On va se concentrer sur l’analyse, et plus particulièrement sur l’étude de la convexité et de la concavité des fonctions. Voici quelques petites astuces qui te seront utiles tout au long de tes deux années de prépa.
Si tu veux commencer par réviser le cours, je te conseille de lire cet article, portant sur les inégalités de convexité/concavité.
Rappel de cours sur les fonctions concaves/convexes
On dit qu’une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) si \(\forall (x_1,x_2)\in I^{2}, \forall (t_1,t_2)\in [0,1]^{2} \) tel que \(t_1+t_2=1\), on a : \(f(t_1x_1+t_2x_2) \le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)\)
On dit qu’une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(I\) si \(\forall (x_1,x_2)\in I^{2}, \forall (t_1,t_2)\in [0,1]^{2} \) tel que \(t_1+t_2=1\), on a : \(f(t_1x_1+t_2x_2) \ge t_1f(x_1)+t_2f(x_2)\)
Inégalité de Jensen :
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\), \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall (x_1,x_2,…,x_n) \in I^{n}, \forall (t_1,t_2,…,t_n)\in [0,1]^{n} \) tel que \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_i =1\), on a : \(f \left (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.x_k\right) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.f(x_k)\)
Sous les mêmes conditions, mais avec \(f\) concave, on a : \(f \left (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.x_k\right) \ge \displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.f(x_k)\)
Passons maintenant à quelques astuces qui te sauveront la vie en DS.
Petites démonstrations classiques
Astuce 1 : Savoir démontrer par récurrence la propriété du cours (inégalité de Jensen)
On procède par récurrence sur l’entier n. Soit Pn la proposition :
Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\), \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall (x_1,x_2,…,x_n) \in I^{n}, \forall (t_1,t_2,…,t_n)\in [0,1]^{n} \) tel que \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_i =1\), on a : \(f \left (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.x_k\right) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_k.f(x_k)\)
- P1 est vraie (égalité).
- Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn implique Pn+1.
Soit \((t_1,t_2,…,t_n,t_{n+1})\in [0,1]^{n+1}\) tels que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}t_i =1\) et \((x_1,x_2,…,x_n,x_{n+1}) \in I^{n+1}\).
On pose \(\alpha_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_i \) donc \(t_{n+1}=1-\alpha_n\) et \(y_n= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{\alpha_n}x_i\)
Puisque f est convexe, il vient :
\(f[\alpha_n.y_n +(1-\alpha_n)x_{n+1}]\le \alpha_nf(y_n)+(1-\alpha_n)f(x_{n+1})\) (1)
Comme \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{t_i}{\alpha_n}=1\), on peut se servir de l’hypothèse de récurrence pour écrire :
\(f(y_n)\le \frac{1}{\alpha_n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_if(x_i)\).
D’où, si on remplace dans l’inégalité (1), il vient :
\(f[\alpha_n.y_n +(1-\alpha_n)x_{n+1}]\le \displaystyle \sum_{i=1}^{n}t_if(x_i)+(1-\alpha_n)f(x_{n+1})\).
Remplaçons \(y_n et \alpha_n\) par leur expression, et on obtient :
\(f \left (\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}t_k.x_k\right) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}t_k.f(x_k)\).
D’où la récurrence.
Astuce 2 : Savoir démontrer l’inégalité arithmético-géométrique
- Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Pour tous réels \((x_1,…,x_n)\) strictement positifs, montrons que : \(\displaystyle \sqrt[n]{x_1.x_2…x_n}\le \frac{x_1+…+x_n}{n}\)
Méthode : souvent, il est intéressant de se débarrasser du produit en appliquant le logarithme qui est strictement croissant. L’inégalité revient alors a : \(\displaystyle \frac{1}{n}(ln(x_1)+…+ln(x_n))\le ln(\frac{x_1+…+x_n}{n})\)
On se rend alors compte que l’inégalité va découler de la concavité du \(ln\), c’est-à-dire la convexité de \(-ln\)
La fonction \(-ln\) est convexe sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), car elle est de classe \(C^2\) et \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, -ln^{(2)}(x) =\frac{1}{x^{2}}>0\).
En appliquant l’inégalité de Jensen avec les coefficients égaux à \(\displaystyle \frac{1}{n}\), on a pour tous réels \(x_1,…,x_n\) :
\(\displaystyle -ln\left(\frac{x_1+…+x_n}{n}\right)\le \frac{-ln(x_1)-…-ln(x_n)}{n}\).
L’opposé donne alors \(\displaystyle \frac{ln(x_1)+…+ln(x_n)}{n}\le ln\left(\frac{x_1+…+x_n}{n}\right)\).
On applique l’exponentielle qui est croissante aux deux membres de cette inégalité et on obtient :
\(\displaystyle e^{\frac{ln(x_1)+…+ln(x_n)}{n}}\le\frac{x_1+…+x_n}{n}
\Leftrightarrow
(x_1…x_n)^{\displaystyle \frac{1}{n}}\le\frac{x_1+…+x_n}{n}
\Leftrightarrow
\displaystyle \sqrt[n]{x_1.x_2…x_n}\le \frac{x_1+…+x_n}{n}\)
Propriétés des fonctions convexes
Astuce 3 : Savoir démontrer que la somme de deux fonctions convexes est une fonction convexe
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions convexes sur un intervalle \(I\), alors \(\forall t \in [0,1] \), pour tout couple \( (a,b) \in I^{2}:
\begin{cases}
f(ta+(1-t)b) \le tf(a)+(1-t)f(b)\\
g(ta+(1-t)b) \le tg(a)+(1-t)g(b) \\
\end{cases} \)
En ajoutant membre à membre, on en déduit :
\((f+g)(ta+(1-t)b) \le t(f+g)(a)+(1-t)(f+g)(b)\)
Conclusion : on en déduit que \(f+g\) est convexe.
Remarque : On ferait la même démonstration si \(f\) et \(g\) étaient concaves, avec les inégalités dans l’autre sens.
Astuce 4 : Savoir démontrer que la composée de deux fonctions convexes est convexe
Soient \(f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) telles que \(f\) et \(g\) soient convexes et \(g\) croissante.
Soient \( (a,b)\in \mathbb{R}^{2}\) et \(\forall t \in [0,1] \) :
Par convexité de \(f\), on a : \(f(ta+(1-t)b) \le tf(a)+(1-t)f(b)\)
Par croissance de \(g\), on déduit que : \(gof(ta+(1-t)b) \le g(tf(a)+(1-t)f(b))\)
La convexité de \(g\) permet de conclure que \(gof(ta+(1-t)b) \le t gof(a)+(1-t) gof(b)\)
Cela signifie bien que \(gof\) est convexe.
L’inégalité de Hölder
Énoncé :
Soient \(p,q > 1\) des nombres réels tels que \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). Pour tous \((x_1,…,x_n)\in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \((y_1,…,y_n)\in \mathbb{R}_{+}^{*}\), on a :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^p\right) ^{\frac{1}{p}}\times \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}\)
Astuce 5 : Savoir démontrer l’inégalité de Hölder
- Montrons que pour \((x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{*}, xy\le \frac{1}{p}x^p + \frac{1}{q}y^q\)
Utilisons la fonction exponentielle, que nous savons convexe sur \(\mathbb{R}\).
La fonction exponentielle réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). Il existe donc 2 réels \(a\) et \(b\) tels que \(x=e^{a}\) et \(y=e^b\).
On peut donc écrire :
\(\displaystyle xy=e^{a}\times e^b=e^{a+b}=e^{\frac{1}{p}(pa)+\frac{1}{q}(qb)}\).
La fonction exponentielle étant convexe sur \(\mathbb{R}\), d’après l’inégalité de Jensen, on peut écrire que :
\(\displaystyle xy=e^{\frac{1}{p}(pa)+\frac{1}{q}(qb)}\le \frac{1}{p}e^{pa}+\frac{1}{q}e^{qb}\)
Or, \(e^{pa}=x^p\) et \(e^{qb}=y^q\) donc :
\(\displaystyle xy\le \frac{1}{p}x^p + \frac{1}{q}y^q\)
- Montrons que pour deux suites \((x_1,…,x_n)\in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \((y_1,…,y_n)\in \mathbb{R}_{+}^{*}\), on a
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^p\right) ^{\frac{1}{p}}\times \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}\)
Posons \(\alpha = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^p\right) ^{\frac{1}{p}}\) et \(\beta = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}\) et pour tout \(i \in [\![1,n]\!], a_i=\frac{x_i}{\alpha}>0 \) et \(b_i=\frac{y_i}{\beta}>0 \).
D’après la question précédente, on a \(a_ib_i \le \frac{1}{p}a_i^p+\frac{1}{q}b_i^q\)
En passant à la somme dans cette inégalité lorsque \(i\) varie de 1 à n, il vient :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \le \frac{1}{p}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i^p + \frac{1}{q}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i^q\) et en remplaçant, on a :
\(\frac{1}{\alpha\beta}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \frac{1}{p}\frac{1}{\alpha^p} \underbrace{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^p}_{\alpha^p} + \frac{1}{q}\frac{1}{\beta^q} \underbrace{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}y_i^q}_{\beta^q}\).
D’où :
\(\frac{1}{\alpha\beta}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \Rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \alpha\beta \), c’est-à-dire :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^p\right) ^{\frac{1}{p}}\times \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}\)
L’inégalité de Bernoulli
Astuce 6 : Savoir démontrer l’inégalité de Bernoulli
Soit \(n\ge 2\).
- Étudions la convexité de la fonction \(f\) définie sur
[−1;+∞[ telle que \(f(x)=(1+x)^{n}\)
\(f\) est deux fois dérivable sur [−1;+∞[. De plus, \(\forall x \ge -1 \), on a : \(f'(x)=n(1+x)^{n-1}\) et \(f^{(2)}=n(n-1)(1+x)^{n-2} \ge 0\)
Ainsi, \(f^{(2)}(x)\ge 0 \forall x \ge -1\). On en déduit que \(f\) est convexe sur[−1;+∞[.
- Déduisons nous que \(\forall x \ge -1, (1+x)^{n} \ge 1+nx\)
Puisque \(f'(0)=n\), l’équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \((0,f(0))\) est \(y=f'(0)(x-0)+f(0)=1+nx\). La fonction étant convexe, sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes, d’où \(\forall x \ge -1, (1+x)^{n} \ge 1+nx\)
Tu maîtrises maintenant parfaitement la convexité et la concavité des fonctions ! N’hésite pas à consulter toutes nos ressources mathématiques.
