Les polynômes d’Abel renvoient à une famille de polynômes introduite dans le cadre de l’étude des équations fonctionnelles et des structures combinatoires. Ils sont nommés d’après le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel. Ces polynômes peuvent être en partie étudiés à partir du programme de maths en prépa ECG. Ces derniers sont d’ailleurs à la croisée de plusieurs chapitres : polynômes, combinatoire et dénombrement, suites. Dans cet article, nous étudierons d’abord la définition de cette famille de polynômes, avant d’en venir à ses très nombreuses propriétés intéressantes abordables avec les outils du programme de prépa ECG.
Définition
La définition des polynômes d’Abel repose sur une formule explicite paramétrée par un réel (ou complexe, mais on écartera cette option par souci de cohérence avec le programme en ECG) noté \( a \). Pour tout entier \( n \geq 1 \), on définit :
\[
A_n(x) = x(x – a n)^{n-1}
\]
et on pose par convention \( A_0(x) = 1 \).
La structure de cette définition est à retenir : \(A_n\) est le produit d’un facteur linéaire \(x\) et d’une puissance \((n-1)\)-ième du binôme \(x – an\). C’est cette structure particulière qui détermine à la fois le degré, les racines et les propriétés de dérivation de la famille.
Voici quelques exemples concrets que tu peux retrouver par toi-même :
Pour \( a = 1 \), on obtient :
\[
\begin{aligned}
A_1(x) &= x \\
A_2(x) &= x(x – 2) = x^2 – 2x \\
A_3(x) &= x(x – 3)^2 = x^3 – 6x^2 + 9x
\end{aligned}
\]
Tu pourras vérifier par toi-même que pour \(a = 2\), on obtient \(A_2(x) = x(x-4) = x^2 – 4x\) et \(A_3(x) = x(x-6)^2 = x^3 – 12x^2 + 36x\) : les racines multiples se déplacent à mesure que \(a\) et \(n\) varient.
Propriétés de cette famille de polynômes
Degré et forme explicite
Le polynôme \( A_n(x) \) est de degré \( n \) (cela se détermine de manière classique par produit de deux polynômes, donc en additionnant leurs degrés respectifs, un de degré \(1\) et l’autre de degré \(n-1\)) , en regardant l’expression :
\[
A_n(x) = x(x – an)^{n-1}
\]
Racines du polynôme
Pour étudier les racines des polynômes d’Abel, il ne faut pas oublier que \(a\) est un réel qui est fixé d’avance et \(n\) varie. Par simple lecture de la définition du polynôme, on en déduit que \(A_n\) possède une racine en \( x = 0 \), et \( n-1 \) racines égales à \( x = a n \).
D’ailleurs, on peut même constater de manière plus forte que la racine notée \(x_n = an\) est de multiplicité \(n-1\) (par définition même de la racine multiple d’un polynôme).
Attention, cependant ! Pour \(n = 1\), on a \(A_1(x) = x\) qui n’a qu’une racine simple en \(0\) : la racine \(x = a\) de multiplicité \(0\) disparaît. Et pour \(a = 0\), la définition donne \(A_n(x) = x \cdot x^{n-1} = x^n\) : il n’y a plus qu’une seule racine en \(0\), de multiplicité \(n\).
Dérivée
Les polynômes d’Abel vérifient une relation de dérivation utile :
\[
A_n'(x) = n A_{n-1}(x – a)
\]
Cette relation est à la fois un résultat de calcul et un outil : elle permet de relier la dérivée de \(A_n\) à \(A_{n-1}\). Tu pourras constater cette relation à partir de la définition explicite des polynômes donnée plus haut, je te laisse vérifier cela !
Après avoir vu les premières propriétés relativement accessibles sur les polynômes d’Abel, passons à un niveau au-dessus. Au fond, pourquoi étudions-nous cette famille de polynômes ? Qu’a-t-elle de si particulier qui mérite que l’on aille plus loin que l’étude classique que l’on peut mener pour toute famille polynomiale ? Répondons à cela dès maintenant.
Lien avec les factorielles décalées
Petit point définition préalable : les factorielles décalées sont définies comme :
\[
(x)_n = x(x – 1)(x – 2) \cdots (x – n + 1)
\]
Les polynômes d’Abel peuvent être vus comme une généralisation de ces factorielles, avec un pas \( a \) au lieu de 1. On peut les réécrire comme :
\[
A_n(x) = x \cdot (x – a n)^{n-1}
\]
Cela rappelle la forme :
\[
(x)_{n}^{(a)} := x(x – a)(x – 2a)\cdots(x – (n – 1)a)
\]
De ce fait, les polynômes d’Abel peuvent être utiles en dénombrement (où l’on utilise parfois la notion de factorielle décalée). Ce lien permet d’interpréter les polynômes d’Abel comme des outils d’interpolation ou de changements de base dans des algèbres de séries formelles. Ainsi, les polynômes d’Abel pourraient très bien être abordés également dans un sujet pointu d’algèbre.
Les polynômes d’Abel : des polynômes binomiaux
On en arrive au point le plus intéressant. Les polynômes d’Abel vérifient la relation suivante, qui rappelle directement le binôme de Newton :
\[A_n(x + y) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A_k(x) A_{n-k}(y)\]
On dit que la suite des polynômes d’Abel est une suite polynomiale de type binomial. Cette propriété est profonde : elle signifie que les polynômes d’Abel se comportent vis-à-vis de l’addition comme les puissances \(x^n\) dans le binôme de Newton. On peut d’ailleurs vérifier sur les premiers termes : pour \(n = 2\) et \(a = 1\), la relation donne \(A_2(x+y) = A_2(x) + 2A_1(x)A_1(y) + A_2(y)\), soit \((x+y)(x+y-2) = x(x-2) + 2xy + y(y-2)\), ce qui se vérifie algébriquement.
Et on peut déduire de cela que tout polynôme binomial peut se décomposer à partir des polynômes d’Abel (nota bene : bon moyen d’inclure de l’algèbre dans un sujet tournant autour des polynômes). Cette propriété fait ainsi des polynômes d’Abel une famille ultra intéressante pour étudier d’autres familles polynomiales.
Conclusion
Les polynômes d’Abel offrent un exemple fascinant de structure polynomiale riche, à la croisée de l’analyse, de la combinatoire ou encore de l’algèbre. De ce fait, cette famille de polynômes pourrait être à l’origine d’un magnifique sujet de type Maths I (sûrement un sujet difficilement accessible). Comme un tel sujet n’est pas encore tombé au concours, tu peux t’entraîner sur le sujet ECRICOME 2011 ECS, dont l’exercice 1 traite d’une famille de polynômes proches des polynômes d’Abel.
Il n’y a plus qu’à croiser les doigts pour qu’un tel thème tombe aux concours !
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