Comme à son habitude, le sujet de maths 1 a été difficile pour les élèves qui ont planché sur l’option maths approfondies. Bien plus technique que les autres épreuves, la maths 1 approfondies HEC/ESSEC demande une maîtrise absolue de l’ensemble du programme des deux ans de prépa et il est extrêmement difficile d’en venir à bout. Retrouve dans cet article l’analyse des maths I approfondies HEC/ESSEC 2023.
Si tu n’as pas encore vu le sujet, tu peux le trouver sur cet article dédié.
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L’analyse du sujet maths I approfondies HEC/ESSEC 2023
Commentaires généraux
Ce beau problème de trois partie mêle aussi bien l’analyse, l’algèbre et les probabilités.
Partie I préliminaire concernait le problème des moments, un grand classique en maths ECG, très abordable, la partie II se centrait sur le problème de Stieltjes, où la difficulté monte d’un cran, avec tout de même quelques questions classiques / faisables. La partie III était classique puisqu’elle concernait le problème de Hausdorff, en particulier la partie III.3). On compte quelques questions de Python qui pourront rapporter des points aux meilleurs candidats
Partie I
La question 1 (a ou b) se fait assez facilement. Il suffit de montrer que pour tout n \(\in \mathbb N \), l’intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty}t^nf_X(t)dt\) converge absolument, donc pour tout n \(\in \mathbb N \), \(X\) admet un moment d’ordre \(n\), donc \(X\) admet un moment à tout ordre.
Partie II
- La question 2) est purement calculatoire, les points sont bons à prendre par ici
- La question 3) est l’explicitation d’une forme quadratique, il suffit de bien connaître sa définition du produit matriciel pour y arriver.
- Pour la question 4), il faut s’aider de la relation (2), montrer que l’intégrale est positive par positivité de l’intégrale, donc la forme quadratique est positive. Ensuite on peut conclure cette question très classique en utilisant le quotient de Rayleigh pour montrer que toutes les valeurs propres sont bien positives.
- La question 5) emploie une méthode analogue à la question 4)
- Nouvelle question calculatoire pour la 6), où on étudie une inégalité à l’aide des premières termes de la suite \(u\)
- La question 7) s’achève par un simple théorème de comparaison des séries à termes positifs pour montrer que la série \(\displaystyle \sum (u_n)^{-\frac{\theta}{n}}\) diverge
- Pour la convergence des intégrales \(\int_{-\infty}^{+\infty}t^ne^{-t}\sin(t)dt\) et \(\int_{-\infty}^{+\infty}t^ne^{-t}\cos(t)dt\) de la question 9), il suffit de remarquer que \(\forall t \in \mathbb R, |\cos(t)| \le 1\) et \(\forall t \in \mathbb R, |\cos(t)| \le 1\), pour ensuite trouver un majorant simple de l’intégrande et enfin terminer par théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives
- La question 10) est calculatoire et devrait se faire par intégration par parties
- La question 11) nécessite une utilisation cachée des formules de trigonométrie du type \(\cos(a)+\sin(b)\) et \(\cos(a)-\sin(b)\) après avoir justifié la linéarité de l’intégrale.
- La question 13) se montre par récurrence. Il s’agit d’une itération issue de la question 12).
- On nous guide pour la question 15) : par un changement de variable.
Partie III
- La question 18) se fait par récurrence.
- Les questions 20), 22), 23) sont assez calculatoires (donc faisables)
- La question 26) est une simple application directe du cours : utiliser l’inégalité des accroissements finis
- La question 27) se fait en posant \(y=Z_n\) (attention à bien le justifier), puis en utilisant la croissance de l’espérance.
- Les questions de la fin se compliquent et font intervenir une fonction à deux variables
Si tu n’as pas encore vu le sujet de maths 1 approfondies 2023, tu peux le trouver par ici.
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