L’inégalité de Carleman est une inégalité qui fait intervenir un grand nombre de notions du programme d’ECG (suites, séries, équivalents) et permet ainsi de les retravailler. Pour ces mêmes raisons, cette inégalité pourrait faire l’objet d’un sujet (ou sinon d’une partie de sujet) très intéressant de type Maths I.
Introduction
L’inégalité de Carleman est un résultat important d’analyse, démontré par le mathématicien suédois Torsten Carleman, en 1922. Elle relie la somme des moyennes géométriques des premiers termes d’une série à termes positifs à la somme de cette série. Cette inégalité est particulièrement utile dans l’étude des séries entières et des fonctions, dans la mesure où elle permet d’établir des estimations précises et d’analyser des comportements asymptotiques.
Définissons donc d’abord cette inégalité, avant d’étudier ses propriétés et de proposer quelques questions classiques qui pourraient vraisemblablement tomber dans une épreuve de type Maths I. En bonus, tu trouveras la démonstration de cette inégalité, qui est abordable avec le programme de prépa ECG.
Définition
L’inégalité de Carleman stipule que pour toute série à termes positifs \(a_n\),
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} \leq e \sum_{n=1}^{+\infty} a_n.
\]
La constante \(e\) est la meilleure possible (nous reviendrons sur cela par la suite). Cette inégalité montre comment la croissance des produits géométriques des termes d’une série peut être contrôlée par la somme des termes de la série elle-même, et c’est cela qui s’avérera utile pour l’étude de la convergence des séries.
Propriétés
Voici quelques précisions pour mieux appréhender cette inégalité, qui paraît excessivement complexe au premier abord.
Tu peux d’abord noter que la constante \(e\) dans l’inégalité de Carleman est la meilleure possible, ce qui signifie qu’elle ne peut pas être remplacée par une constante plus petite pour que l’inégalité reste vraie pour toutes les séries à termes positifs. Cette propriété sera justifiée par la démonstration de l’inégalité et par la troisième question « classique » autour de cette inégalité.
L’inégalité est stricte pour toute suite non nulle, ce qui signifie que l’égalité n’est atteinte que pour la suite où tous les termes sont nuls. Le cas de la suite nul s’appréhende directement, car les deux parties de l’inégalité sont égales à 0.
Mais à quoi sert cette inégalité alors ?
Cette dernière peut s’appliquer avec des suites précises afin d’étudier leur comportement (notamment leur limite). Plus largement, elle permet d’étudier la convergence de certaines séries grâce au critère de majoration. Ce cas fera l’objet de deux questions inscrites dans la troisième partie de cet article qui te permettra de comprendre plus concrètement comment se servir de cette inégalité.
Questions classiques
Application directe de l’inégalité de Carleman
Démontrer que la série \(\sum \frac{1}{(n!)^{2/n}}\) est convergente en utilisant l’inégalité de Carleman (on pourra par exemple penser à la suite \(a_n = \frac{1}{n^2}\)).
Solution
Considérons la suite \(a_n = \frac{1}{n^2}\) qui a le goût d’être bien positive. L’inégalité de Carleman peut donc s’appliquer.
Calculons les produits géométriques des termes de la suite :
\[
\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(n!)^2}.
\]
Prenons la racine \(n\)-ième de ce produit :
\[
\left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} = \left( \frac{1}{(n!)^2} \right)^{1/n} = \frac{1}{(n!)^{2/n}}.
\]
Appliquons l’inégalité de Carleman :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n!)^{2/n}} \leq e \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.
\]
Nous savons que la série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) converge vers \(\frac{\pi^2}{6}\) (ce résultat est hors programme, mais très classique). Donc,
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n!)^{2/n}} \leq e \cdot \frac{\pi^2}{6}.
\]
Ainsi, nous venons bien de démontrer par majoration que la série étudiée converge bien.
Généralisation de la question précédente
Toujours en utilisant l’inégalité de Carleman, généraliser le résultat de la question précédente en montrant que la série \(\sum \frac{1}{(n!)^{p/n}}\) est convergente pour \(p>1\).
Solution
Considérons la suite \(a_n = \frac{1}{n^p}\). Cette dernière est bien positive.
Calculons les produits géométriques des termes de la suite :
\[
\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{k^p} = \frac{1}{(n!)^p}.
\]
Prenons la racine \(n\)-ième de ce produit :
\[
\left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} = \left( \frac{1}{(n!)^p} \right)^{1/n} = \frac{1}{(n!)^{p/n}}.
\]
Appliquons alors l’inégalité de Carleman :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n!)^{p/n}} \leq e \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}.
\]
Or, la série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}\) converge si et seulement si \(p > 1\) comme série de Riemann. Par application du théorème de comparaison, nous venons bien de généraliser le résultat précédent.
Optimalité de \(e\)
Voici une dernière question pour vérifier si tu as compris la démonstration bonus disponible plus bas. Il s’agit ici de démontrer que la constante \(e\) est bien optimale dans la formule, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de constante inférieure qui conserve la véracité de l’inégalité. Il s’agit donc de démontrer la ligne appelée (*) ci-dessous.
Solution
Pour montrer que \(e\) est optimal, il faut démontrer que la suite \(\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k\) croît vers \(e\) et qu’elle est croissante.
Considérons la suite \(a_k = \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k\).
Nous pouvons utiliser le fait que :
\[
\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \exp\left(k \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right)
\]
Par une utilisation des équivalents, nous avons :
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{k}
\]
Donc,
\[
k\ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \sim_{+\infty} 1
\]
Lorsque \(k \to \infty\),
\[
k \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \to 1
\]
Ainsi,
\[
\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k = \exp\left(k \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right) \to \exp(1) = e
\]
Reste ensuite à montrer que la suite est croissante. Pour cela, on peut passer classiquement par une simple étude de la fonction \(f\) vérifiant \(f(x) = (1+1/x)^x\)
Démonstration de l’inégalité de Carleman
Préambule : cette démonstration est assez technique et navigue entre des notions du programme et des notions hors programme. Il faut donc bien t’accrocher et pas de panique si tu ne comprends pas tout à la première lecture.
Soit pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( c_n = \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}} \) (je te l’accorde, rien d’intuitif pour le moment). Observons que \( c_1 c_2 \cdots c_n = (n+1)^n \), et que donc \( (c_1 c_2 \cdots c_n)^{1/n} = n+1 \). Soit \( N \in \mathbb{N} \). Alors, d’après l’inégalité arithmético-géométrique (inégalité ultraclassique, mais pas explicitement au programme, il peut malgré tout être très intéressant de la connaître, surtout pour les Parisiennes).
\[
\sum_{n=1}^{N} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k c_k \right)^{1/n}
\]
Jusque-là, nous avons simplement utilisé le fait que \( (c_1 c_2 \cdots c_n)^{1/n} = n+1 \).
Une inversion de somme et l’application de l’inégalité arithmético-géométrique conduit alors à :
\[
\sum_{n=1}^{N} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} \leq \sum_{n=1}^{N} \left( \sum_{n=k}^{N} \frac{1}{n(n+1)} \right) a_k c_k
\]
\[
= \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{N+1} \right) a_k c_k
\]
Indice : on a ici des séries télescopiques
\[
\leq \sum_{k=1}^{N} a_k \frac{c_k}{k}
\]
Que l’on obtient à l’aide d’une majoration, car \(N+1 > 0\)
Or, la suite de nombres rationnels \( \frac{c_k}{k} = \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k \) croît (ce qu’il faudrait préalablement montrer dans l’idéal) vers \( e \), donc \( \frac{c_k}{k} < e \) pour tout \( k \geq 1 \). (*)
D’où
\[
\sum_{n=1}^{N} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} \leq e \sum_{k=1}^{N} a_k
\]
Ainsi, nous obtenons finalement comme souhaité :
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \prod_{k=1}^{n} a_k \right)^{1/n} \leq e \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
\]
Conclusion
Tu sais désormais étudier le comportement de certaines séries grâce à l’inégalité de Carleman. Tu l’auras vu, celle-ci n’est pas si complexe lorsqu’elle est appliquée à une suite définie. Aucun sujet d’annales n’a encore fait intervenir l’inégalité de Carleman, si bien qu’il n’en existe pas pour t’entraîner.
Pour autant, maîtriser les trois questions vues ainsi que la démonstration de l’inégalité pourrait bien être très utile si un sujet venait à consacrer cette notion !
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