Bienvenue dans notre cahier de vacances spécial carré ! Même s’il te reste encore quelques jours de vacances, il serait bon de revoir quelques basiques. Pour cela, nous t’avons sélectionné plusieurs exercices complets permettant de retravailler la rédaction et des points de cours précis.
Tu trouveras des exercices qui seront tirés des annales EDHEC et EM, et qui seront faisables après une première année en classe préparatoire. Nous mélangerons des exercices d’annales économiques (maths appliquées) et scientifiques (maths approfondies), en indiquant si les questions ne sont pas faisables pour les maths appliquées.
Bonne chance et bonne rentrée !
Cahier de vacances de maths ECG – jour 4 : exercice 1 EDHEC ECS 2003
Je te propose aujourd’hui un exercice alliant matrices, suites et polynômes… le rêve, non ? Comme d’habitude, essaie de ne pas te précipiter sur les pistes de correction. Cela te permettra d’avoir une idée plus nette des points que tu devrais revoir avant la rentrée.
Sujet faisable pour les maths appliquées et approfondies (voire les ECT).
Les questions intéressantes du sujet – focus matrices et suites
\(\forall m \in \mathbb{N}, \forall (a_0, …, a_m), P = \displaystyle \sum_{k=0}^{m}a_kX^k\).
On rappelle que \(\forall A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}), P(A) = a_0I +a_1A + a_mA^m\) et on admet que \(\forall Q \in \mathbb{R}[X], \in \forall A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}), (PQ)(A)=P(A)Q(A)\).
On cherche dans cet exercice à déterminer explicitement le terme général de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(u_0=0, u_1=1, u_2=1\) et \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+3}=4u_{n+2}-5u_{n+1}+2u_n\). Pour cela, on pose \(\forall n \in \mathbb{N}, X_n=\begin{pmatrix} u_{n+2}\\ u_{n+1}\\ u_n\end{pmatrix}\).
- Chercher \(A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que \(\forall n \in \mathbb{N}, X_{n+1}=AX_n\), puis vérifier que \((A-I)^2(A-2I)=0\).
- On pose maintenant \(P(X)=(X-1)^2(X-2)\).
a) Justifier l’existence et l’unicité du couple \(\forall n \in \mathbb{N}\),\((Q_n, R_n)\in \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N}, X^n=PQ_n+R_n\).
b) Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, \exists (a_n, b_n, c_n) \in \mathbb{N}^3\) tels que \(R_n(X)=a_n+b_n(X-1)+c_n(X-1)^2\).
c) Établir que : \(\forall n \in \mathbb{N}, a_n=1, b_n=n\) et \(c_n=2^n-n-1\). - Écrire, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(A^n\) comme combinaison linéaire de \(I, A-I\) et \((A-I)^2\).
- a) Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, X_n=A^n\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\).
b) En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Aide à la résolution
- Question classique pour tout exercice faisant le lien entre matrices et suites. L’égalité que l’énoncé te demande de vérifier te permet d’être sûr.e de ne pas t’être trompé.e et de pouvoir poursuivre l’exercice.
- a) Il te suffit ici d’énoncer le théorème de la division euclidienne.
b) Que peux-tu dire de la famille \((1,(X-1),(X-1)^2)\) ? La décomposition de \(R_n\) dans toute base de \(\mathbb{R}_2[X]\) te permet de conclure. Tu peux aussi te ramener à la formule de Taylor pour trouver explicitement \(a_n, b_n, c_n\) selon \(R_n\).
c) Pour cette question, il te faut évaluer \(R_n\) en des valeurs particulières. Les racines de P feront l’affaire ! Pense à dériver pour évaluer \(R_n’\) en ces mêmes valeurs et ainsi avoir assez d’équations pour trouver \(a_n, b_n, c_n\). - Il faut t’appuyer sur les questions précédentes. Tu sais que \(A^n=P(A)Q_n(A)+R_n(A)\). Souviens-toi : que vaut \(P(A)\) ? Tu connais de plus l’expression précise de \(R_n\) grâce à la 2.b). Tu as ainsi tout pour répondre.
- a) Que dirais-tu d’une récurrence ?
b) Il te faut calculer \(A^n\), du moins sa troisième ligne. Je te laisse faire les calculs nécessaires pour arriver à l’expression de \(u_n\). Satisfaisant, non ?
Lien vers la correction
Points de cours abordés
Théorème de la division euclidienne
Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\), avec \(B\) non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que \(A=BQ + R\) et \(deg(R)<deg(B)\).
Formule de Taylor pour les polynômes
Soit P un élément de \(\mathbb{R}_n[X]\).
\(\forall h \in \mathbb{R}, P(X+h)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=n}}\frac{P^{(k)}(h)}{k!}X^k\).
Les erreurs à éviter
Une famille libre n’est une base que si elle est de bonne dimension. Pense donc à le préciser.
Si tu dérives, pense à expliquer que la fonction est bien de classe \(C^1\).
Et voilà ! J’espère que cet exercice t’a permis de te remettre doucement dans le bain. Maintenant, n’hésite pas à te replonger dans ton cours sur les suites et les polynômes !
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