Découvre cette année la première analyse de la nouvelle édition des maths approfondies Ecricome 2023 ! Il y a quelques mois, on vous annonçait la sortie des sujets 0 taillés sur le nouveau programme de cette épreuve (dans les faits, rien ne change quasiment pour les maths approfondies…), maintenant, place à l’analyse !
Tu peux retrouver le sujet de maths approfondies Ecricome 2023, ou sa correction complète est à venir dans la semaine du 17 avril…
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Analyse du sujet de maths approfondies Ecricome 2023
La forme de ce sujet Ecricome approfondies 2023 est restée classique malgré le changement de programme. En effet, on retrouve deux exercices puis un problème. L’exercice 1 mêle matrices et polynômes, l’exercice deux se concentre sur de l’algèbre bilinéaire et un peu d’analyse, quant au problème, il se centre autour des variables aléatoires à densité et un peu d’estimation. Globalement, le sujet était plutôt abordable avec plein de thèmes et de questions classiques que les préparationnaires les plus assidus auront forcément déjà traité dans leurs entraînements personnels.
Exercice 1 : étude d’une paire de matrices commutantes du type \(AB=BA\)
Partie 1
On commence le sujet en douceur avec l’étude de deux matrices carrées de taille \( 2 \times 2\). La question 1) se concentre sur du pur calcul classique (des points faciles à gagner donc). S’enchaînent ensuite les questions 2 et 3 qui restent essentiellement du calcul et des raisonnements assez abordables à mettre en place (vecteur propre, inversibilité, rang…).
Les questions 4) et 5) demandent un peu plus d’efforts de reflexion. On peut procéder par double inclusion pour montrer que les matrices \(AB\) et \(BA\) ont le même spectre par exemple. Quant aux sous-espaces propres de la question 5), il y a de fortes chances à parier que la réponse à cette question est non. Faire appel à un raisonnement par l’absurde pour montrer cette question est la façon la plus rigoureuse d’y répondre.
Partie 2
Cette partie se concentre sur l’étude du polynôme annulateur \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\alpha_kA^k\) de la matrice \(A\) dans le cas (d’où la partie 1 en exemple préliminaire) où \(AB=BA\).
Les sous-questions de la question 6 se rapprochent beaucoup à des questions de cours (existence d’un polynôme annulateur, racines d’un polynôme, famille libre-liée…). Les questions qui suivent se compliquent légèrement et demandent d’avoir des bases plus solide en algèbre linéaire. On peut toutefois repérer des questions assez simple pour “gratter des points” à l’instar de la 10)a) dont la forme reste relativement classique. La question 11) demande une très bonne compréhension de tout l’exercice et se concentre sur l’étude de l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\).
Exercice 2 : minimisation de fonctionnelle quadratique
Cet exercice reprend un thème relativement classique autour des fonctions quadratiques : on cherche ici à minimiser une fonction assez connue : la fonction \(g: x \mapsto \frac{1}{2}\langle f(x), x \rangle – \langle u, x \rangle\). Il s’agit donc essentiellement d’un exercice d’algèbre bilinéaire couplé avec un peu d’analyse (fonctions à plusieurs variables notamment).
On commence avec quelques questions et résultats classiques autour des endomorphismes / matrices symétriques et du théorème spectral.
La question 2)b) traite la démonstration d’un résultat qui a été enlevé du nouveau programme des fonctions à plusieurs variables : l’encadrement de la forme quadratique. Cependant, cette démonstration restait et reste très classique. Les candidats les plus préparés ont forcément su faire cette question convenablement.
La question 3) nous emmène à calculer le gradient de \(g\), dont la forme reste très connue pour cet exercice.
Les questions 4), 5) et 6) nous prépare à trouver une expression pour minimiser \(g(m)\), \(m\) étant le point critique de la fonction, donc le point où est atteint son minimum.
l’exercice commence vraiment à se compliquer à partir de la question 8) où le candidat risque de se perdre dans la multiplication des notations. En effet, on introduit des \((m_p)\); le but du restant de l’exercice étant de trouver et de conjecturer la valeur \((m_p)\) la plus précise qui puisse minimiser la fonction \(g\)
La question 9) nous fait enfin aboutir à une façon de minimiser \(g(m)\).
La question 10) se concentre sur un exemple, dans le cas où \(n=2\) et \(u=(2,1)\).
Elle introduit des interprétations graphiques qui nous permettent de conjecturer une valeur de \(m\)
Problème : étude et application de la loi logistique standard
Partie 1
La première partie du problème se concentre sur l’étude de la loi logistique standard. Rien de plus classique comme étude de variable aléatoire à densité. Cette loi était déjà tombée aux maths II 2019 ECS.
Partie 2
Cette partie se concentre sur l’étude de la variance de la variable aléatoire \(X\) qui suit la loi logistique standard.
Pour ce faire, on s’intéresse d’abord au calcul de la série de Riemann alternée d’ordre 2 \(\displaystyle \sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\) dans les questions 7 et 8
Partie 3
Dans cette partie, on introduit un échantillon de la loi de \(X\), on introduit un estimateur \(V_n\) et on cherche à calculer un intervalle de confiance autour de cette loi. Pas mal de questions de python et d’interprétation graphiques permettront de gratter des points facilement. On reconnait également un grand classique des questions de probabilités, à savoir les questions 18 et 19 qui représentent la méthode d’inversion.
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