La sommation de Cesàro intervient dans l’étude des suites, des séries et de certaines méthodes de convergence. Bien qu’elle soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un sujet guidé faisant intervenir des moyennes, des sommes partielles ou des raisonnements de convergence.
Introduction
La sommation de Cesàro est une méthode permettant d’attribuer une valeur à certaines suites ou séries qui ne convergent pas au sens habituel. Elle repose sur une idée simple : au lieu d’étudier directement les termes d’une suite, on considère la moyenne de ses premiers termes.
Cette méthode ne transforme pas toutes les suites divergentes en suites convergentes, mais elle permet de traiter certains cas oscillants.
L’exemple le plus célèbre est la suite :
\[
1,\,-1,\,1,\,-1,\ldots
\]
qui ne possède pas de limite, mais dont les moyennes successives convergent vers :
\[
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Définition de la moyenne de Cesàro
Soit \((u_n)_{n\geq1}\) une suite réelle.
On définit la suite de ses moyennes de Cesàro, notée \((\sigma_n)\), par :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}
\]
Autrement dit :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k
\]
La quantité \(\sigma_n\) est la moyenne arithmétique des \(n\) premiers termes de la suite.
On dit que la suite \((u_n)\) est convergente au sens de Cesàro vers un réel \(\ell\) lorsque :
\[
\lim_{n\to+\infty}\sigma_n=\ell
\]
Dans ce cas, on écrit parfois que \((u_n)\) est Cesàro-convergente vers \(\ell\).
Théorème de Cesàro
Le résultat fondamental est le suivant : si une suite converge au sens habituel, alors elle converge également au sens de Cesàro vers la même limite.
Ainsi, si :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell
\]
alors :
\[
\lim_{n\to+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k
=
\ell
\]
Ce résultat est appelé le théorème de Cesàro.
La réciproque est fausse. Une suite peut ne pas converger au sens habituel tout en étant convergente au sens de Cesàro.
La sommation de Cesàro est donc une méthode de convergence plus large que la convergence classique.
Démonstration du théorème de Cesàro
Supposons que :
\[
u_n\longrightarrow \ell
\]
On écrit :
\[
\sigma_n-\ell
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(u_k-\ell)
\]
Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(u_n\to\ell\), il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(k\geq N\) :
\[
|u_k-\ell|<\varepsilon
\]
On sépare alors la somme en deux parties :
\[
\sigma_n-\ell
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}(u_k-\ell)
+
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}(u_k-\ell)
\]
La première somme contient un nombre fixé de termes. Lorsque \(n\) tend vers l’infini, sa contribution divisée par \(n\) tend donc vers \(0\).
Pour la deuxième somme :
\[
\left|
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=N}^{n}(u_k-\ell)
\right|
\leq
\displaystyle \frac{n-N+1}{n}\varepsilon
\leq\varepsilon
\]
On en déduit que :
\[
\sigma_n\longrightarrow\ell
\]
La moyenne des premiers termes conserve donc la limite de la suite initiale.
Exemple d’une suite convergente
Considérons :
\[
u_n=\displaystyle \frac{1}{n}
\]
On sait que :
\[
u_n\longrightarrow0
\]
Le théorème de Cesàro permet immédiatement d’affirmer que :
\[
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
\longrightarrow0
\]
Même si la somme :
\[
\sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{1}{k}
\]
tend vers l’infini, elle croît beaucoup moins vite que \(n\). Sa moyenne tend donc vers \(0\).
Exemple d’une suite divergente, mais Cesàro-convergente
Considérons la suite définie par :
\[
u_n=(-1)^{n+1}
\]
Ses premiers termes sont :
\[
1,\,-1,\,1,\,-1,\ldots
\]
Cette suite ne converge pas, car elle alterne entre \(1\) et \(-1\).
Calculons ses moyennes de Cesàro.
Si \(n=2p\), alors :
\[
u_1+\cdots+u_{2p}=0
\]
Donc :
\[
\sigma_{2p}=0
\]
Si \(n=2p+1\), alors :
\[
u_1+\cdots+u_{2p+1}=1
\]
Ainsi :
\[
\sigma_{2p+1}
=
\displaystyle \frac{1}{2p+1}
\]
Dans les deux cas :
\[
\sigma_n\longrightarrow0
\]
La suite \((u_n)\) est donc Cesàro-convergente vers \(0\), bien qu’elle ne soit pas convergente au sens habituel.
Sommation de Cesàro d’une série
La méthode de Cesàro peut également être appliquée aux séries.
Considérons une série :
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}a_n
\]
et notons :
\[
S_n=\sum_{k=0}^{n}a_k
\]
la suite de ses sommes partielles.
La série est dite sommable au sens de Cesàro vers \(S\) lorsque la suite des moyennes des sommes partielles converge vers \(S\), c’est-à-dire lorsque :
\[
\displaystyle \frac{S_0+S_1+\cdots+S_n}{n+1}
\longrightarrow S
\]
Toute série convergente au sens habituel est également sommable au sens de Cesàro vers la même somme.
Mais certaines séries divergentes peuvent aussi recevoir une somme de Cesàro.
Exemple de la série de Grandi
Considérons la série :
\[
1-1+1-1+\cdots
\]
Ses sommes partielles sont :
\[
S_0=1,\qquad S_1=0,\qquad S_2=1,\qquad S_3=0,\ldots
\]
La suite \((S_n)\) ne converge pas.
Calculons cependant la moyenne de ses sommes partielles.
Pour un grand nombre de termes, les valeurs \(0\) et \(1\) apparaissent presque autant de fois. Leur moyenne tend donc vers :
\[
\displaystyle \frac{0+1}{2}
=
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Plus précisément :
\[
\displaystyle \frac{S_0+\cdots+S_n}{n+1}
\longrightarrow
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
On dit alors que la série de Grandi est sommable au sens de Cesàro et que sa somme de Cesàro vaut :
\[
1-1+1-1+\cdots
=
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Cette égalité ne signifie pas que la série converge au sens habituel. Elle indique seulement la valeur obtenue par la méthode de Cesàro.
Une formule utile pour les séries
La moyenne des sommes partielles peut être réécrite directement en fonction des termes \(a_k\).
On a :
\[
\displaystyle \frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n}S_j
=
\displaystyle \frac{1}{n+1}
\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{j}a_k
\]
En changeant l’ordre des sommes :
\[
\displaystyle \frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n}S_j
=
\displaystyle \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^{n}(n-k+1)a_k
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{S_0+\cdots+S_n}{n+1}
=
\sum_{k=0}^{n}
\left(
1-\displaystyle \frac{k}{n+1}
\right)a_k
\]
La sommation de Cesàro revient ainsi à donner un poids décroissant aux termes de la série.
Propriétés de linéarité
La sommation de Cesàro est linéaire.
Si \((u_n)\) est Cesàro-convergente vers \(\ell\) et si \((v_n)\) est Cesàro-convergente vers \(m\), alors, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) :
\[
\alpha u_n+\beta v_n
\]
est Cesàro-convergente vers :
\[
\alpha\ell+\beta m
\]
En effet :
\[
\displaystyle \frac{1}{n}
\sum_{k=1}^{n}
(\alpha u_k+\beta v_k)
=
\alpha
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k
+
\beta
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}v_k
\]
Il suffit alors de passer à la limite.
Limites de la méthode
Toutes les suites divergentes ne sont pas Cesàro-convergentes.
Par exemple, pour :
\[
u_n=n
\]
on a :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k
\]
Or :
\[
\sum_{k=1}^{n}k
=
\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}
\]
Donc :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{n+1}{2}
\]
et ainsi :
\[
\sigma_n\longrightarrow+\infty
\]
La méthode de Cesàro est surtout efficace pour régulariser des comportements oscillants, mais elle ne compense pas une croissance trop importante.
Comment aborder une question sur la sommation de Cesàro ?
Dans un exercice, il faut généralement commencer par introduire :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k
\]
Il est ensuite utile :
- de calculer explicitement la somme des premiers termes ;
- de distinguer les indices pairs et impairs en cas d’alternance ;
- d’utiliser le théorème de Cesàro si la suite initiale converge ;
- d’étudier les sommes partielles lorsqu’il s’agit d’une série ;
- de ne pas confondre convergence classique et sommabilité de Cesàro.
Conclusion
La sommation de Cesàro consiste à remplacer une suite par la suite des moyennes de ses premiers termes :
\[
\sigma_n
=
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_k
\]
Toute suite convergente est Cesàro-convergente vers la même limite, mais la réciproque est fausse.
Cette méthode permet notamment d’attribuer une valeur à certaines suites ou séries oscillantes.
La sommation de Cesàro constitue ainsi un prolongement naturel de la notion de convergence et un outil intéressant pour étudier les moyennes, les suites oscillantes et les séries divergentes.
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