Comme tu le sais, les matrices symétriques réelles jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées et de la physique. Leur manipulation efficace est cruciale pour résoudre divers problèmes. Dans cet article, nous explorerons une méthode générale de réduction des matrices symétriques réelles, une compétence essentielle que tout étudiant de prépa devrait connaître.
Matrices symétriques
Avant de plonger dans la méthode de réduction, il faut rappeler le principe de la symétrie.
Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa transposée. Cette propriété offre des avantages nombreux dans la simplification des calculs. Pour tirer parti de cette symétrie, nous devons développer une approche méthodique.
Tu peux jeter un coup d’œil à cet article pour en apprendre plus sur la caractérisation des matrices symétriques et le coefficient de Rayleigh.
Diagonalisation
La première étape consiste à diagonaliser la matrice symétrique réelle.
La diagonalisation permet de représenter la matrice sous une forme simplifiée, avec des éléments diagonaux et des zéros ailleurs. Ceci est rendu possible par la décomposition spectrale qui utilise les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice.
Pour revoir le cas général, clique sur ce lien.
Étape 1 : Calcul des valeurs propres
On calcule d’abord les valeurs propres de la matrice symétrique réelle en résolvant l’équation caractéristique. Les valeurs propres sont les racines de cette équation.
Par exemple, considérons une matrice symétrique réelle :
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & 3 \\ -2 & 3 & 7 \end{bmatrix} \)
Calculons les valeurs propres en résolvant l’équation caractéristique \( \text{det}(A – \lambda I) = 0 \), où \( I \) est la matrice identité.
\(\text{det}\left(\begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 & -2 \\ 1 & 5-\lambda & 3 \\ -2 & 3 & 7-\lambda \end{bmatrix}\right) = 0 \).
La résolution donne trois valeurs propres \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 11 \).
Étape 2 : Calcul des vecteurs propres
Pour chaque valeur propre, trouve les vecteurs propres associés. Ces vecteurs propres forment une base qui diagonalise la matrice. Utilise-les pour construire la matrice de passage.
Pour \( \lambda_1 = 1 \), résolvons \( (A – \lambda I)X = 0 \) pour obtenir le vecteur propre \( X_1 \).
\[ (A – \lambda_1 I)X_1 = 0 \]
Après résolution, on obtient \( X_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \).
De manière similaire, pour \( \lambda_2 = 4 \), \( X_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \), et pour \( \lambda_3 = 11 \), \( X_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \).
Étape 3 : Diagonalisation
La matrice de passage est formée en plaçant les vecteurs propres en colonnes.
\( P = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
La matrice diagonale \( D \) est en général obtenue en effectuant la multiplication inverse \( D = P^{-1}AP \).
Regarde cet article pour te rappeler comment inverser une matrice.
Lorsqu’on diagonalise une matrice symétrique \( A \), il existe une caractéristique supplémentaire. En raison de la symétrie de la matrice, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Par conséquent, la matrice de passage \( P \) peut être choisie de manière à être une matrice orthogonale.
\( A = PDP^t \). Ici, \( P^t \) représente la transposée de la matrice \( P \). La propriété d’orthogonalité de \( P \) simplifie la manipulation et la compréhension de la matrice de passage.
Dans notre exemple, on obtient finalement :
\( D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} \).
J’espère que ce court article t’aura été utile. Il t’est absolument nécessaire de t’entraîner à diagonaliser des matrices le plus rapidement possible. Pour aller un peu plus loin sur les matrices symétriques, tu peux aussi regarder cet article.
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources mathématiques.
