Le programme de CPGE, particulièrement dans l’étude des espaces préhilbertiens, nous apprend à structurer l’espace par l’orthogonalité. Si l’inégalité de Cauchy-Schwarz constitue le premier jalon de cette étude en liant deux vecteurs, l’analyse exige des outils plus vastes pour traiter des familles de vecteurs. C’est ici qu’intervient l’inégalité de Bessel. Cette notion revient d’ailleurs parfois dans les sujets parisiens de type Maths I, où la démonstration de cette inégalité se fait par l’étudiant lui-même en passant par des questions intermédiaires (ou non…). Voyons donc dans une première partie un court rappel sur les familles orthonormales, avant de définir et de démontrer l’inégalité de Bessel. Enfin, nous ferons quelques exemples d’application de cette inégalité fondamentale d’algèbre bilinéaire.
Introduction sur les familles orthonormales
Pour rappel, voici la définition d’une famille orthonormale qui nous sera utile pour définir l’inégalité de Bessel : dans un espace préhilbertien réel \( (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) \), on dit qu’une famille de vecteurs \( (e_1, e_2, \dots, e_n) \) est orthonormale si :
\[ \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i,j} =
\begin{cases}
1 & \text{si } i=j \\
0 & \text{si } i \neq j
\end{cases} \]
En d’autres termes, une famille est orthonormale si tous les vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.
L’inégalité de Bessel
Présentation
Soit \( (e_1, e_2, \dots, e_n) \) une famille orthonormale de \( E \). Pour tout vecteur \( x \in E \), on a :
\[ \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2 \leq \|x\|^2 \]
Approfondissement
Pour comprendre cette somme, il faut décomposer le vecteur \( x \) en deux morceaux orthogonaux.
La projection \( p(x) \) : c’est la partie de \( x \) issue du sous-espace engendré par notre famille. On l’écrit \( p(x) = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k \).
Le reste \( r(x) \) : c’est la partie de \( x \) qui est perpendiculaire à la famille. On l’appelle l’erreur de projection : \( r(x) = x – p(x) \).
Le théorème de Pythagore nous dit alors que :
\[ \|x\|^2 = \|p(x)\|^2 + \|r(x)\|^2 \]
Visuellement, on comprend que l’inégalité découle du fait que \( \|r(x)\|^2 \geq 0 \). Il ne reste plus qu’à le prouver !
Démonstration
Si tu vises une Parisienne, il peut être pertinent d’être très familier avec cette démonstration, qui en plus d’être assez rapide, tombe souvent dans les sujets de concours faisant intervenir de l’algèbre bilinéaire. Voici donc une manière rapide de démontrer l’inégalité de Bessel.
Étape 1 : Introduction du projeté orthogonal
On considère le vecteur \( p_n(x) \), qui est la projection orthogonale de \( x \) sur le sous-espace \( F_n = \text{Vect}(e_1, \dots, e_n) \). Ce vecteur est défini, comme tu le sais grâce au cours, par :
\[ p_n(x) = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k \]
Étape 2 : Utilisation du théorème de Pythagore
Par définition de la projection orthogonale, le vecteur \( x – p_n(x) \) est orthogonal à tout vecteur de \( F_n \). En particulier, il est orthogonal à \( p_n(x) \).
D’après le théorème de Pythagore, on a :
\[ \|x\|^2 = \|x – p_n(x) + p_n(x)\|^2 = \|x – p_n(x)\|^2 + \|p_n(x)\|^2 \]
Étape 3 : Calcul de la norme du projeté
Calculons \( \|p_n(x)\|^2 \) en utilisant le fait que la famille \( (e_k) \) est orthonormale (elle est orthonormale par hypothèse) :
\[ \|p_n(x)\|^2 = \left\langle \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i, \sum_{j=1}^n \langle x, e_j \rangle e_j \right\rangle \]
Par bilinéarité du produit scalaire :
\[ \|p_n(x)\|^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle x, e_j \rangle \langle e_i, e_j \rangle \]
Comme \( \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i,j} \) (vaut 1 si \( i=j \), 0 sinon), la double somme se simplifie :
\[ \|p_n(x)\|^2 = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2 \]
En effet, on ne garde que le cas où \(i = j\), donc il ne reste plus qu’une seule somme et dans ce cas, on a \(\langle e_i, e_j \rangle = 1\).
Étape 4 : Conclusion par positivité
On revient à l’égalité de l’étape 2 :
\[ \|x\|^2 = \|x – p_n(x)\|^2 + \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2 \]
Or, une norme au carré est toujours positive : \( \|x – p_n(x)\|^2 \geq 0 \).
On en déduit immédiatement :
\[ \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2 \leq \|x\|^2 \]
Remarque : le cas d’égalité a lieu si et seulement si \( \|x – p_n(x)\| = 0 \), c’est-à-dire si \( x = p_n(x) \), ce qui signifie que \( x \) appartient au sous-espace \( F_n \). C’est d’ailleurs ce cas d’égalité que nous allons voir dans la sous-partie qui suit !
Base hilbertienne
On dit qu’une famille orthonormale \( (e_n)_{n \in \mathbb{N}} \) est une base hilbertienne de \( E \) si, pour tout vecteur \( x \in E \), on a l’égalité :
\[ \|x\|^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \langle x, e_n \rangle^2 \]
Tu noteras ici que la somme est infinie, contrairement à la somme dans l’inégalité de Bessel. En fait, ce cas d’égalité signifie que le « reste » ou l’erreur de projection \( r(x) = x – p_n(x) \) tend vers le vecteur nul lorsque le nombre de vecteurs de la famille tend vers l’infini.
Géométriquement, cela veut dire que la famille \( (e_n) \) « remplit » intégralement l’espace \( E \).
Exemples d’application
Exemple 1 : Un cas abordable de projection plane
Énoncé
Soit \(E = \mathbb{R}^2\) muni du produit scalaire canonique. On considère le vecteur unitaire \(e_1 = (1,0)\). C’est une famille orthonormale (elle ne contient qu’un seul vecteur de norme 1).
Soit \(x = (a,b) \) un vecteur quelconque de \(E\). Écrire l’inégalité de Bessel pour ce vecteur.
Corrigé
On calcule d’abord le produit scalaire :
L’inégalité de Bessel nous dit que la somme des carrés des coefficients est inférieure ou égale à la norme au carré du vecteur. Ici, il n’y a qu’un seul coefficient :
Ce qui donne :
L’inégalité montre que le carré de l’abscisse (\(a^2\)) est forcément plus petit (ou égal) que la somme du carré de l’abscisse et du carré de l’ordonnée (\( a^2 + b^2 \)).
L’égalité (\( a^2 = a^2 + b^2 \)) n’a lieu que si \( b = 0 \), c’est-à-dire si le vecteur \( x \) est déjà sur l’axe dirigé par \( e_1 \). Dans ce cas, la famille « capte » toute l’information du vecteur.
L’inégalité stricte a lieu dès que \(b \neq 0 \). On « perd » la valeur \( b^2 \) car notre famille orthonormale est incomplète : elle ne connaît pas l’axe vertical.
Exemple 2 : Inégalité de Bessel appliqué à un calcul intégral (plus technique)
Énoncé
Soit \( f : [0, \pi] \to \mathbb{R} \) une fonction continue. On pose pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) :
\[c_n(f) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\pi f(t) \sin(nt) \, dt \]
Montrer que la série \( \sum c_n(f)^2 \) converge et que \( \sum_{n=1}^{+\infty} c_n(f)^2 \leq \int_0^\pi f^2(t) \, dt \). (Indice : on définit le produit scalaire \( \langle g, h \rangle = \int_0^\pi g(t)h(t) \, dt \) dont on admet qu’il s’agit d’un produit scalaire.)
Éléments de correction
On pose \( e_n(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nt) \). On vérifie par le calcul intégral que \( \langle e_n, e_m \rangle = \delta_{n,m} \). La famille est donc orthonormale.
On reconnaît que \( c_n(f) = \langle f, e_n \rangle \).
L’inégalité de Bessel appliquée à \( f \) donne pour tout \( N \) :
\[ \sum_{n=1}^N c_n(f)^2 \leq \|f\|^2 = \int_0^\pi f^2(t) \, dt \]
La suite des sommes partielles est croissante (car constituée d’éléments au carré, donc positive) et majorée, donc la série converge et l’inégalité est prouvée par passage à la limite.
Conclusion
En définitive, comme nous l’avons vu avec ces deux exemples, l’inégalité de Bessel trouve de nombreuses applications différentes, notamment pour majorer des séries ou des intégrales. Si tu vises une Parisienne, tu peux t’entraîner sur la démonstration de cette inégalité, puisqu’elle est déjà tombée aux écrits et aux oraux !
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