Le problème des moments de Stieltjes est l’un des thèmes les plus exigeants du programme de mathématiques approfondies ECG. Il articule analyse (intégrales à paramètre, intégrales impropres), algèbre linéaire (matrices symétriques, valeurs propres) et probabilités (moments d’une variable aléatoire). Il est apparu au concours BCE 2023 (ESSEC–HEC) dans une forme particulièrement développée. Cet article présente les objets en jeu, leurs propriétés essentielles et les raisonnements attendus en concours.
Mise en place du problème
Soit \( X \) une variable aléatoire réelle à densité, définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \). Pour tout entier \( k \in \mathbb{N} \), on appelle moment d’ordre \( k \) de \( X \), lorsqu’il existe, le réel \( m_k(X) = \mathbb{E}(X^k) \). Par convention, \( m_0(X) = 1 \).
On se donne une suite de réels \( (u_k)_{k \in \mathbb{N}} \) avec \( u_0 = 1 \). Le problème de Stieltjes consiste à déterminer s’il existe une variable aléatoire réelle \( X \), à densité \( f \) continue sur \( \mathbb{R}_+ \) et nulle hors de \( \mathbb{R}_+ \), telle que pour tout \( k \in \mathbb{N} \) :
\[ m_k(X) = \mathbb{E}(X^k) = \int_0^{+\infty} x^k f(x)\, dx = u_k. \]
La suite \( (u_k) \) est alors prescrite et l’inconnue est la densité \( f \). L’enjeu théorique est double : identifier des conditions nécessaires d’existence et étudier l’unicité éventuelle de la solution.
Les matrices de Hankel associées
Définition
Pour tout entier \( n \in \mathbb{N}^* \), on définit deux matrices de \( M_n(\mathbb{R}) \), appelées matrices de Hankel associées à la suite \( (u_k) \) :
\[ (H_n)_{i,j} = u_{i+j-2} \quad \text{et} \quad (G_n)_{i,j} = u_{i+j-1}, \quad \text{pour } (i,j) \in [\![1;n]\!]^2. \]
Ces matrices sont symétriques par construction, puisque \( u_{i+j-2} = u_{j+i-2} \). Leurs coefficients ne dépendent que de la somme des indices, ce qui leur confère une structure particulière en diagonales constantes.
Exemple explicite pour \( n = 3 \)
\[ H_3 = \begin{pmatrix} u_0 & u_1 & u_2 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_2 & u_3 & u_4 \end{pmatrix}, \qquad G_3 = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ u_2 & u_3 & u_4 \\ u_3 & u_4 & u_5 \end{pmatrix}. \]
Chaque anti-diagonale est constante : pour \( H_3 \), la première anti-diagonale vaut \( u_2 \), la deuxième \( u_3 \), etc. Cette structure est caractéristique des matrices de Hankel.
Positivité des valeurs propres : une condition nécessaire
Le résultat central
Si le problème de Stieltjes admet une solution \( f \), alors pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), toutes les valeurs propres de \( H_n \) et \( G_n \) sont strictement positives.
Ce résultat est une condition nécessaire d’existence. Sa démonstration repose sur une interprétation intégrale du produit quadratique \( {}^t W H_n W \).
Démonstration pour \( H_n \)
Soit \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( W = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{R}) \). On calcule \( {}^t W H_n W \).
Par définition du produit matriciel :
\[ {}^t W H_n W = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i (H_n)_{i,j} \alpha_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j u_{i+j-2}. \]
Or, si \( f \) est une densité de \( X \) adaptée au problème, alors \( u_k = \displaystyle\int_0^{+\infty} x^k f(x)\, dx \). On obtient donc :
\[ {}^t W H_n W = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j \int_0^{+\infty} x^{i+j-2} f(x)\, dx. \]
En intervertissant la somme et l’intégrale (ce qui se justifie, car la somme est finie) :
\[ {}^t W H_n W = \int_0^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j x^{i-1} x^{j-1} \right) f(x)\, dx = \int_0^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i x^{i-1} \right)^2 f(x)\, dx. \]
En posant le polynôme \( P(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i x^{i-1} \), on obtient :
\[ {}^t W H_n W = \int_0^{+\infty} (P(x))^2 f(x)\, dx \geq 0. \]
La matrice \( H_n \) est donc symétrique et positive au sens des formes quadratiques. Ses valeurs propres sont toutes positives ou nulles. Pour montrer qu’elles sont en fait strictement positives, on suppose par l’absurde que \( {}^t W H_n W = 0 \) pour un certain \( W \neq 0 \).
Cela impose que \( P(x) = 0 \) pour presque tout \( x \in \mathbb{R}_+ \) (au sens de la mesure de densité \( f \)), ce qui est impossible pour un polynôme non nul, non identiquement nul, sur un intervalle. On en déduit que \( H_n \) est définie positive, et toutes ses valeurs propres sont donc strictement positives.
Un raisonnement analogue s’applique à \( G_n \), en remplaçant \( u_{i+j-2} \) par \( u_{i+j-1} = \displaystyle\int_0^{+\infty} x^{i+j-1} f(x)\, dx \), ce qui fait apparaître \( \displaystyle\int_0^{+\infty} x (P(x))^2 f(x)\, dx \geq 0 \), avec le même argument de stricte positivité.
Une contrainte sur les moments : encadrement de \( u_3 \)
Lorsque \( u_0 = 1 \), \( u_1 = \frac{1}{2} \) et \( u_2 = \frac{1}{3} \), les conditions de positivité des matrices de Hankel imposent une contrainte sur \( u_3 \).
On examine la matrice \( G_2 \), dont les coefficients sont \( (G_2)_{i,j} = u_{i+j-1} \) pour \( (i,j) \in [\![1;2]\!]^2 \) :
\[ G_2 = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \\ u_2 & u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & u_3 \end{pmatrix}. \]
Si le problème de Stieltjes admet une solution, alors d’après la section précédente, toutes les valeurs propres de \( G_2 \) sont strictement positives. Une matrice \( 2 \times 2 \) symétrique a ses deux valeurs propres strictement positives si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
La trace de \( G_2 \) vaut \( \frac{1}{2} + u_3 \), qui est strictement positive dès que \( u_3 > -\frac{1}{2} \) — condition très peu contraignante. La contrainte significative vient du déterminant :
\[ \det(G_2) = u_1 u_3 – u_2^2 = \frac{u_3}{2} – \frac{1}{9}. \]
La condition \( \det(G_2) > 0 \) donne alors :
\[ \frac{u_3}{2} – \frac{1}{9} > 0 \Rightarrow u_3 > \frac{2}{9}. \]
Ainsi, une condition nécessaire d’existence d’une solution au problème de Stieltjes est \( u_3 > \frac{2}{9} \), ce qui équivaut à \( u_3 \geq \frac{2}{9} \) si l’on cherche uniquement une condition nécessaire non stricte (le cas d’égalité correspondant à une matrice \( G_2 \) singulière, donc à valeur propre nulle, ce qui est également exclu).
Non-unicité des solutions : une subtilité du problème de Stieltjes
Le problème de Stieltjes se distingue du problème de Hausdorff (défini sur \( [0,1] \)) : même lorsqu’il admet une solution, celle-ci n’est pas nécessairement unique. Il existe des fonctions \( g \) non nulles sur \( \mathbb{R}_+ \) telles que \( \displaystyle\int_0^{+\infty} x^n g(x)\, dx = 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
On peut alors construire deux densités distinctes \( f_1 \) et \( f_2 = f_1 + c \cdot g \) (pour une constante \( c \) bien choisie) ayant les mêmes moments.
Un exemple classique est la fonction \( g(x) = e^{-x^{1/4}} \sin(x^{1/4}) \), dont on peut montrer, par le changement de variable \( x = t^4 \), que toutes ses intégrales de moments sont nulles. Cette non-unicité contraste avec la situation sur \( [0,1] \), où l’on peut établir l’unicité de la densité à partir de ses moments, sous des hypothèses de régularité.
Travailler le problème de Stieltjes
Si tu veux travailler le problème de Stieltjes, voilà un sujet de concours où tu peux le retrouver :
Conclusion
Le problème de Stieltjes illustre comment des propriétés d’analyse (intégrales de moments) imposent des contraintes algébriques fortes (positivité des matrices de Hankel). La condition nécessaire d’existence se lit sur le spectre de ces matrices et la démonstration repose sur l’identité \( {}^t W H_n W = \displaystyle\int_0^{+\infty} (P(x))^2 f(x)\, dx \geq 0 \).
En concours, le réflexe est d’identifier la matrice de Hankel en jeu (en lisant les indices \( i+j-2 \) ou \( i+j-1 \)), de calculer le produit quadratique \( {}^t W H_n W \) en intervertissant somme et intégrale, puis de factoriser comme un carré d’un polynôme. L’erreur classique est d’oublier de justifier la stricte positivité : il faut argumenter qu’un polynôme non nul ne peut être nul \( f(x)dx\)- presque partout sur \( \mathbb{R}_+ \).
