La transformée de Legendre-Fenchel est une opération qui associe à toute fonction \( f \) définie sur un ensemble \( U \subset \mathbb{R}^n \) une nouvelle fonction \( f^* \), appelée fonction conjuguée de \( f \). Elle apparaît dans les concours ECG dans des problèmes d’optimisation, de produit scalaire et de convexité. Cet article définit la transformée de Legendre-Fenchel, établit ses propriétés fondamentales et illustre son calcul sur les exemples classiques du programme.
Définition et domaine de la fonction conjuguée
Définition
On se place dans \( \mathbb{R}^n \) muni de son produit scalaire canonique \( \langle x, y \rangle = \,^t\! x \, y \) et de la norme euclidienne \( \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \). Soit \( U \) une partie non vide de \( \mathbb{R}^n \) et \( f : U \to \mathbb{R} \) une fonction continue.
Pour tout vecteur \( y \in \mathbb{R}^n \), on définit la fonction auxiliaire \( F_y : U \to \mathbb{R} \) par :
\[ F_y(x) = \langle x, y \rangle – f(x) \]
On note \( U(f) \) l’ensemble des vecteurs \( y \in \mathbb{R}^n \) pour lesquels \( F_y \) admet un maximum sur \( U \). Lorsque \( U(f) \) est non vide, la fonction conjuguée de \( f \) est la fonction \( f^* : U(f) \to \mathbb{R} \) définie par :
\[ f^*(y) = \max_{x \in U} F_y(x) = \max_{x \in U} \left( \langle x, y \rangle – f(x) \right) \]
Intuitivement, \( f^*(y) \) mesure à quel point le vecteur \( y \) peut être approché linéairement par \( f \) : c’est le maximum de l’écart entre la forme linéaire \( x \mapsto \langle x, y \rangle \) et la fonction \( f \).
Dans toute la suite de l’article, on se place dans le cas \( n = 1 \), qui concentre l’essentiel des situations utiles aux concours. Le produit scalaire se confond alors avec le produit usuel sur \( \mathbb{R} \), et \( F_y(x) = xy – f(x) \). La transformée de Legendre-Fenchel est alors l’opération classique qui consiste à exprimer \( f^*(y) \) comme le maximum de la famille de fonctions affines \( x \mapsto xy – f(x) \).
Existence du maximum : le cas d’un segment
Lorsque \( U \) est un segment de \( \mathbb{R} \), la fonction \( F_y \) est continue sur ce segment, donc elle est bornée et atteint ses bornes, d’après le théorème du cours sur les fonctions continues sur un segment. Dans ce cas, \( U(f) = \mathbb{R} \) tout entier, et \( f^* \) est définie sur \( \mathbb{R} \).
Lorsque \( U \) est non borné, l’existence du maximum dépend du comportement de \( F_y \) à l’infini : il faut vérifier que \( F_y(x) \to -\infty \) quand \( x \to \pm\infty \) (ou vers la borne infinie de \( U \)). C’est ce qu’on vérifie au cas par cas sur les exemples suivants.
Calcul de la conjuguée dans les cas classiques
Cas quadratique : \( f(x) = a\displaystyle\frac{x^2}{2} \) sur \( \mathbb{R} \)
Soit \( a > 0 \) et \( f(x) = a\displaystyle\frac{x^2}{2} \) sur \( U = \mathbb{R} \). Pour tout \( y \in \mathbb{R} \), on cherche le maximum de \( F_y(x) = xy – a\displaystyle\frac{x^2}{2} \). Cette fonction est strictement concave en \( x \) (le coefficient de \( x^2 \) est \( -a < 0 \)), donc elle admet un unique maximum, atteint en annulant la dérivée :
\[ F_y'(x) = y – ax = 0 \Rightarrow x^* = \frac{y}{a} \]
On calcule alors :
\[ f^*(y) = F_y\left(\frac{y}{a}\right) = \frac{y^2}{a} – a \cdot \frac{y^2}{2a^2} = \frac{y^2}{a} – \frac{y^2}{2a} = \frac{y^2}{2a} \]
Donc : \( f^*(y) = \displaystyle\frac{y^2}{2a} \), définie sur \( U(f) = \mathbb{R} \). On remarque que \( f^* \) est de la même forme que \( f \), avec le paramètre \( a \) remplacé par \( \displaystyle\frac{1}{a} \).
Cas puissance : \( f(x) = \displaystyle\frac{x^\alpha}{\alpha} \) sur \( \mathbb{R}_+^* \)
Soit \( \alpha > 1 \) et \( f(x) = \displaystyle\frac{x^\alpha}{\alpha} \) sur \( U = \mathbb{R}_+^* \). On introduit \( \beta > 1 \) vérifiant \( \displaystyle\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 \), c’est-à-dire \( \beta = \displaystyle\frac{\alpha}{\alpha – 1} \). Cette relation est la relation de conjugaison de Hölder.
Pour \( y > 0 \), on maximise \( F_y(x) = xy – \displaystyle\frac{x^\alpha}{\alpha} \). On annule la dérivée :
\[ F_y'(x) = y – x^{\alpha – 1} = 0 \Rightarrow x^* = y^{\frac{1}{\alpha – 1}} = y^{\beta – 1} \]
car \( \displaystyle\frac{1}{\alpha – 1} = \beta – 1 \) d’après la relation de conjugaison. On calcule :
\[ f^*(y) = y \cdot y^{\beta – 1} – \frac{y^{\alpha(\beta-1)}}{\alpha} = y^\beta – \frac{y^\beta}{\alpha} = y^\beta \left(1 – \frac{1}{\alpha}\right) = \frac{y^\beta}{\beta} \]
car \( 1 – \displaystyle\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\beta} \). Donc \( f^*(y) = \displaystyle\frac{y^\beta}{\beta} \), définie sur \( U(f) = \mathbb{R}_+^* \). La transformée de Legendre-Fenchel échange les exposants conjugués au sens de Hölder.
Cas exponentiel : \( f(x) = e^x \) sur \( \mathbb{R} \)
Pour \( f(x) = e^x \) sur \( U = \mathbb{R} \), on maximise \( F_y(x) = xy – e^x \). La dérivée donne \( F_y'(x) = y – e^x = 0 \), soit \( x^* = \ln(y) \), défini uniquement pour \( y > 0 \). Pour \( y < 0 \), \( F_y \) est strictement décroissante et non majorée sur \( \mathbb{R} \), donc elle n’admet pas de maximum.
Pour \( y = 0 \), \( F_0(x) = -e^x \) est majorée par \( 0 \) mais n’atteint jamais cette borne, puisque \( e^x > 0 \) pour tout \( x \) : elle n’admet donc pas non plus de maximum. Dans les deux cas, \( F_y \) n’admet pas de maximum sur \( \mathbb{R} \). Donc \( U(f) = \mathbb{R}_+^* \).
Pour \( y > 0 \) :
\[ f^*(y) = y \ln(y) – e^{\ln(y)} = y \ln(y) – y \]
La conjuguée est \( f^*(y) = y\ln(y) – y \) sur \( \mathbb{R}_+^* \), liée à l’entropie de Shannon en théorie de l’information. Cet exemple montre bien que \( U(f) \) peut être strictement plus petit que \( \mathbb{R} \) : la croissance de \( f \) doit être suffisamment rapide pour que \( F_y(x) \) tende vers \( -\infty \) quand \( x \to +\infty \), ce qui n’est vrai ici que si \( y > 0 \).
Propriétés fondamentales
La double conjuguée : \( (f^*)^* = f \)
Dans le cas où \( f \) est convexe, différentiable sur \( \mathbb{R} \), et vérifie \( f” > 0 \) partout, on peut montrer que \( (f^*)^* = f \). Autrement dit, la transformée de Legendre-Fenchel est une involution sur la classe des fonctions convexes régulières.
La démonstration repose sur le fait que, pour \( y \in U(f) \), le maximum de \( F_y \) est atteint en \( x^*(y) \), qui est l’unique solution de \( f'(x) = y \). Puisque \( f” > 0 \), la fonction \( f’ \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc elle réalise une bijection de \( \mathbb{R} \) sur son image, qui est précisément \( U(f) \). On note \( g \) la réciproque de cette bijection, définie sur \( U(f) \) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \). Alors \( x^*(y) = g(y) \) pour tout \( y \in U(f) \), et :
\[ f^*(y) = g(y) \cdot y – f(g(y)) \]
Pour calculer \( (f^*)^* \) en un point \( x \in \mathbb{R} \), on maximise \( F_x^*(y) = xy – f^*(y) \) sur \( U(f) \), en dérivant par rapport à \( y \) : \( (f^*)'(y) = x \). Or \( (f^*)'(y) = g(y) \) (par dérivation de la formule ci-dessus), donc le maximum est atteint au point \( y^*(x) \) tel que \( g(y^*(x)) = x \), c’est-à-dire \( y^*(x) = f'(x) \), qui appartient bien à \( U(f) \) puisque c’est l’image de \( x \) par \( f’ \). On calcule :
\[ (f^*)^*(x) = x \cdot f'(x) – f^*(f'(x)) = x \cdot f'(x) – \left[ x \cdot f'(x) – f(x) \right] = f(x) \]
Donc : \( (f^*)^* = f \).
On vérifie ce résultat sur les exemples précédents : pour \( f(x) = a\displaystyle\frac{x^2}{2} \), on a \( f^*(y) = \displaystyle\frac{y^2}{2a} \), dont la conjuguée est \( \displaystyle\frac{x^2}{2 \cdot \frac{1}{a}} = a\frac{x^2}{2} = f(x) \). Pour \( f(x) = e^x \), on peut de même vérifier que la conjuguée de \( y\ln(y) – y \) redonne bien \( e^x \).
Inégalité de Fenchel-Young
Pour tout \( x \in U \) et tout \( y \in U(f) \), on a :
\[ xy \leq f(x) + f^*(y) \]
Cette inégalité s’appelle inégalité de Fenchel-Young. Elle découle directement de la définition : par définition de \( f^* \) comme maximum, \( f^*(y) \geq xy – f(x) \) pour tout \( x \in U \), ce qui donne immédiatement l’inégalité. L’égalité a lieu si et seulement si \( x \) réalise le maximum de \( F_y \), c’est-à-dire si et seulement si \( f'(x) = y \) dans le cas différentiable.
Pour \( \alpha \) et \( \beta \) conjugués au sens de Hölder, on retrouve l’inégalité de Young : \( xy \leq \displaystyle\frac{x^\alpha}{\alpha} + \frac{y^\beta}{\beta} \) pour \( x, y > 0 \), qui est un cas particulier de l’inégalité de Fenchel-Young avec \( f(x) = \displaystyle\frac{x^\alpha}{\alpha} \).
Travailler la transformée de Legendre-Fenchel
Si tu veux travailler la transformée de Legendre-Fenchel, voilà un sujet de concours où tu peux la retrouver :
Conclusion
La transformée de Legendre-Fenchel associe à toute fonction \( f \) une conjuguée \( f^* \) définie par \( f^*(y) = \displaystyle\max_{x \in U} \left( \langle x, y \rangle – f(x) \right) \).
La plupart des notions étudiées dans cet article sont complètement hors programme et ne sont pas à connaître ou à utiliser en copie. Mais travailler cette notion et le sujet au-dessus te permettra de développer tes compétences en algèbre bilinéaire et en analyse !
