Retrouve dans cet article l’analyse de l’épreuve de Maths 2 appliquées ESSEC. Cette épreuve, particulièrement importante pour les étudiants qui font l’option maths appliquées, demande rigueur et maîtrise parfaite de son cours. Il ne faut pas également pas négliger la rédaction qui compte pour beaucoup dans la notation finale.
Toutes les informations concernant les concours BCE se trouvent dans notre rubrique dédiée Inside Concours BCE 2023. Si tu es encore en épreuve, nous te souhaitons le meilleur pour la suite des concours !
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Analyse du sujet maths 2 appliquées ESSEC 2023
Commentaires généraux
Le problème portait sur les processus de Markov ce qui est assez classique. Il introduisait de nombreuses notations, il fallait donc prendre le temps de bien les comprendre (au risque d’être bien perdu par la suite😅). La partie 1 te permet de découvrir les notions en jeu et de prendre en main les notations. La partie 2 est une partie informatique. La partie 3 est une application et la partie 4 te permet de démontrer une formule que tu as admise et utilisée dans les parties précédentes.
Partie 1 :
La question 1) n’était qu’une application de la formule des probabilités totales. Pour la question 2, on remplace la probabilité selon la propriété (H5) donnait par l’énoncé. Dans la question 3, on s’appuie sur (H4). Il faut ensuite bien faire le lien entre la probabilité et la fonction \(f\). On reconnait le taux de d’accroisement qui nous permet ensuite de conclure.
Dans la question 4), on introduit une nouvelle variable. On s’appuie sur le théorème de transfert pour conclure sur l’espérance.
Avec les question 5) et 6), tu traites un cas particulier. Cela te permet d’y voir plus clair pour la suite. Il faut bien faire le lien entre les questions pour exploiter tous les résultats que tu as trouvé précédemment.
Dans la question 7), on fait surtout attention à ne pas confondre les variables ! Formule des probabilités totales et indépendance te permettent de répondre. On se ramène ensuite aux propriétés des variables à densité.
Partie 2 :
La question 8) te fait jongler entre les notations. Pour le c) rappelle-toi que le coefficient \(i,j\) du produit de deux matrices \(A\) et \(B\) dont on note les coefficients respectifs \((a)_{i,j}\) et \((b)_{i,j}\) est donné par \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\). Le d) n’est qu’une itération.
La suite de la partie n’est que de la programmation.
Partie 3 :
Dans la question 10), on utilise des récurrences et on se rappelle bien de ce que représente \(M(t)\) et \(P(X=1), P(X=2), P(X=3)\). On pensera bien à la formule du binôme de Newton pour le c).
Dans la 11), on travaille sur le polynôme annulateur U. On remarque que 0 et 1 sont racines de U d’où on déduit que \(c=1\) et que \((1+\frac{\theta}{k})^k)=a+b+c\) en évaluant (*) en ces valeurs. La c) est une résolution de système. On revient ensuite à \(M(t)\).
Partie 4 :
La question 12) te permet de verifier avoir bien compris ce qu’est \(||A||\). Attention, il s’agit bien du max de la somme des valeurs absolues des coefficients d’une même ligne et pas juste le plus grand coefficient de la matrice.
Pour la 13), M(t) est une matrice de probabilités conditionnelles. La somme d’une même ligne donne 1.
Dans la question 14), tu as d’abord besoin de l’inégalité triangulaire avec les valeurs absolues pour la a). Pour la b), on somme toutes les valeurs trouvées en faisant les sommes des valeurs absolues de toutes les lignes. Ce ne sont donc que des valeurs positives, et parmi elles se trouvent le max… Pour la c), on rappelle encore une fois que le coefficient \(i,j\) du produit de deux matrices \(A\) et \(B\) dont on note les coefficients respectifs \((a)_{i,j}\) et \((b)_{i,j}\) est donné par \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\). Quant aux questions d) et e), elles permettent à ceux qui lisent le sujet en entier de gagner quelques points !
On passe à la dernière question ! Dans la question 10)c) on a une expression de \(M(t)\) en fonction de \(I\) et de \(G\) c’est sur elle que l’on va s’appuyer. On étudie la limite du quotient par \(\frac{1}{k}\). Pour la b) on pense à exploiter les résultats de la question 13) (a, b et e). Puisque \(||M(\frac{t}{k})^k- (I+\frac{t}{k}G)^k|| \ge 0\) alors d’après la b) (on se ramène à la définition d’un petit o), on peut conclure au résultat de la question c).
Une correction détaillée arrive bientôt !
N’hésite pas à retrouver le sujet des Maths 2 appliquées ESSEC 2023 par ici.
Bonne courage pour cette épreuve de Maths II appliquées ESSEC 2023 ! Tu pourras retrouver toute l’actualité du concours BCE 2023 sur notre rubrique Inside Concours BCE 2023.
