistochastique.
Dans ce cas, la distribution uniforme :
\[
\pi=
\begin{pmatrix}
\displaystyle \frac{1}{n}&\cdots&\displaystyle \frac{1}{n}
\end{pmatrix}
\]
est stationnaire.
En effet :
\[
\pi P=\pi
\]
La bistochasticité traduit donc un certain équilibre entre les différents états.
Comportement à long terme
Dans certaines situations, les puissances \(P^n\) convergent lorsque \(n\) tend vers l’infini.
On peut alors obtenir :
\[
\pi_n=\pi_0P^n\longrightarrow\pi
\]
où \(\pi\) est une distribution stationnaire.
Cela signifie que la répartition du système finit par devenir presque indépendante de l’état initial.
Cette convergence n’est toutefois pas automatique. Elle dépend de propriétés supplémentaires de la matrice, comme l’irréductibilité et l’absence de périodicité. Dans les exercices élémentaires, ces propriétés sont généralement traduites par des hypothèses simples sur les coefficients de la matrice.
Comment reconnaître une matrice stochastique ?
Pour vérifier qu’une matrice est stochastique par lignes, il faut :
- vérifier que tous ses coefficients sont positifs ou nuls ;
- calculer la somme des coefficients de chaque ligne ;
- vérifier que chaque somme vaut \(1\).
Dans un exercice, il faut ensuite penser à utiliser :
\[
\pi_{n+1}=\pi_nP
\]
puis :
\[
\pi_n=\pi_0P^n
\]
Si une distribution stationnaire est demandée, il faut résoudre :
\[
\pi P=\pi
\]
avec la condition :
\[
\sum_i\pi_i=1
\]
Conclusion
Une matrice stochastique est une matrice à coefficients positifs ou nuls dont chaque ligne a une somme égale à \(1\).
Elle représente généralement les probabilités de transition d’un système entre plusieurs états. Si \(P\) est la matrice de transition et \(\pi_0\) la distribution initiale, alors : \[ \pi_n=\pi_0P^n \] La valeur propre \(1\) joue un rôle central, notamment dans la recherche d’une distribution stationnaire vérifiant : \[ \pi P=\pi \]
Les matrices stochastiques constituent ainsi un outil fondamental pour étudier les chaînes de Markov et les systèmes probabilistes évoluant au cours du temps.
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