Introduction Une fonction est convexe lorsque son graphe pointe vers le bas, comme la fonction exponentielle ou la fonction carré. Inversement, une fonction est...

Introduction

Une fonction est convexe lorsque son graphe pointe vers le bas, comme la fonction exponentielle ou la fonction carré. Inversement, une fonction est concave lorsque son graphe pointe vers le haut, comme la fonction racine ou ln. Pour vous en souvenir, vous pouvez par exemple utiliser le moyen mnémotechnique « convexponentielle » qui vous dit que exp est convexe, et j’imagine que vous connaissez le graphe de exp.

Nous venons de voir la définition graphique de la convexité, voyons maintenant sa définition mathématique. Les formules qui suivent traiteront uniquement des fonctions convexes, pour obtenir les résultats avec les fonctions concaves, il suffira d’inverser le sens des inégalités, donc pas de panique !

 

I – Définition mathématique

Soit un intervalle de R. Une fonction est convexe sur I si et seulement si pour tous et de et pour tout de [0,1], on a :

f\left(tx+(1-t)y\right)\leq t\,f(x)+(1-t)\,f(y).

On dit qu’une fonction est convexe si son graphe est en dessous de ses cordes. Voici une illustration graphique de cette formule :

Résultat de recherche d'images pour "f convexe"

Dans la pratique, pour montrer qu’une fonction est convexe, il suffit de montrer que f ” est positive (c’est plus rapide).

 

II – La formule à connaître

Si est convexe sur un intervalle I, alors le graphe de est situé au-dessus de ses tangentes sur I. Ce qui se traduit mathématiquement par la propriété suivante :

Pour tous et de I, on a :

f(y) > f(x) + f'(x)\cdot(y-x)

C’est cette formule que l’on utilise le plus dans les énoncés de concours, elle permet de gagner du temps et de montrer au correcteur que vous maîtrisez votre sujet. Voyons quelques exemples d’application.

 

III – Exemples d’application

 

Question 1 :

Montrer que pour tout x > 0, ln( x + 1 ) ≤ x.

Réponse 1 :

Pour tout x > 0, ln”( x ) = -1/x^2 < 0 donc ln est concave sur R+*. Ainsi, le graphe de ln est en dessous de ses tangentes, en particulier sa tangente en 1. Ce qui s’écrit :

ln( x ) ≤ ln'( 1 )( x – 1 ) + ln( 1 )

i.e

ln( x ) ≤ x – 1

En appliquant cette formule en x + 1, on obtient bien ln( x + 1 ) ≤ ( x + 1 ) – 1 = x d’où le résultat.

Question 2 :

Montrer que pour tout de R, exp( – x ) ≥ 1 – x.

Réponse 2 :

exp est convexe sur R donc son graphe est au-dessus de ses tangentes et en particulier celle en 0, ce qui s’écrit :

exp( x ) ≥ exp’ (x)( x – 0 ) + exp( 0 )

i.e

exp( x ) ≥ x + 1

En appliquant cette formule en – x, on obtient bien exp( – x ) ≥ 1 – x.

 

IV – Pour aller plus loin

Notez que dans une question de Maths II ECS 2018, on devait utiliser le résultat ln( 1 + x ) ≤ x sans avoir eu à le démontrer avant, c’est vous dire l’importance de ces formules bien qu’elles soient hors programme ! Voici la question et la réponse :

Question :

Réponse rapide :

Voici ce que j’ai écrit sur ma copie :

 

Si vous voulez aller plus loin sur ce thème, vous pouvez faire le sujet Maths I HEC ECS 1997, un peu difficile mais très formateur.

Conclusion

Vous savez maintenant tout ce qu’il y a à savoir sur la convexité des fonctions. Les deux exemples que nous venons de voir sont à connaître par cœur car ces questions tombent très souvent aux concours (et c’est plus classe d’y répondre comme cela plutôt que de tout passer d’un côté et d’étudier la fonction).

On se retrouve très bientôt pour de nouvelles astuces mathématiques, et pendant ce temps-là, entraînez-vous !

 

 

 

 

 

Yann Merlaud

Étudiant à l'EDHEC après une prépa ECS au Lycée Camille Vernet. Ma spécialité sont les mathématiques.