La loi de Skellam est une loi de probabilité discrète, hors programme en prépa ECG. Pourtant, celle-ci se définit à partir des lois de Poisson et est donc, de ce fait, particulièrement proche du programme et étudiable avec les outils dont dispose l’étudiant. C’est une loi de probabilité très intéressante pour un potentiel sujet de concours. C’est ainsi qu’elle est née du besoin de mesurer la différence entre deux phénomènes aléatoires indépendants, chacun modélisé par une loi de Poisson.
Définition et construction
Soient deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé :
\[ X \sim \mathcal{P}(\lambda_1), \quad Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2) \]
On définit la variable aléatoire \(Z\) par :
\[ Z = X – Y \]
La loi de \(Z\), notée \(\mathrm{Sk}(\lambda_1, \lambda_2)\), est appelée loi de Skellam. Contrairement aux lois de Poisson qui sont à valeurs dans \(\mathbb{N}\), la loi de Skellam est à valeurs dans \(\mathbb{Z}\).
Cela se comprend aisément : si \(X\) prend comme valeur 0 et que \(Y\) peut prendre des très grandes valeurs, alors la loi de Skellam prendra une valeur très négative.
Loi de probabilité et fonction de Bessel
Pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), la loi de probabilité de \(Z\) est donnée par la formule du produit de convolution, qui est au programme et qu’il convient de maîtriser.
Sous réserve d’existence de la série, on peut écrire alors :
\[ P(Z = k) = \sum_{n = \max(0, -k)}^{\infty} P(X = k + n) \cdot P(Y = n) \]
En remplaçant par les expressions des lois de Poisson, qui sont bien connues depuis la première année, on obtient :
\[ P(Z = k) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{n = \max(0, -k)}^{\infty} \frac{\lambda_1^{k + n} \lambda_2^n}{(k + n)! n!} \]
Cette somme est liée à la fonction de Bessel modifiée du premier type d’ordre \(k\), notée \(I_k(z)\). Il s’agit d’une fonction hors programme, pas d’inquiétude, voici simplement pour mémoire une expression simplifiée de sa loi de probabilité. La formule finale s’écrit alors :
\[ P(Z = k) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^{k/2} I_{|k|}(2\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}) \]
Calcul des moments
La fonction caractéristique est un outil redoutable pour étudier la loi de Skellam sans manipuler directement les fonctions de Bessel, qui sont techniques à utiliser.
Espérance et variance
Espérance : \(E(Z) = E(X) – E(Y) = \lambda_1 – \lambda_2\) (par linéarité de l’espérance et en connaissance de l’espérance d’une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson).
Variance : par indépendance, \(V(Z) = V(X) + V(-Y) = V(X) + V(Y) = \lambda_1 + \lambda_2\) (cf. la valeur de la variance d’une loi de Poisson).
Moments d’ordre supérieurs
Puisque \(Z = X – Y\) avec \(X\) et \(Y\) indépendantes (attention à ne pas oublier cette condition fondamentale), on peut utiliser la formule du binôme de Newton sur l’espérance :
Où \(E(X^k)\) et \(E(Y^{n-k})\) sont les moments d’ordre successifs de lois de Poisson. On peut aller un peu plus loin dans cette formule en mobilisant les nombres de Stirling de seconde espèce, qui représentent le nombre de manières de partitionner un ensemble de \(n\) éléments en \(j\) sous-ensembles non vides.
On a alors, en notant les nombres de Stirling de seconde espèce \(S(n, j)\) :
Théorème central limite
Considérons \(X \sim \mathcal{P}(\lambda_1)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)\), deux variables indépendantes. D’après l’approximation précédente, pour \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) suffisamment grands :
On sait que la différence de deux variables aléatoires normales indépendantes suit également une loi normale. Soient \(U \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\) et \(V \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\), alors :
En remplaçant par nos paramètres connus, on obtient donc :
Visualisation en Python
On se propose ici de définir un script permettant de simuler la loi de Skellam comme différence de deux lois de Poisson et de vérifier la cohérence avec la loi théorique en passant par une approche graphique. Il y a plusieurs manières de coder cela, voici une proposition parmi d’autres :
Analyse du code ligne par ligne
On importe d’abord les bibliothèques dont nous aurons besoin (pour manipuler les vecteurs, afficher un graph et utiliser les lois de Poisson et de Skellam). On définit ensuite deux vecteurs de taille 10 000 de loi de Poisson de paramètre 5 et 2. On définit alors un vecteur de différence des deux vecteurs précédents, le vecteur contenant des itérations de la loi de Skellam. Ensuite, on définit la longueur de l’axe des abscisses que l’on veut afficher en prenant un peu plus que la valeur minimum et maximum du vecteur contenant les réalisations de la loi de Skellam.
Ensuite, on construit l’histogramme correspondant aux réalisations empiriques de la loi et on affiche également le graph théorique. On obtient alors la sortie suivante :
Conclusion
La loi de Skellam permet alors d’inviter l’étudiant à manipuler les outils incontournables dans le domaine des probabilités discrètes comme l’espérance, la variance, le produit de convolution discret, le théorème central limite ou encore du codage Python. Cela en fait donc une loi de probabilité certes hors programme, mais qui pourrait aisément être plébiscitée par des sujets en ce qu’elle est parfaitement analysable (du moins en partie) avec les outils du programme, comme nous venons de le faire.
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