graphe exp(x^2)

Introduction

Hello ! On se retrouve aujourd’hui pour parler d’analyse. La convexité est un chapitre important de la prépa ECG, qui trouve bien des usages en deuxième année, notamment au moment de la préparation des oraux. Alors soit bien attentif et garde ce cours dans un coin de ta tête !

I – La notion de convexité expliquée en français

Une fonction est convexe lorsque son graphe pointe vers le bas, comme la fonction exponentielle ou la fonction carré.

Inversement, une fonction est concave lorsque son graphe pointe vers le haut, comme la fonction racine ou \( \ln\).

graphe de la fonction exponentielle
Graphe de la fonction \(  x \mapsto e^{x} \).
Graphe fonction ln
Graphe de la fonction \(  x \mapsto \ln(x) \).

II – Définition mathématique d’une inégalité de convexité/concavité

Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R}\). Une fonction \( f \) est convexe sur \( I \) si, et seulement si :

\[  \forall (x,y) \in I^2, \forall t \in [0,1], f( tx + (1-t)y)  \le  tf(x)  + (1-t)f(y) \]

Cela revient à dire que la courbe de \(f\) se situe en dessous de ses cordes. Voici une illustration graphique de cette formule :

graphe exp(x^2)
Graphe de \( x \mapsto \exp(x) \) et corde reliant les points d’abscisse \(e^{-1}\) et \(e\)

Dans la pratique, pour montrer qu’une fonction est convexe, il suffit de montrer que la dérivée seconde de la fonction est positive (c’est plus rapide).

Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R}\). Une fonction \( f \) est concave sur \( I \) si, et seulement si :

\[  \forall (x,y) \in I^2, \forall t \in [0,1], f( tx + (1-t)y)  \ge  tf(x)  + (1-t)f(y) \]

C’est donc lorsque \( -f \) est convexe …

Cela revient à dire que la courbe de \(f\) se situe au-dessus de ses cordes. Voici une illustration graphique de cette formule :

Graphe ln + corde
Graphe de \( x \mapsto \ln(x) \) et corde reliant les points d’abscisse \(1\) et \(e\)

Dans la pratique, pour montrer qu’une fonction est concave, il suffit de montrer que la dérivée seconde de la fonction est négative (c’est plus rapide).

III – Les formules à connaître autour des inégalités de convexité/concavité

Convexité, concavité et tangentes :

Si \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\), alors le graphe de \(f\) est situé au-dessus de ses tangentes sur \(I\). Si \(f\) est concave sur un intervalle \(I\), alors le graphe de \(f\) est situé en-dessous de ses tangentes sur \(I\).

Illustration graphique :

ln et tangente
Graphe de \( x \mapsto \ln(x) \) et tangente au point d’abscisse \(1\)

Ce qui se traduit mathématiquement par la propriété suivante :

Si \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\), alors :

\[ \forall \displaystyle (x, a) \in I^2, f(x) \ge f'(a)(x-a) + f(a) \]

Si \(f\) est concave sur un intervalle \(I\), alors :

\[ \forall \displaystyle (x, a) \in I^2, f(x) \le f'(a)(x-a) + f(a) \]

C’est cette formule que l’on utilise le plus dans les énoncés de concours, elle permet de gagner du temps et de montrer au correcteur que vous maîtrisez votre sujet. Voyons quelques exemples d’application.

Théorème : L’inégalité de Jensen

Soit \( f : I \to \mathbb{R} \).

\( f \) est convexe si, et seulement si, \( \\ \) pour tout \( n \ge 2\), pour tous \( x_1, … , x_n \in I\) et pour tout réels \( \lambda _1, …, \lambda _n \in [0,1]\) tels que \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda _k = 1\), on a l’inégalité suivante :  \(f(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda _k x_k) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda _k f(x_k)\).

IV – Exemples d’application des inégalités de convexité et de concavité

Question 1 :

Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ln(1+x) \le x \).

Question 2 :

Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R}, \exp(-x) \ge 1-x \).

Question 3 :

Montrer que : \( \forall (x_1, …, x_n) \in (]0,+\infty[)^n, 1 + (\displaystyle \prod_{k=1}^{n} x_k)^{1/n} \le (\displaystyle \prod_{k=1}^{n} (1+x_k))^{1/n}\) .

Réponse 1 :

\( \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, ln^{(2)}(x+1) = \frac{-1}{(x+1)^2} < 0 \)

\(x \mapsto \ln(x+1) \) est donc concave sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \) et son graphe se situe en dessous de ses tangentes, en particulier au point d’abscisse 0 : \( T_0(x) = \ln'(0+1)(x-1) + \ln(0+1) \).

D’où la conclusion: \[ \fbox{ \( \ln(x+1) \le x \)} \].

ln(1+x)

Réponse 2 :

L’\( \exp \) est convexe sur \(\mathbb{R}\)  donc son graphe est au-dessus de ses tangentes et en particulier celle au point d’abscisse \(0\), ce qui s’écrit : \(\exp(x) \ge \exp'(x)( x – 0 ) + \exp(0)\) i.e \(\exp( x ) \ge  x + 1\).

En appliquant cette formule en \(- x\)on obtient bien : \[ \fbox{\( \exp(- x) \ge 1 – x \) } \].

exp(x) et x+1

Réponse 3 :

Soit \( f : x \mapsto \ln(1 + e^{x}) \).

\(f\) est bien dérivable sur \( \mathbb{R}_{+}^{*} \) et pour tous \( x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f^{(2)}(x)= \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^2} > 0 \) :  \(f\) est convexe sur \( \mathbb{R}_{+}^{*} \).

D’après l’inégalité de Jansen ( \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} = 1 \)), on a :

\( \displaystyle \ln(1 + e^{\sum_{k=1}^{n}\ln(x_k)}) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln(1 + e^{\ln(x_k)}) \)

ou encore : \( \displaystyle \ln(1 + (\prod_{k=1}^{n} x_k)^{1/n}) \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} \ln(1 + x_k)\)

Puis en appliquant à notre inégalité la fonction  \( x \mapsto e^{x}\) qui est strictement croissante sur \( \mathbb{R}\), il vient :

\( 1 + (\displaystyle \prod_{k=1}^{n} x_k)^{1/n} \le \displaystyle \exp(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} \ln(1 + x_k)) \)

D’où la conclusion : \[ \fbox{1 + ( \( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} x_k)^{1/n} \le \displaystyle \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (1 + x_k))^{1/n} \) .} \]

Conclusion

Vous savez maintenant tout ce qu’il y a à savoir sur la convexité des fonctions. Les trois exemples que nous venons de voir sont à connaître par cœur car ces questions tombent très souvent aux concours.

N.B : C’est beaucoup plus classe/rapide de traiter ces questions avec des inégalités de convexité que de passer par une étude de signe de fonction).

Voilà ! Cet article de Major-prépa portant sur la convexité/concavité touche à sa fin, j’espère qu’il t’aura été utile. Tu trouveras d’autres articles de maths ici !