Maîtriser la rédaction en DS de maths est indispensable pour réussir en prépa. Au concours ou lors d’un DS, un correcteur ne va jamais simplement vérifier que tu as obtenu le bon résultat à une question. Au contraire, il va évaluer l’ensemble de la démarche qui y mène. C’est pour cela que deux copies peuvent très bien afficher le même résultat et pourtant obtenir des notes très différentes, tant la rigueur de la rédaction pèse dans le barème. Cet article recense les erreurs de rédaction observées directement à partir d’erreurs réalisées par des étudiants dans des rapports de jury, en particulier celles qui coûtent le plus de points, et la méthode pour les éviter, notion par notion.
Les bases d’une bonne rédaction en DS de maths
Remplace systématiquement « il est clair que P » par l’argument qui le rend vrai. Plutôt que d’écrire « il est clair que \( (u_n) \) converge », rédige : « \( (u_n) \) est décroissante et minorée par 0, donc, d’après le théorème de la limite monotone, \( (u_n) \) converge ».
Plus généralement, lorsqu’un théorème est utilisé, il faut vérifier et énoncer ses hypothèses, puis donner sa conclusion complète. Citer uniquement le nom du théorème ne constitue pas une justification suffisante.
Bien présenter sa copie de maths aux concours est donc parfois bien plus important que le nombre de questions résolues. N’hésite pas à regarder les bonnes copies pour améliorer ta rédaction !
Produit de convolution : les clés d’une bonne rédaction en DS de maths
❌ Mauvaise rédaction
X et Y sont deux variables à densité, on écrit directement la densité de X+Y par la formule de convolution :
\[ f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)f_Y(x-t) \,\mathrm{d}t \]
… sans autre précision.
Pourquoi c’est faux ?
Cette formule repose sur plusieurs hypothèses qui doivent toutes être vérifiées ou données explicitement par l’énoncé : l’indépendance de X et Y (sans laquelle la formule est complètement fausse), l’existence de l’intégrale de convolution elle-même, qui n’est pas automatique pour des densités quelconques, et la continuité (sauf éventuellement en un nombre fini de points) de la fonction ainsi obtenue.
✅ Bonne rédaction
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\). Leurs densités respectives sont définies par :
\[ f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t} \mathbf{1}_{[0, +\infty[}(t) \quad \text{et} \quad f_Y(t) = \lambda e^{-\lambda t} \mathbf{1}_{[0, +\infty[}(t) \]
Pour déterminer la densité de la somme Z = X+Y, on procède rigoureusement en deux étapes :
1. L’indépendance : les variables X et Y sont indépendantes par hypothèse.
2. L’existence de l’intégrale de convolution : pour tout réel \(x \in \mathbb{R}\), les fonctions de densité \(f_X\) et \(f_Y\) sont continues par morceaux et bornées (par exemple par \(\lambda\)). De plus, le produit \(f_X(t)f_Y(x-t)\) est nul en dehors d’un intervalle fermé borné, ce qui garantit la convergence absolue (et donc l’existence) de l’intégrale :
\[ f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) f_Y(x-t) \,\mathrm{d}t \]
Les densités étant nulles pour les réels négatifs, le produit \(f_X(t) f_Y(x-t)\) n’est non nul que si simultanément \(t \ge 0\) et \(x-t \ge 0\), c’est-à-dire pour \(t \in [0, x]\) (dans le cas où \(x > 0\)).
Si \(x \le 0\), alors \(f_{X+Y}(x) = 0\).
Si \(x > 0\), l’intégrale se restreint au segment \([0, x]\) :
\[ f_{X+Y}(x) = \int_0^x (\lambda e^{-\lambda t}) (\lambda e^{-\lambda(x-t)}) \,\mathrm{d}t \]
\[ f_{X+Y}(x) = \lambda^2 e^{-\lambda x} \int_0^x e^{-\lambda t + \lambda t} \,\mathrm{d}t = \lambda^2 e^{-\lambda x} \int_0^x 1 \,\mathrm{d}t = \lambda^2 x e^{-\lambda x} \]
La fonction \(x \mapsto \lambda^2 x e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{[0, +\infty[}(x)\) ainsi obtenue est continue sur \(\mathbb{R}\) (elle tend vers 0 en \(0^+\) et vaut 0 sur \(]-\infty, 0]\)), ce qui vérifie la dernière hypothèse du théorème.
Ainsi, on conclut proprement :
Les hypothèses d’indépendance, la convergence de l’intégrale et la continuité de la fonction obtenue étant explicitement justifiées (en s’appuyant sur le fait que les densités sont bornées et que le domaine d’intégration est délimité), la variable X+Y admet pour densité :
\[ f_{X+Y}(x) = \lambda^2 x e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{[0, +\infty[}(x) \]
Montrer que f est un endomorphisme : ne jamais oublier l’ensemble d’arrivée
❌ Mauvaise rédaction
« On définit \( \varphi : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}_n[X] \) par \( \varphi(P) = P’ + X P” \). On vérifie que \( \varphi \) est linéaire et on conclut que \( \varphi \) est un endomorphisme de \( \mathbb{R}_n[X] \). »
Pourquoi c’est faux ?
Cette rédaction saute une étape essentielle : avant même de vérifier la linéarité, il faut vérifier que \( \varphi(P) \) reste bien dans \( \mathbb{R}_n[X] \) pour tout \( P \), c’est-à-dire que le degré de \( \varphi(P) \) ne dépasse jamais \( n \).
✅ Bonne rédaction
Pour montrer que \( \varphi \) est un endomorphisme de \( E = \mathbb{R}_n[X] \), il faut vérifier, dans cet ordre :
1. La stabilité de l’ensemble d’arrivée : pour tout \( P \in \mathbb{R}_n[X] \), regardons le degré de \( \varphi(P) \).
Comme \( \deg(P’) \le n-1 \) et \( \deg(X P”) \le 1 + n-2 = n-1 \), on a \( \deg(\varphi(P)) \le n-1 \le n \). Donc \( \varphi(P) \in \mathbb{R}_n[X] \).
2. La linéarité : pour tous \( P, Q \in \mathbb{R}_n[X] \) et \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) :
\[ \varphi(\lambda P + \mu Q) = (\lambda P + \mu Q)’ + X (\lambda P + \mu Q)” = \dots = \lambda \varphi(P) + \mu \varphi(Q) \]
C’est la combinaison de ces deux vérifications qui prouve l’endomorphisme et garantit une bonne rédaction en DS de maths.
Intégrale impropre : l’erreur classique de rédaction en DS de maths
❌ Mauvaise rédaction
\[ \int_0^{+\infty} t e^{-t} \,\mathrm{d}t = \left[ -t e^{-t} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-t} \,\mathrm{d}t = 0 + 1 = 1 \]
Pourquoi c’est faux ?
Tu manipules \( [0, +\infty[ \) comme un segment ordinaire et tu « évalues » le crochet à \( +\infty \) comme si c’était un nombre. Or, cette manipulation est interdite en prépa ECG et le programme t’indique de mener une intégration par parties en passant nécessairement par un segment fini, avant de faire un passage à la limite.
✅ Bonne rédaction
Tu commences par travailler sur un segment \( [0, x] \) avec \( x > 0 \) fixé :
\[ I(x) = \int_0^x t e^{-t} \,\mathrm{d}t \]
Tu poses \( u(t) = t \) et \( v'(t) = e^{-t} \), donc \( u'(t) = 1 \) et \( v(t) = -e^{-t} \). L’intégration par parties donne :
\[ I(x) = \left[ -t e^{-t} \right]_0^x + \int_0^x e^{-t} \,\mathrm{d}t = -x e^{-x} + \left[ -e^{-t} \right]_0^x = -x e^{-x} + 1 – e^{-x} \]
Tu étudies ensuite la limite :
\( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (-x e^{-x}) = 0 \) (par croissance comparée entre un polynôme et une exponentielle), donc \( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} I(x) = 1 \) et :
\[ \int_0^{+\infty} t e^{-t} \,\mathrm{d}t = 1 \]
Interversion limite-somme ou limite-intégrale
❌ Mauvaise rédaction
« On a \( f_n(x) \rightarrow f(x) \) pour tout \( x \), donc : »
\[ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x \]
Pourquoi c’est faux ?
Tu intervertis limite et intégrale comme si c’était toujours licite, sans citer de théorème et sans hypothèse. Or, en prépa ECG, aucun théorème de cours ne nous permet d’intervertir limite et intégrale dans le cas général.
✅ Le contre-exemple à connaître
Pose \( f_n(x) = n \mathbb{1}_{]0, 1/n]}(x) \) sur \( [0, 1] \).
Pour tout \( x \in ]0, 1] \), il existe \( N \) tel que pour tout \( n \ge N \), \( f_n(x) = 0 \), donc :
\[ \forall x \in [0, 1], \; \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0 \]
Or, pour tout \( n \), on a :
\[ \int_0^1 f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{1/n} n \,\mathrm{d}x = 1 \]
D’un côté, \( \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 f_n(x) \,\mathrm{d}x = 1 \).
De l’autre côté :
\[ \int_0^1 \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 0 \,\mathrm{d}x = 0 \]
L’égalité est donc fausse en général. C’est une erreur fatale pour ta rédaction en DS de maths.
Oublier la commutativité avant d’utiliser le binôme de Newton
❌ Mauvaise rédaction
Pour toutes matrices \( A \) et \( B \) :
\[ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
Pourquoi c’est faux ?
Tu as utilisé le binôme comme pour des réels, en oubliant que le produit matriciel n’est pas commutatif (\( AB \) et \( BA \) ne coïncident pas forcément).
✅ Bonne rédaction
Pour deux matrices \( A, B \) de même taille, on a toujours :
\[ (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \]
Si, et seulement si, \( AB = BA \), alors on peut écrire :
\[ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
Plus généralement, pour un entier \( n \ge 1 \), si \( A \) et \( B \) commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton :
\[ (A+B)^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} A^k B^{n-k} \]
Astuce classique : dans le cas très fréquent \( M = \lambda I + N \) avec \( N \) nilpotente, on sait que \( N \) commute avec \( I \) (la matrice identité commute avec toutes les matrices). Tu as donc le droit d’écrire :
\[ M^n = (\lambda I + N)^n = \sum_{k=0}^p {{n}\choose{k}} \lambda^{n-k} N^k \]
(où \( p \) est l’indice de nilpotence de \( N \)). Mais la commutativité, bien qu’évidente dans ce cas précis, doit toujours être justifiée par écrit.
Un équivalent ne s’intègre pas, ne se somme pas, ne se succède pas
A. \( u_n \) n’est pas forcément équivalent à \( u_{n+1} \)
❌ Mauvaise rédaction
« La suite \( (u_n) \) converge, donc \( u_{n+1} \sim u_n \). »
Ici, tu supposes qu’une simple convergence suffit pour que deux suites consécutives soient équivalentes, ce qui est faux.
✅ Contre-exemple explicite
Considère \( u_n = \frac{(-1)^n}{n} \).
On sait que \( u_n \rightarrow 0 \) quand \( n \rightarrow +\infty \).
Regardons le rapport :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(-1)^{n+1}/(n+1)}{(-1)^n/n} = -\frac{n}{n+1} \rightarrow -1 \]
Or, par définition, deux suites \( (a_n) \) et \( (b_n) \) sont équivalentes si \( \frac{a_n}{b_n} \rightarrow 1 \).
Ici, la limite est \( -1 \neq 1 \), donc \( u_{n+1} \) n’est pas équivalente à \( u_n \). Le seul lien général est : si \( \lim u_n = \ell \), alors \( \lim u_{n+1} = \ell \), mais il n’y a aucune propriété « \( u_{n+1} \sim u_n \) » par défaut ! En revanche, si \( \ell \neq 0 \), on a bien \( u_{n+1} \sim u_n \), puisque \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \rightarrow \frac{\ell}{\ell} = 1 \) : le piège concerne les suites qui tendent vers 0.
B. Un équivalent ne se somme pas.
❌ Mauvaise rédaction
« On a \( u_n \sim v_n \), donc pour toute suite \( w_n \), \( u_n + w_n \sim v_n + w_n \). »
C’est faux en général : l’équivalence n’est pas stable par addition, seulement par multiplication ou division.
✅ Contre-exemple explicite
On définit, pour \( n \ge 1 \) :
\[ u_n = \frac{1}{n} \quad ; \quad v_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \]
Et on choisit \( w_n = -\frac{1}{n} \) si \( n \) est pair, et \( w_n = 0 \) si \( n \) est impair.
On a bien \( u_n \sim v_n \) car \( \frac{u_n}{v_n} = \frac{1/n}{1/n + 1/n^2} = \frac{1}{1 + 1/n} \rightarrow 1 \).
On regarde maintenant \( u_n + w_n \) et \( v_n + w_n \) :
- Si \( n \) est pair : \( u_n + w_n = 0 \) et \( v_n + w_n = \frac{1}{n^2} \). Donc \( \frac{u_n+w_n}{v_n+w_n} = 0 \).
- Si \( n \) est impair : \( u_n + w_n = \frac{1}{n} \) et \( v_n + w_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \). Donc \( \frac{u_n+w_n}{v_n+w_n} \rightarrow 1 \).
Le rapport n’admet pas de limite 1, donc l’assertion \( u_n + w_n \sim v_n + w_n \) est fausse.
L’espérance d’une variable discrète : convergence absolue, pas simple
❌ Mauvaise rédaction
« Comme la série \( \sum x_k \mathbb{P}(X = x_k) \) converge, l’espérance \( \mathbb{E}(X) \) existe. »
Pourquoi c’est faux ?
Tu ne précises pas le type de convergence, et tu confonds convergence simple et convergence absolue.
✅ Bonne rédaction
Pour une variable discrète \( X \) prenant une infinité de valeurs \( (x_k)_{k \ge 1} \), l’espérance n’est définie que si la série :
\[ \sum_{k \ge 1} |x_k| \mathbb{P}(X = x_k) \]
converge.
Par exemple, soit \( X \) la variable prenant, pour tout \( k \ge 1 \), la valeur \( x_k = \frac{(-1)^k 2^k}{k} \) avec probabilité \( \mathbb{P}(X = x_k) = \frac{1}{2^k} \). On a alors :
\[ x_k \mathbb{P}(X = x_k) = \frac{(-1)^k}{k} \]
La série \( \sum \frac{(-1)^k}{k} \) converge (sa somme vaut \( -\ln(2) \)), alors que la série \( \sum \frac{1}{k} \) des valeurs absolues diverge (série harmonique). Dans ce cas, l’espérance \( \mathbb{E}(X) \) n’existe pas : la somme d’une telle série dépendrait d’ailleurs de l’ordre dans lequel on range les valeurs \( x_k \).
Tu dois donc toujours préciser : « la série converge absolument, donc \( X \) admet une espérance ». Pour une variable à densité, on écrit de même : « l’intégrale de \( t \mapsto |t|f(t) \) converge ». C’est un point de rédaction très surveillé en DS de maths et aux concours.
La linéarité d’une série n’est possible que lorsqu’elle converge
❌ Mauvaise rédaction
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n + \sum_{n=1}^{+\infty} v_n \]
écrit comme une égalité toujours vraie, avant même d’avoir vérifié que \( (u_n) \) et \( (v_n) \) convergent chacune de leur côté.
Pourquoi c’est faux ?
Pose \( u_n = \frac{1}{n} \) et \( v_n = -\frac{1}{n} \). Les séries de termes généraux \( u_n \) et \( v_n \) divergent (série harmonique). Les deux membres de droite de l’égalité n’existent donc pas. Pourtant, \( u_n + v_n = 0 \) pour tout \( n \), donc \( \sum (u_n + v_n) \) converge parfaitement vers 0. On ne peut donc pas « casser » la somme si les séries isolées ne convergent pas.
✅ Bonne rédaction
Le théorème correct est : si les séries \( \sum u_n \) et \( \sum v_n \) convergent toutes les deux, alors la série \( \sum (u_n + v_n) \) converge, et on a :
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n + \sum_{n=1}^{+\infty} v_n \]
C’est un théorème à sens unique.
En algèbre matricielle : AB = 0 n’implique pas nécessairement A = 0 ou B = 0
❌ Mauvaise rédaction
« On a \( AB = 0 \), donc \( A = 0 \) ou \( B = 0 \). »
Tu importes en matrices une propriété des nombres réels. Le produit matriciel n’est pas intègre.
✅ Bonne rédaction
La seule situation où tu peux conclure est la suivante : si \( AB = 0 \) et si \( A \) est inversible, alors en multipliant par l’inverse de \( A \) à gauche :
\[ AB = 0 \Rightarrow A^{-1}AB = 0 \Rightarrow B = 0 \]
(NB : Le même type d’erreur apparaît avec le produit scalaire : de \( \langle x, y \rangle = 0 \) pour un vecteur \( x \) donné, tu ne peux pas conclure que \( y = 0 \). En revanche, si \( \langle x, y \rangle = 0 \) pour TOUT \( x \), alors c’est vrai en particulier pour \( x = y \), et donc \( \langle y, y \rangle = 0 \Rightarrow ||y||^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \))
Une racine d’un polynôme annulateur n’est pas forcément une valeur propre
❌ Mauvaise rédaction
« \( P(X) = X(X-1)(X-2) \) est un polynôme annulateur de \( M \), donc les valeurs propres de \( M \) sont exactement 0, 1 et 2. »
Pourquoi c’est faux ?
Cette rédaction confond deux inclusions. Le spectre de \( M \) est inclus dans l’ensemble des racines de tout polynôme annulateur, mais l’inclusion réciproque est fausse. Une racine d’un polynôme annulateur est au mieux une valeur propre « candidate ».
✅ Bonne rédaction
Le résultat exact du cours est : \( \text{Sp}(M) \subset \{ \text{racines de } P \} \) pour tout polynôme annulateur \( P \).
Pour établir l’égalité, il faut vérifier, pour chaque racine \( \lambda \) candidate, qu’il existe un vecteur propre associé (ou que le noyau n’est pas réduit au vecteur nul).
« \( P(X) = X(X-1)(X-2) \) annule \( M \), donc \( \text{Sp}(M) \subset \{0, 1, 2\} \). Reste à déterminer lesquelles de ces valeurs sont effectivement des valeurs propres : on calcule \( \text{Ker}(M) \), \( \text{Ker}(M-I) \) et \( \text{Ker}(M-2I) \), et on ne conserve que celles dont le noyau associé est non réduit à \( \{0\} \). »
Théorème de transfert appliqué sans vérifier que la série converge absolument
❌ Mauvaise rédaction
« \( X \) suit une loi géométrique de paramètre \( p \), on veut calculer \( \mathbb{E}(1/X) \). D’après le théorème de transfert : »
\[ \mathbb{E}(1/X) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \mathbb{P}(X=k) \]
« donc l’espérance existe et vaut cette somme. »
Pourquoi c’est faux ?
Le calcul est mené sans jamais vérifier que la série converge absolument avant de parler d’espérance. Le théorème de transfert ne donne cette formule que si la série converge absolument : c’est cette convergence qui garantit l’existence de l’espérance.
✅ Bonne rédaction
Le théorème de transfert stipule : \( g(X) \) admet une espérance si et seulement si la série \( \sum g(k) \mathbb{P}(X=k) \) converge absolument, et dans ce cas \( \mathbb{E}(g(X)) = \sum g(k) \mathbb{P}(X=k) \). Il faut donc d’abord établir la convergence absolue avant d’écrire l’égalité.
Ici, le terme est \( \frac{1}{k} p (1-p)^{k-1} \). C’est une série à termes positifs, donc convergence absolue équivaut à convergence simple.
On la compare à la série géométrique convergente \( \sum (1-p)^{k-1} \) qui domine \( \frac{1}{k}(1-p)^{k-1} \). On conclut par comparaison que la série converge.
C’est seulement après cette étape que tu as le droit d’écrire \( \mathbb{E}(1/X) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} p (1-p)^{k-1} \), puis de calculer cette somme. La rigueur de la rédaction en DS de maths se joue sur ces détails.
Les dérivées partielles nulles ne suffisent pas à justifier l’existence d’un extremum
❌ Mauvaise rédaction
« Les dérivées partielles de \( f \) s’annulent en \( (a,b) \), donc \( f \) admet un extremum local en \( (a,b) \). »
Pourquoi c’est faux ?
L’annulation des dérivées partielles d’ordre 1 est une condition nécessaire pour un extremum local (c’est un point critique), mais absolument pas suffisante. Le point peut très bien être un « point selle » (ou col), où la fonction n’admet ni maximum ni minimum.
✅ Bonne rédaction
Pour \( f \) de classe \( C^2 \) sur un ouvert, une fois le point critique \( (a,b) \) trouvé (\( \partial_1 f(a,b) = 0 \) et \( \partial_2 f(a,b) = 0 \)), il faut étudier la matrice hessienne de \( f \) en \( (a,b) \), notée \( \nabla^{2}f(a,b) \) :
\[ \nabla^{2}f(a,b) = \begin{pmatrix} \partial_{1,1}^2 f(a,b) & \partial_{1,2}^2 f(a,b) \\ \partial_{2,1}^2 f(a,b) & \partial_{2,2}^2 f(a,b) \end{pmatrix} \]
On calcule ensuite ses valeurs propres :
- Si les deux valeurs propres sont strictement positives, \( f \) admet un minimum local en \( (a,b) \).
- Si les deux valeurs propres sont strictement négatives, \( f \) admet un maximum local en \( (a,b) \).
- Si les deux valeurs propres sont de signes opposés, \( (a,b) \) est un point selle (ni max ni min).
- Si l’une des valeurs propres est nulle, le critère est insuffisant et il faut réaliser une étude locale complémentaire (par exemple étudier le signe de \( f(x,y) – f(a,b) \) au voisinage de \( (a,b) \)).
Le théorème de la bijection : attention aux raccourcis
❌ Mauvaise rédaction
« \( f(x) = x + \ln(x) \) est continue, donc c’est une bijection de \( \mathbb{R}_+^* \) sur \( \mathbb{R} \). Donc, comme \( 0 \in \mathbb{R} \), l’équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution. »
Pourquoi c’est faux ?
Ici, tu ne vérifies ni la stricte monotonie ni les limites aux bornes, et tu utilises le mot bijection sans l’avoir pleinement justifié.
✅ Bonne rédaction
Tu veux montrer que l’équation \( f(x) = k \) admet une unique solution dans un intervalle \( I \).
Prends \( f: x \mapsto x + \ln(x) \) définie sur \( I = ]0, +\infty[ \).
Tu rédiges :
- \( f \) est continue sur \( I \) comme somme de fonctions continues usuelles.
- Pour tout \( x > 0 \), \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x} > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante sur \( I \).
- \( \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = -\infty \) et \( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty \).
Tu en déduis que \( f(I) = \mathbb{R} \) et que \( f \) est continue et strictement croissante sur \( I \).
Donc, d’après le théorème de la bijection, \( f \) réalise une bijection de \( I \) sur \( \mathbb{R} \) : pour tout \( k \in \mathbb{R} \), l’équation \( f(x) = k \) admet une unique solution dans \( I \).
Une intégrale de fonction impaire ne vaut 0 que si elle converge d’abord
❌ Mauvaise rédaction
« \( f \) est impaire sur \( \mathbb{R} \), donc \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t = 0 \). »
Pourquoi c’est faux ?
Cette égalité n’a pas de sens si l’intégrale ne converge pas. Écrire directement « intégrale nulle par imparité » en compensant les bornes infini et moins l’infini revient à calculer une valeur principale de Cauchy, qui n’est pas au programme.
✅ Bonne rédaction
Prenons \( f(t) = \frac{t}{1+t^2} \) qui est bien impaire. On a \( f(t) \sim_{+\infty} \frac{1}{t} \), donc l’intégrale \( \int_0^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t \) diverge. L’intégrale sur \( \mathbb{R} \) n’existe donc pas, même si \( \lim\limits_{A \rightarrow +\infty} \int_{-A}^{A} f(t) \,\mathrm{d}t = 0 \).
Règle d’or : il faut d’abord établir la convergence des intégrales \( \int_0^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}t \) et \( \int_{-\infty}^0 f(t) \,\mathrm{d}t \) séparément. Une fois cette convergence acquise, on peut utiliser la symétrie de la fonction pour conclure que la somme des deux vaut 0.
Formule de Koenig-Huygens sans vérifier l’existence du moment d’ordre 2
❌ Mauvaise rédaction
« \( \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) – (\mathbb{E}(X))^2 \), donc on calcule directement \( \mathbb{E}(X^2) \) par la formule de transfert, puis on soustrait \( (\mathbb{E}(X))^2 \). »
Pourquoi c’est faux ?
Si \( \mathbb{E}(X^2) \) n’existe pas, l’expression de la variance n’a aucun sens, même si ton calcul formel de l’intégrale ou de la série te donne l’impression d’aboutir.
✅ Bonne rédaction
Avant d’appliquer Koenig-Huygens, il faut établir l’existence de \( \mathbb{E}(X^2) \) (généralement via le théorème de transfert appliqué à \( x \mapsto x^2 \), en vérifiant la convergence absolue).
« La série \( \sum k^2 \mathbb{P}(X=k) \) converge absolument (à démontrer, par comparaison par exemple), donc \( X \) admet un moment d’ordre 2. Ainsi, \( X \) admet une variance et \( \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) – (\mathbb{E}(X))^2 \). »
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !