Après deux ans de prépa A/L, les mathématiques doivent te sembler un passé très lointain. Pourtant, certaines épreuves des oraux des écoles de commerce remettent les mathématiques et la logique au centre du jeu. Parmi les exercices les plus fréquents figurent les problèmes de dénombrement, que nous te proposons de voir ensemble dans cet article.
Introduction
Dénombrer, c’est compter le nombre de possibilités dans une situation donnée, sans avoir à les compter une par une. Au lieu de faire la liste de tous les codes à 4 chiffres pour ton cadenas, tu peux en déterminer le nombre exact à l’aide d’une simple formule. Ces problèmes exigent moins des connaissances techniques qu’une véritable capacité à structurer ta pensée. Maîtriser ces questions constitue une excellente occasion de te démarquer en démontrant ta rigueur intellectuelle !
Dans cet article, nous t’exposons en termes simples les éléments essentiels pour comprendre le dénombrement. Tu trouveras aussi des méthodes pour briller face à certains exercices plus difficiles !
La fonction factorielle
La factorielle est une fonction représentée par un point d’exclamation placé après un nombre. Par exemple : 5! ; 27! ; n! ; etc. Malgré l’ordre dans la notation, à l’oral on dira toujours : « factorielle 5 », « factorielle 27 », « factorielle n ». Cette fonction ne concerne que les nombres entiers positifs. Elle a pour effet de multiplier un nombre par tous les entiers positifs qui lui sont inférieurs.
Ainsi, pour les premiers entiers, on a :
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
On peut ici observer que la factorielle d’un nombre, c’est ce nombre multiplié par la factorielle de l’entier inférieur :
= 5 × 4! = 5 × 24
= 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 6
= 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
On remarquera que 0 est un entier positif, mais qu’il n’est inclus dans aucune des formules. En effet, s’il l’était, toutes les factorielles seraient égales à 0 :
C’est pourquoi par convention, on dit que 0! = 1. On a donc en réalité pour chacune des factorielles une formule du type :
Les permutations
Exemple
Imagine que tu souhaites créer une carte d’invitation pour ton anniversaire. Tu veux y aligner trois photos différentes et tu veux savoir combien d’arrangements possibles s’offrent à toi, afin de choisir ton préféré.
Pour faire ce calcul, il faut commencer par choisir la photo que tu veux mettre en première position : tu as trois possibilités. Un fois ce choix fait, tu dois choisir la photo à mettre en deuxième position : il te reste deux possibilités. Enfin, pour la troisième place, il ne te reste plus qu’une photo. En calculant 3!, tu obtiendras alors le nombre de possibilités : 6 au total !
Tu réalises ensuite que tu dois inclure ton adresse sur la carte… Les possibilités d’arrangement sont encore plus nombreuses avec 4 éléments à aligner ! Suivant la même logique, tu calcules 4!, et tu trouves que tu pourras choisir entre 24 possibilités différentes.
Définition
Une permutation, c’est une manière d’arranger un certain nombre d’objets distincts. Si tu as n objets, tu as n! permutations possibles.
Les arrangements
Exemple
Imagine maintenant que tu avais sélectionné cinq photos, mais que tu veux toujours aligner seulement trois photos sur ta carte d’invitation. Combien d’arrangements de trois photos parmi les cinq sont possibles ?
Pour le premier emplacement, tu choisis entre cinq possibilités. Pour le deuxième, il te reste quatre photos parmi lesquelles choisir. Enfin, pour le dernier emplacement, il te reste trois photos possibles.
Tu calcules ainsi 5 × 4 × 3 = 60 ; tu as 60 arrangements possibles. La formule ressemble à celle de la factorielle, mais pas tout à fait.
Pour simplifier, on peut la réécrire sous la forme d’une fraction de factorielles :
5 × 4 × 3 = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) = 5!/2! = 5!/(5 – 3)!
Définition
Un arrangement, c’est une manière d’arranger un certain nombre d’objets distincts choisis parmi un plus grand nombre d’objets. Si tu as au total n objets et que tu veux en choisir k, tu as n!/(n – k)! arrangements possibles.
Les combinaisons
Exemple
Imagine que tu es président(e) de l’association d’éloquence de ton école de commerce. Vous êtes 11 membres au total, mais seuls 6 d’entre vous peuvent former une équipe pour participer à la compétition interécoles. Combien d’équipes différentes peuvent être composées ?
La particularité ici est que l’ordre des noms n’est pas pertinent : l’équipe composée d’Antoine, Barbara, Clément, Daphné, Étienne et Florence est la même équipe que celle composée de Barbara, Étienne, Clément, Antoine, Florence et Daphné. Les permutations des noms dans les listes ne nous intéressent pas. On ne peut donc pas appliquer simplement la formule de l’arrangement.
Pour chaque liste, on aurait un certain nombre de doublons à cause des permutations des noms. Puisque les listes sont toujours composées de six personnes, chaque liste comporte le même nombre de doublons : 6! = 720. Il nous suffit alors de diviser le nombre d’arrangements possibles par le nombre de doublons pour chaque équipe :
11!/(6! × (11 – 6)!) = 462
462 équipes différentes sont donc possibles !
Définition
Une combinaison, c’est une manière de choisir un certain nombre d’objets distincts parmi un nombre plus grand d’objets, sans que l’ordre soit important. Si tu as n objets au total et que tu veux en choisir k, tu as n!/(k! × (n – k)!) combinaisons possibles.
Exercices plus difficiles
Multiplier pour vérifier deux conditions en même temps
Reprenons l’exemple précédent. Imaginons cette fois-ci que l’organisateur de la compétition impose que les équipes soient composées de 3 filles et 3 garçons. Seulement, dans ton association, vous comptez 4 filles et 7 garçons. Combien d’équipes différentes sont possibles dans ce cas ?
D’un part, on peut considérer que l’on choisit une équipe de 3 garçons parmi les 7 garçons de l’association. On calcule donc une combinaison de 3 parmi 7, et on obtient 35 équipes possibles différentes. D’autre part, on peut considérer de même que l’on doit choisir une équipe de 3 filles parmi les 4 filles de l’association. En faisant le même calcul, on obtient quatre équipes possibles différentes.
Afin de former l’équipe de six, chacune des équipes possibles de garçons peut être associée avec chacune des équipes possibles de filles. Pour modéliser cela, on multiplie les résultats obtenus précédemment : 35 × 4 = 140 équipes possibles.
Lorsqu’en dénombrement, on doit respecter deux conditions en même temps (3 filles ET 3 garçons), on utilise la multiplication.
Additionner pour considérer différentes alternatives
Et si les organisateurs avaient en réalité décidé que les équipes devaient compter au moins 2 filles et 2 garçons ? On distingue trois cas de figure possibles :
- Soit les équipes sont composées d’autant de filles que de garçons. Nous venons de calculer ce nombre dans l’exercice précédent.
- Soit les équipes sont constituées de 2 filles et 4 garçons. Conformément au raisonnement suivi plus haut pour les équipes paritaires, on calcule le nombre de combinaisons de 2 filles parmi 4, et de 4 garçons parmi 7. On multiplie ensuite les deux nombres, et on obtient 6 × 35 = 210 équipes possibles.
- Soit les équipes sont constituées de 2 garçons et 4 filles. De même, on calcule le nombre de combinaisons de 2 garçons parmi 7, et de 4 filles parmi 4. On multiplie les deux nombres et on obtient 21 × 1 = 21 équipes possibles.
Pour finir, il nous faut additionner le nombre d’équipes possibles pour chaque alternative.
140 + 210 + 21 = 371 équipes possibles si l’on suit la nouvelle règle fixée par les organisateurs.
Lorsqu’en dénombrement, on souhaite considérer en même temps plusieurs alternatives distinctes (3 filles et 3 garçons OU 2 filles et 4 garçons OU 2 garçons et 4 filles), on utilise l’addition.
Dénombrement avec répétition des objets
Jusqu’à présent, nous avons considéré chaque objet comme unique. Il ne pouvait pas revenir dans une liste ou dans une sélection. Or, lorsque tu choisis un mot de passe pour un compte sur Internet, il est fréquent que certains chiffres, lettres, ou symboles reviennent plusieurs fois.
Si, par exemple, tu devais choisir un code à 4 chiffres, combien de codes sont possibles ? Pour le premier chiffre du code, tu as 10 options : tous les chiffres de 0 à 9. Pour les autres chiffres du code, tu peux toujours choisir parmi les chiffres de 0 à 9. Ainsi, tu calculeras 10^4 = 10 000 codes différents possibles.
La méthode des bâtons et des séparateurs
Imagine maintenant que tu veux acheter une boîte de cinq macarons. La boutique propose trois goûts différents, chocolat, framboise et vanille. Combien de sélections différentes peux-tu faire ?
Ici, l’ordre des macarons dans la boîte ne compte pas, seulement le nombre de macarons de chaque saveur. Mais contrairement à une combinaison classique, tu peux aussi choisir plusieurs macarons d’un même goût. Pour trouver la solution, tu peux utiliser la méthode des bâtons et des séparateurs.
Soit c le nombre de macarons chocolat, f le nombre de macarons framboise et v le nombre de macarons vanille. Comme dans ta boîte, tu ne peux avoir que 5 macarons, tu sais que c + f + v = 5. Comme l’ordre des macarons ne compte pas, on peut imaginer, aux fins de notre démonstration, que les macarons sont organisés toujours de la même manière. D’abord les macarons au chocolat, ensuite ceux à la framboise, et enfin ceux à la vanille. Les séparateurs séparent les différents goûts. Puisqu’il y a trois goûts, nous n’avons besoin que de deux séparateurs.
Voici deux exemples de sélections de macarons, avec les séparateurs.
Au total, tu dois placer 7 éléments : les 5 macarons et les 2 séparateurs. Pour connaître le nombre d’assortiments possibles, il te suffit à présent de choisir la place des deux séparateurs parmi les sept places possibles. Une combinaison de 2 parmi 7 donne 21 façons différentes de placer les séparateurs. Placer les séparateurs, c’est déterminer toutes les façons possibles de choisir les différents goûts des macarons. On conclut donc qu’avec 3 goûts, il y a 21 façons différentes de composer une boîte de 5 macarons.
Conclusion : conseils pour l’épreuve
Lors de l’oral, expose toujours clairement ton raisonnement. En effet, l’objectif premier de l’épreuve de mathématique ou de logique, c’est de démontrer ta rigueur intellectuelle au jury. Même avec des mots simples, l’essentiel est de comprendre ta démarche et de la rendre lisible. Bon courage !
Pour aller plus loin sur le dénombrement, tu peux lire cet article !
