Préparer sa rentrée en mathématiques en 7 jours, programme spécial carré ! (Jour 3/7)

Nous sommes au jour n° 3 de cette remise en forme mathématiques. Au programme d’aujourd’hui : de l’algèbre linéaire, avec un exercice assez court, mais qui réactive des essentiels tels que les polynômes de matrices ou encore les systèmes linéaires qui doivent être maîtrisés pour l’entrée en carré.

Exercice n° 3

Analyse du sujet

Pour cet exercice, un peu d’algèbre linéaire, peu travaillée en bizuth, mais fortement approfondie en carré. L’algèbre est un domaine qui peut paraître déroutant au début, car il est très abstrait. Donner une représentation est plus compliqué qu’analyser une fonction ou encore une suite. Cependant, il faut s’accrocher car c’est un domaine qui, une fois bien maîtrisé, peut rapporter des points facilement et en peu de temps, car la rédaction est moins pesante que pour de l’analyse, où les justifications sont plus lourdes. Cet exercice était très classique car il considérait un espace vu en première année (les matrices lignes), avec des questions également classiques comme le calcul du noyau et de l’ensemble image d’une application linéaire. Une bonne connaissance du cours est essentielle pour réussir un exercice de ce type, car il faut se rattacher aux définitions pour compléter les questions.

Que faut-il retenir de cet exercice ?

1. Montrer la linéarité d’une application dans un espace E. Vous devrez la montrer dans plusieurs espaces en carré, tels que les polynômes, les réels ou encore les matrices.
2. Savoir calculer le noyau d’une application (Ker) ainsi que l’ensemble image (Im).
3. Savoir utiliser les polynômes annulateurs pour trouver une matrice inverse (EDHEC 2016). Ils vous serviront pour d’autres choses en carré (valeurs propres).

Corrigé n°3