La matrice de Kalman est l’une des matrices très classiques aux concours de prépa ECG. Tu pourras la retrouver aussi bien à l’écrit qu’à l’oral. Cet article définit la matrice de Kalman, établit ses propriétés essentielles et démontre le critère de contrôlabilité qui en découle.
Définition et construction
Cadre et définition
Soit \( p \in \mathbb{N}^* \) et \( A \) une matrice carrée de \( M_p(\mathbb{R}) \). Soit \( B \) une matrice-colonne de \( M_{p,1}(\mathbb{R}) \), c’est-à-dire un vecteur de \( \mathbb{R}^p \). Pour tout entier \( q \in \mathbb{N}^* \), on définit le sous-espace vectoriel de \( M_{p,1}(\mathbb{R}) \) :
\[ G_q = \text{Vect}(B, AB, A^2B, \ldots, A^{q-1}B) \]
La matrice de Kalman d’ordre \( q \) associée au couple \( (A, B) \) est la matrice \( K_q \in M_{p,q}(\mathbb{R}) \) dont les colonnes successives sont \( B, AB, A^2B, \ldots, A^{q-1}B \) :
\[ K_q = \begin{pmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{q-1}B \end{pmatrix} \]
Ainsi \( G_q \) est exactement l’image de \( K_q \) : un vecteur \( Y \in M_{p,1}(\mathbb{R}) \) appartient à \( G_q \) si et seulement s’il existe \( C \in M_{q,1}(\mathbb{R}) \) tel que \( Y = K_q C \).
Le cas qui nous intéresse principalement est \( q = p \) : la matrice de Kalman \( K_p \) est alors une matrice carrée d’ordre \( p \) et la question de son inversibilité est bien posée.
Stabilisation de \( G_q \)
Une propriété clé est la stabilisation de la suite des sous-espaces \( (G_q)_{q \geq 1 } \) : pour tout entier \( q > p \), on a \( G_q = G_p \).
Démonstration
Il est clair que \( G_q \subset G_{q+1} \) pour tout \( q \), car on ajoute un vecteur au système générateur. La suite des dimensions \( \dim(G_q) \) est donc croissante. Comme \( G_q \subset M_{p,1}(\mathbb{R}) \) qui est de dimension \( p \), la suite des dimensions est majorée par \( p \). Elle est donc stationnaire à partir d’un certain rang \( q_0 \leq p \).
Dès que \( \dim(G_q) = \dim(G_{q+1}) \) et \( G_q \subset G_{q+1} \), on a \( G_q = G_{q+1} \), ce qui implique \( A^q B \in G_q \). Par récurrence, \( A^{q+k} B \in G_q \) pour tout \( k \geq 0 \), donc \( G_{q+k} = G_q \) pour tout \( k \geq 0 \). En particulier, \( G_q = G_p \) pour tout \( q \geq p \).
Ce résultat justifie que l’on se concentre sur la matrice \( K_p \) : au-delà de l’ordre \( p \), ajouter des colonnes supplémentaires n’augmente pas l’image.
Caractérisation algébrique de \( G_p \)
Une propriété de l’orthogonal de \( G_p \)
Un vecteur \( Z \in M_{p,1}(\mathbb{R}) \) est orthogonal à \( G_p \) (au sens du produit scalaire canonique de \( \mathbb{R}^p \), c’est-à-dire \( \langle Z, Y \rangle = \,^t\!Z \, Y \)) si et seulement si \( \,^t\!Z \, A^k B = 0 \) pour tout \( k \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \), ce qui s’écrit encore \( \,^t\!Z \, K_p = 0 \).
Cette condition peut se reformuler de manière plus frappante (on utilise la propriété de stabilisation évoquée juste au-dessus).
Proposition
Un vecteur \( Z \in M_{p,1}(\mathbb{R}) \) vérifie \( \,^t\!Z \, K_p = 0 \) si et seulement si \( \,^t\!Z \, A^k B = 0 \) pour tout \( k \in \mathbb{N} \).
Démonstration
La condition \( \,^t\!Z \, A^k B = 0 \) pour \( k \in \{0, \ldots, p-1\} \) entraîne la même condition pour tout \( k \geq p \) par le résultat de stabilisation : puisque \( A^k B \in G_p \) pour tout \( k \geq 0 \), et que \( Z \perp G_p \), on a bien \( \,^t\!Z \, A^k B = 0 \) pour tout \( k \). La réciproque est immédiate.
Lien avec l’image de \( \,^t\!K_p \)
On rappelle que, pour toute matrice \( M \), on a \( \ker(M) = (\text{Im}(\,^t\!M))^\perp \) et \( \text{Im}(M) = (\ker(\,^t\!M))^\perp \). Appliqué à \( M = K_p \), cela donne :
\[ G_p = \text{Im}(K_p) = (\ker(\,^t\!K_p))^\perp \]
Ainsi, \( G_p = M_{p,1}(\mathbb{R}) \) tout entier (c’est-à-dire \( K_p \) est de rang \( p \), donc inversible) si et seulement si \( \ker(\,^t\!K_p) = \{0\} \), c’est-à-dire si et seulement si le seul vecteur orthogonal à tous les \( A^k B \) est le vecteur nul.
Critère de contrôlabilité
Énoncé du critère
Le critère de Kalman établit que la matrice \( K_p \) est inversible si et seulement si le couple \( (A, B) \) est contrôlable, au sens suivant : pour tout vecteur cible \( Y \in M_{p,1}(\mathbb{R}) \), il existe un vecteur \( C \in M_{p,1}(\mathbb{R}) \) tel que \( K_p C = Y \). Autrement dit, \( K_p \) est surjective, ce qui pour une matrice carrée équivaut à l’inversibilité.
Ce critère se reformule de manière équivalente : le couple \( (A, B) \) est contrôlable si et seulement si les vecteurs \( B, AB, A^2B, \ldots, A^{p-1}B \) forment une base de \( \mathbb{R}^p \), c’est-à-dire si et seulement si \( G_p = \mathbb{R}^p \).
Exemple : cas \( p = 2 \)
On illustre le critère sur un exemple en dimension \( 2 \). Soit \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
On calcule \( AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).
La matrice de Kalman est :
\[ K_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Son déterminant vaut \( 0 \times 0 – 1 \times 1 = -1 \neq 0 \), donc \( K_2 \) est inversible. Le couple \( (A, B) \) est contrôlable : les vecteurs \( B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) et \( AB = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) forment bien une base de \( \mathbb{R}^2 \).
Prenons maintenant \( B’ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Alors \( AB’ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), et la matrice de Kalman associée est :
\[ K_2′ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Son déterminant est nul : le couple \( (A, B’) \) n’est pas contrôlable. En effet, \( G_2 = \text{Vect}(B’, 0) = \text{Vect}(B’) \) est de dimension \( 1 \), et il est impossible d’atteindre les cibles qui ne sont pas proportionnelles à \( B’ \).
Application : contrôle discret optimal
Lorsque \( K_p \) est inversible (et donc de rang \( p \)), on peut résoudre de manière explicite des problèmes de contrôle optimal. Remarquons d’abord que si l’on se limite à \( p \) étapes de contrôle, l’équation \( K_p C = Y \) admet une unique solution \( C = K_p^{-1} Y \) : il n’y a alors aucun choix à faire, donc aucune minimisation possible.
La situation devient intéressante si l’on autorise le contrôle sur \( q \) étapes avec \( q > p \). La matrice de Kalman \( K_q \), de taille \( p \times q \), est encore de rang \( p \) (d’après la propriété de stabilisation démontrée plus haut), mais l’équation \( K_q C = Y \), d’inconnue \( C \in M_{q,1}(\mathbb{R}) \), admet alors une infinité de solutions : l’ensemble \( \{C \mid K_q C = Y\} \) est un sous-espace affine de dimension \( q – p \). On peut alors chercher, parmi toutes ces solutions, celle qui minimise le coût de contrôle, mesuré par la norme de \( C \).
Ce problème de minimisation sous contrainte linéaire admet pour solution :
\[ C^* = \,^t\!K_q (K_q \,^t\!K_q)^{-1} Y \]
C’est le vecteur de norme minimale dans l’ensemble \( \{C \mid K_q C = Y\} \), car \( C^* \) est la projection orthogonale de l’origine sur ce sous-espace affine.
Travailler les matrices de Kalman
Si tu veux travailler les matrices de Kalman, voilà un sujet de concours où tu peux les retrouver :
Conclusion
Les matrices de Kalman constituent un thème incontournable des concours ECG. Le critère de comptabilité n’est pas au programme, mais il reste intéressant de le connaître pour ne pas être surpris s’il retombe. Travailler ces matrices te permettra de bien consolider ton niveau en algèbre. N’hésite donc pas à faire le sujet au-dessus pour te préparer au mieux aux épreuves de Parisiennes.
