L’urne de Pólya est un modèle probabiliste dans lequel la composition d’une urne évolue au cours des tirages. Contrairement à une urne classique, la boule tirée est remise dans l’urne avec une ou plusieurs boules supplémentaires de la même couleur. Les tirages ne sont donc pas indépendants : obtenir une couleur augmente la probabilité de la retrouver lors des tirages suivants. Ce mécanisme simple permet de modéliser des phénomènes de renforcement. Il peut représenter, par exemple, la popularité croissante d’un choix, la diffusion d’une opinion ou encore un phénomène dans lequel un événement passé favorise sa répétition. Bien que l’urne de Pólya soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un sujet de probabilités faisant intervenir des probabilités conditionnelles, des variables aléatoires, des suites ou des raisonnements par récurrence.
Définition de l’urne de Pólya
On considère une urne contenant initialement :
- \(a\) boules rouges ;
- \(b\) boules bleues.
On suppose que :
\[
a\geq1
\qquad\text{et}\qquad
b\geq1
\]
À chaque étape, on effectue les opérations suivantes :
- On tire une boule au hasard dans l’urne.
- On remet la boule tirée dans l’urne.
- On ajoute une nouvelle boule de la même couleur.
Ainsi, le nombre total de boules augmente d’une unité après chaque tirage.
Si une boule rouge est tirée, le nombre de boules rouges augmente de \(1\). Si une boule bleue est tirée, le nombre de boules bleues augmente de \(1\).
Ce procédé est appelé un mécanisme de renforcement : chaque couleur tirée devient plus probable au tirage suivant.
Probabilité du premier tirage
Initialement, l’urne contient \(a+b\) boules.
La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage est donc :
\[
\mathbb P(R_1)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\]
De même, la probabilité de tirer une boule bleue est :
\[
\mathbb P(B_1)
=
\displaystyle \frac{b}{a+b}
\]
Après le premier tirage, la composition de l’urne dépend de la couleur obtenue.
Si la première boule est rouge, l’urne contient désormais \(a+1\) boules rouges et \(b\) boules bleues. On a alors :
\[
\mathbb P(R_2\mid R_1)
=
\displaystyle \frac{a+1}{a+b+1}
\]
En revanche, si la première boule est bleue :
\[
\mathbb P(R_2\mid B_1)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b+1}
\]
La probabilité du deuxième tirage dépend donc du résultat du premier. Les tirages ne sont pas indépendants.
Probabilité d’une succession de tirages
Calculons la probabilité d’obtenir deux boules rouges lors des deux premiers tirages.
Par la formule des probabilités conditionnelles :
\[
\mathbb P(R_1\cap R_2)
=
\mathbb P(R_1)\mathbb P(R_2\mid R_1)
\]
Ainsi :
\[
\mathbb P(R_1\cap R_2)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\times
\displaystyle \frac{a+1}{a+b+1}
\]
De même, la probabilité d’obtenir d’abord une boule rouge, puis une boule bleue est :
\[
\mathbb P(R_1\cap B_2)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\times
\displaystyle \frac{b}{a+b+1}
\]
La probabilité d’obtenir d’abord une boule bleue, puis une boule rouge vaut :
\[
\mathbb P(B_1\cap R_2)
=
\displaystyle \frac{b}{a+b}
\times
\displaystyle \frac{a}{a+b+1}
\]
On remarque alors que :
\[
\mathbb P(R_1\cap B_2)
=
\mathbb P(B_1\cap R_2)
\]
L’ordre des couleurs ne modifie donc pas la probabilité lorsque le nombre total de boules rouges et bleues tirées est le même.
Échangeabilité des tirages
Une propriété remarquable de l’urne de Pólya est l’échangeabilité des tirages.
Considérons une suite de \(n\) tirages comportant exactement \(k\) boules rouges et \(n-k\) boules bleues. La probabilité d’obtenir cette suite ne dépend pas de l’ordre d’apparition des couleurs.
Elle est donnée par :
\[
\displaystyle
\frac{
a(a+1)\cdots(a+k-1)
\,
b(b+1)\cdots(b+n-k-1)
}{
(a+b)(a+b+1)\cdots(a+b+n-1)
}
\]
Ainsi, toutes les suites contenant \(k\) tirages rouges et \(n-k\) tirages bleus ont la même probabilité.
Attention, cependant : l’échangeabilité ne signifie pas que les tirages sont indépendants. Les résultats sont dépendants, mais leur ordre ne modifie pas la probabilité globale d’une configuration donnée.
Nombre de boules rouges après n tirages
Notons \(X_n\) le nombre de boules rouges tirées au cours des \(n\) premiers tirages.
Après \(n\) tirages, l’urne contient :
\[
a+X_n
\]
boules rouges.
Elle contient également :
\[
b+n-X_n
\]
boules bleues, puisque \(n-X_n\) tirages ont donné une boule bleue.
Le nombre total de boules est alors :
\[
a+b+n
\]
Conditionnellement aux \(n\) premiers tirages, la probabilité d’obtenir une boule rouge au tirage suivant vaut donc :
\[
\mathbb P(R_{n+1}\mid X_n)
=
\displaystyle \frac{a+X_n}{a+b+n}
\]
Cette formule traduit directement le mécanisme de renforcement : plus le nombre de boules rouges déjà tirées est élevé, plus la probabilité d’en tirer une nouvelle augmente.
Probabilité de tirer une boule rouge au rang n
Malgré le renforcement, la probabilité non conditionnelle de tirer une boule rouge reste constante à chaque rang.
Pour tout entier \(n\geq1\) :
\[
\mathbb P(R_n)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\]
Pour le deuxième tirage, on peut le vérifier à l’aide de la formule des probabilités totales :
\[
\mathbb P(R_2)
=
\mathbb P(R_2\mid R_1)\mathbb P(R_1)
+
\mathbb P(R_2\mid B_1)\mathbb P(B_1)
\]
Ainsi :
\[
\mathbb P(R_2)
=
\displaystyle \frac{a+1}{a+b+1}
\displaystyle \frac{a}{a+b}
+
\displaystyle \frac{a}{a+b+1}
\displaystyle \frac{b}{a+b}
\]
Après simplification :
\[
\mathbb P(R_2)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\]
Cette propriété peut ensuite être démontrée par récurrence.
Espérance du nombre de tirages rouges
On introduit les variables indicatrices :
\[
Y_k=
\begin{cases}
1 & \text{si le }k\text{-ième tirage est rouge},\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Le nombre de tirages rouges parmi les \(n\) premiers tirages s’écrit :
\[
X_n=Y_1+\cdots+Y_n
\]
Or :
\[
\mathbb E(Y_k)
=
\mathbb P(R_k)
=
\displaystyle \frac{a}{a+b}
\]
Par linéarité de l’espérance :
\[
\mathbb E(X_n)
=
\sum_{k=1}^{n}\mathbb E(Y_k)
\]
On obtient donc :
\[
\mathbb E(X_n)
=
\displaystyle \frac{na}{a+b}
\]
En moyenne, la proportion de tirages rouges reste égale à la proportion initiale de boules rouges dans l’urne.
Une variante avec plusieurs boules ajoutées
On peut généraliser le modèle en ajoutant \(c\) boules de la couleur tirée à chaque étape, avec \(c\geq1\).
Après \(n\) tirages, si \(X_n\) boules rouges ont été obtenues, le nombre de boules rouges vaut :
\[
a+cX_n
\]
et le nombre total de boules vaut :
\[
a+b+cn
\]
La probabilité conditionnelle de tirer une boule rouge au rang suivant devient :
\[
\mathbb P(R_{n+1}\mid X_n)
=
\displaystyle \frac{a+cX_n}{a+b+cn}
\]
Plus \(c\) est grand, plus le mécanisme de renforcement est important.
Comment aborder une urne de Pólya dans un exercice ?
Dans un exercice, il faut commencer par déterminer précisément la composition de l’urne après chaque tirage.
Il est ensuite utile :
- d’utiliser des probabilités conditionnelles ;
- d’introduire le nombre \(X_n\) de tirages d’une couleur ;
- d’exprimer la composition de l’urne en fonction de \(X_n\) ;
- d’appliquer la formule des probabilités totales ;
- d’utiliser des variables indicatrices pour calculer une espérance.
Conclusion
L’urne de Pólya est un modèle d’urne évolutive fondé sur un mécanisme de renforcement. Chaque boule tirée est replacée avec une nouvelle boule de la même couleur, ce qui augmente la probabilité de retrouver cette couleur.
Les tirages sont dépendants, mais ils possèdent une propriété d’échangeabilité : la probabilité d’une suite dépend seulement du nombre de tirages de chaque couleur et non de leur ordre.
L’urne de Pólya constitue ainsi un modèle particulièrement riche pour travailler les probabilités conditionnelles, les variables indicatrices, les suites de variables aléatoires et les phénomènes de dépendance.
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