La décomposition de Bruhat, du nom du mathématicien français François Bruhat, affirme que toute matrice inversible peut s’écrire comme le produit d’une matrice triangulaire supérieure, d’une matrice de permutation et d’une seconde matrice triangulaire supérieure.
Introduction
Tu sais que le pivot de Gauss permet d’échelonner n’importe quelle matrice, à condition d’échanger parfois des lignes. La décomposition de Bruhat traduit ce procédé sous la forme d’un produit de matrices. Elle montre en outre que la permutation qui apparaît au milieu est entièrement déterminée par la matrice de départ.
Cette notion est hors programme en prépa ECG. Elle peut néanmoins apparaître dans un problème guidé sur les opérations élémentaires, les matrices triangulaires ou le rang.
Dans cet article, nous allons énoncer la décomposition, la construire sur un exemple, démontrer son existence, puis montrer que la permutation est unique.
Définition et énoncé
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un coefficient égal à \(1\) dans chaque ligne et dans chaque colonne, tous les autres coefficients étant nuls. Par exemple :
\[
J=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\]
On note \(\sigma(j)\) le numéro de la ligne où se trouve le \(1\) de la colonne \(j\).
Théorème de Bruhat
Pour toute matrice inversible \(A\in M_n(\mathbb R)\), il existe deux matrices triangulaires supérieures inversibles \(B_1\) et \(B_2\), et une matrice de permutation \(P\), telles que :
\[
A=B_1PB_2
\]
De plus, la matrice \(P\) est unique.
Les opérations autorisées
Multiplier \(A\) à gauche par une matrice triangulaire supérieure inversible revient à combiner les opérations suivantes sur les lignes :
\(
L_i\leftarrow\lambda L_i\quad(\lambda\neq0)
\qquad\text{et}\qquad
L_i\leftarrow L_i+\mu L_k\quad(k>i)
\)
On ajoute donc à une ligne un multiple d’une ligne située en dessous.
De même, multiplier à droite revient à combiner :
\[
C_j\leftarrow\lambda C_j\quad(\lambda\neq0)
\qquad\text{et}\qquad
C_j\leftarrow C_j+\mu C_k\quad(k<j)
\]
On ajoute donc à une colonne un multiple d’une colonne située à sa gauche.
Si, à l’aide de ces opérations, on transforme \(A\) en une matrice de permutation \(P\), on obtient :
\[
B_1’AB_2’=P
\]
avec \(B_1’\) et \(B_2’\) triangulaires supérieures inversibles. Comme l’inverse d’une telle matrice est encore triangulaire supérieure, on en déduit \(A=B_1PB_2\) avec \(B_1=B_1’^{-1}\) et \(B_2=B_2’^{-1}\).
Un exemple entièrement résolu
Considérons :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}
\]
Dans la première colonne, le coefficient non nul le plus bas est \(3\), en ligne \(2\). On effectue \(L_2\leftarrow\displaystyle \frac{1}{3}L_2\) puis \(L_1\leftarrow L_1-L_2\) :
\[
\begin{pmatrix}
0&\displaystyle \frac{2}{3}\\
1&\displaystyle \frac{4}{3}
\end{pmatrix}
\]
On élimine ensuite le coefficient de droite de la ligne \(2\) avec \(C_2\leftarrow C_2-\displaystyle \frac{4}{3}C_1\), puis on effectue \(L_1\leftarrow\displaystyle \frac{3}{2}L_1\) :
\[
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
=J
\]
En inversant ces opérations, on obtient :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&\displaystyle \frac{1}{3}\\
0&1
\end{pmatrix}
J
\begin{pmatrix}
3&4\\
0&\displaystyle \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]
On vérifie en effectuant le produit que l’on retrouve bien \(A\).
Démonstration de l’existence
On généralise la méthode de l’exemple en traitant les colonnes de gauche à droite.
Étape 1 : la première colonne
Comme \(A\) est inversible, sa première colonne est non nulle. Soit \(i_1\) l’indice du coefficient non nul le plus bas. On divise la ligne \(i_1\) par ce coefficient, puis on l’utilise pour annuler les coefficients situés au-dessus, ce qui est autorisé. La première colonne devient \(E_{i_1}\).
Étape 2 : nettoyer la ligne
On utilise la première colonne pour annuler les autres coefficients de la ligne \(i_1\), par des opérations \(C_j\leftarrow C_j+\mu C_1\) avec \(j>1\). Les autres lignes ne sont pas modifiées, car la première colonne est nulle en dehors de la ligne \(i_1\).
Étape 3 : itérer
La matrice obtenue est encore inversible, donc sa deuxième colonne est non nulle. Son coefficient non nul le plus bas se trouve sur une ligne \(i_2\neq i_1\), puisque la ligne \(i_1\) est maintenant nulle hors de la première colonne. On recommence alors les étapes précédentes.
Après \(n\) étapes, chaque colonne \(j\) contient un unique \(1\), placé en ligne \(i_j\), et les lignes \(i_1,\ldots,i_n\) sont distinctes : on a obtenu une matrice de permutation.
Unicité de la matrice de permutation
Pour une matrice \(M\), on note \(r_{i,j}(M)\) le rang de la sous-matrice formée des lignes \(i\) à \(n\) et des colonnes \(1\) à \(j\), c’est-à-dire du « coin inférieur gauche ».
Comme \(B_1\) est triangulaire supérieure, les lignes \(i\) à \(n\) de \(B_1M\) ne font intervenir que les lignes \(i\) à \(n\) de \(M\). De même, les colonnes \(1\) à \(j\) de \(MB_2\) ne font intervenir que les colonnes \(1\) à \(j\) de \(M\). Le coin de \(B_1MB_2\) est donc le coin de \(M\) multiplié à gauche et à droite par des blocs triangulaires inversibles, et :
\[
r_{i,j}(B_1MB_2)=r_{i,j}(M)
\]
Pour une matrice de permutation, \(r_{i,j}(P)\) est simplement le nombre de \(1\) présent dans le coin. Ainsi :
\[
r_{i,j}(P)-r_{i,j-1}(P)=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sigma(j)\geq i
\]
Les nombres \(r_{i,j}(P)\) déterminent donc entièrement \(\sigma\), donc \(P\). Or, si \(A=B_1PB_2\), on a \(r_{i,j}(P)=r_{i,j}(A)\) pour tous \(i,j\). La matrice \(P\) est donc entièrement déterminée par \(A\).
Cas particulier : les matrices de taille 2
En taille \(2\), il n’existe que deux matrices de permutation : \(I_2\) et \(J\). Le seul coin non trivial est le coefficient \(a_{2,1}\) :
\[
r_{2,1}(I_2)=0
\qquad\text{et}\qquad
r_{2,1}(J)=1
\]
On obtient donc \(P=I_2\) si \(a_{2,1}=0\), c’est-à-dire si \(A\) est déjà triangulaire supérieure, et \(P=J\) sinon. Pour l’exemple précédent, \(a_{2,1}=3\neq0\), ce qui confirme \(P=J\).
Comparaison avec le pivot de Gauss
Le pivot de Gauss avec échanges de lignes fournit aussi une factorisation faisant intervenir une permutation. Mais cette permutation dépend des choix de pivots : deux choix différents peuvent conduire à deux permutations différentes pour la même matrice.
La décomposition de Bruhat impose au contraire des opérations très précises, vers le haut pour les lignes et vers la droite pour les colonnes. La permutation obtenue est alors un invariant de la matrice, comme son rang. Par ailleurs, contrairement à la décomposition de Crout, la décomposition de Bruhat existe pour toute matrice inversible.
Erreurs classiques à éviter
Seule \(P\) est unique : les matrices \(B_1\) et \(B_2\) ne le sont pas. Par exemple, pour toute matrice \(B\) triangulaire supérieure inversible :
\[
I_n=B\,I_n\,B^{-1}
\]
Il ne faut pas non plus confondre avec une décomposition \(LU\) : ici, les deux facteurs sont triangulaires supérieurs. Enfin, le théorème concerne les matrices inversibles, et c’est l’inversibilité qui garantit qu’aucune colonne ne s’annule pendant l’algorithme.
Comment utiliser la décomposition de Bruhat dans un exercice ?
Lorsqu’un énoncé fait intervenir des produits de matrices triangulaires et de permutations, il est utile :
- de traduire les multiplications par des matrices triangulaires en opération sur les lignes et les colonnes ;
- de repérer, colonne par colonne, le coefficient non nul le plus bas ;
- de n’utiliser que des opérations vers le haut pour les lignes et vers la droite pour les colonnes ;
- d’identifier \(P\) directement à l’aide des rangs des coins inférieurs gauches ;
- de vérifier le résultat en effectuant le produit \(B_1PB_2\).
Conclusion
La décomposition de Bruhat affirme que toute matrice inversible s’écrit :
\[
A=B_1PB_2
\]
avec \(B_1\) et \(B_2\) triangulaires supérieures inversibles et \(P\) une matrice de permutation unique.
Ce résultat montre que, lorsque le pivot de Gauss est mené avec des règles strictes, la permutation obtenue ne dépend que de la matrice et se lit sur les rangs de ses coins inférieurs gauches. La méthode utilisée, qui consiste à traduire une multiplication par une matrice triangulaire en opérations élémentaires, sert dans de nombreux problèmes d’algèbre linéaire.
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