Le théorème de Fubini est un résultat fondamental en analyse. Il permet de calculer une intégrale double en effectuant deux intégrations successives. Dans le cadre le plus simple, on considère une fonction continue sur un rectangle formé par deux segments réels. L’idée est la suivante : pour intégrer une fonction de deux variables sur un rectangle, on peut commencer par intégrer par rapport à la première variable, puis intégrer le résultat par rapport à la seconde. On peut également procéder dans l’ordre inverse. Le théorème de Fubini affirme que ces deux méthodes donnent le même résultat, sous des hypothèses convenables. Dans cet article, nous allons présenter le théorème de Fubini sur des segments, expliquer son interprétation, donner une démonstration simple et détailler plusieurs exemples d’utilisation.
Cadre du théorème
On considère deux segments réels :
\[
[a,b]
\qquad\text{et}\qquad
[c,d]
\]
avec :
\[
a<b
\qquad\text{et}\qquad
c<d
\]
On définit alors le rectangle :
\[
R=[a,b]\times[c,d]
\]
Soit une fonction réelle :
\[
f:R\to\mathbb R
\]
On suppose que \(f\) est continue sur le rectangle \(R\).
Cette hypothèse de continuité garantit que les intégrales étudiées existent et que l’on peut intégrer successivement par rapport à chacune des variables.
Énoncé du théorème de Fubini
Si \(f\) est continue sur le rectangle :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
alors :
\[
\int_a^b
\left(
\int_c^d f(x,y)\,dy
\right)dx
=
\int_c^d
\left(
\int_a^b f(x,y)\,dx
\right)dy
\]
Les deux expressions sont également égales à l’intégrale double de \(f\) sur le rectangle :
\[
\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dx\,dy
\]
On peut donc écrire :
\[
\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dx\,dy
=
\int_a^b
\left(
\int_c^d f(x,y)\,dy
\right)dx
\]
et :
\[
\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,dx\,dy
=
\int_c^d
\left(
\int_a^b f(x,y)\,dx
\right)dy
\]
Ainsi, l’ordre des intégrations peut être échangé.
Comment lire une intégrale itérée ?
Considérons l’expression :
\[
\int_a^b
\left(
\int_c^d f(x,y)\,dy
\right)dx
\]
On commence par fixer \(x\).
On considère alors la fonction de la variable \(y\) :
\[
y\mapsto f(x,y)
\]
On l’intègre sur le segment \([c,d]\) :
\[
\int_c^d f(x,y)\,dy
\]
Le résultat dépend encore de \(x\). On obtient donc une nouvelle fonction :
\[
x\mapsto\int_c^d f(x,y)\,dy
\]
On intègre ensuite cette fonction sur \([a,b]\).
Dans l’ordre inverse :
\[
\int_c^d
\left(
\int_a^b f(x,y)\,dx
\right)dy
\]
on fixe d’abord \(y\), puis on intègre par rapport à \(x\).
Interprétation géométrique
Lorsque :
\[
f(x,y)\geq0
\]
l’intégrale double peut être interprétée comme le volume situé sous la surface :
\[
z=f(x,y)
\]
et au-dessus du rectangle :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
Intégrer d’abord par rapport à \(y\) revient à découper le volume en tranches dans une première direction.
Intégrer d’abord par rapport à \(x\) revient à effectuer un découpage dans l’autre direction.
Le théorème de Fubini affirme que le volume total ne dépend pas du sens dans lequel les tranches sont réalisées.
Exemple avec une fonction simple
Considérons la fonction :
\[
f(x,y)=x+y
\]
sur le rectangle :
\[
[0,1]\times[0,2]
\]
Calculons :
\[
\int_0^1
\left(
\int_0^2(x+y)\,dy
\right)dx
\]
Pour \(x\) fixé :
\[
\int_0^2(x+y)\,dy
=
\left[
xy+\displaystyle \frac{y^2}{2}
\right]_0^2
\]
Donc :
\[
\int_0^2(x+y)\,dy
=
2x+2
\]
On obtient alors :
\[
\int_0^1(2x+2)\,dx
=
\left[
x^2+2x
\right]_0^1
\]
Ainsi :
\[
\int_0^1
\left(
\int_0^2(x+y)\,dy
\right)dx
=
3
\]
Calculons maintenant dans l’autre ordre :
\[
\int_0^2
\left(
\int_0^1(x+y)\,dx
\right)dy
\]
Pour \(y\) fixé :
\[
\int_0^1(x+y)\,dx
=
\left[
\displaystyle \frac{x^2}{2}+xy
\right]_0^1
\]
Donc :
\[
\int_0^1(x+y)\,dx
=
\displaystyle \frac{1}{2}+y
\]
Puis :
\[
\int_0^2
\left(
\displaystyle \frac{1}{2}+y
\right)dy
=
\left[
\displaystyle \frac{y}{2}
+
\displaystyle \frac{y^2}{2}
\right]_0^2
\]
On obtient encore :
\[
3
\]
Les deux ordres d’intégration donnent donc bien le même résultat.
Cas d’une fonction sous forme de produit
Le théorème de Fubini est particulièrement utile lorsque la fonction se sépare sous la forme :
\[
f(x,y)=g(x)h(y)
\]
où \(g\) est continue sur \([a,b]\) et \(h\) continue sur \([c,d]\).
On a alors :
\[
\int_a^b
\left(
\int_c^d g(x)h(y)\,dy
\right)dx
\]
Comme \(g(x)\) est constant par rapport à \(y\) :
\[
\int_c^d g(x)h(y)\,dy
=
g(x)\int_c^d h(y)\,dy
\]
Donc :
\[
\int_a^b
\left(
\int_c^d g(x)h(y)\,dy
\right)dx
=
\left(
\int_a^b g(x)\,dx
\right)
\left(
\int_c^d h(y)\,dy
\right)
\]
Ainsi :
\[
\iint_{[a,b]\times[c,d]}g(x)h(y)\,dx\,dy
=
\left(
\int_a^b g(x)\,dx
\right)
\left(
\int_c^d h(y)\,dy
\right)
\]
Cette formule est très utile dans les calculs d’intégrales doubles et dans certaines applications probabilistes.
Exemple avec une fonction produit
Considérons :
\[
f(x,y)=x^2e^y
\]
sur :
\[
[0,1]\times[0,1]
\]
On a :
\[
f(x,y)=g(x)h(y)
\]
avec :
\[
g(x)=x^2
\qquad\text{et}\qquad
h(y)=e^y
\]
Par Fubini :
\[
\iint_{[0,1]^2}x^2e^y\,dx\,dy
=
\left(
\int_0^1x^2\,dx
\right)
\left(
\int_0^1e^y\,dy
\right)
\]
Or :
\[
\int_0^1x^2\,dx
=
\left[
\displaystyle \frac{x^3}{3}
\right]_0^1
=
\displaystyle \frac{1}{3}
\]
et :
\[
\int_0^1e^y\,dy
=
e-1
\]
Donc :
\[
\iint_{[0,1]^2}x^2e^y\,dx\,dy
=
\displaystyle \frac{e-1}{3}
\]
Démonstration dans le cas continu
L’idée de la démonstration consiste à approcher l’intégrale double par des sommes de rectangles.
On découpe le segment \([a,b]\) en petits intervalles et le segment \([c,d]\) en petits intervalles.
Le rectangle :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
est alors découpé en petits rectangles.
Sur chacun de ces rectangles, la fonction continue \(f\) varie peu. On peut donc approcher le volume correspondant par :
\[
f(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j
\]
En additionnant toutes ces contributions, on obtient une somme double :
\[
\sum_i\sum_j
f(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j
\]
Or, dans une somme finie, on peut inverser l’ordre des sommations :
\[
\sum_i\sum_j
f(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j
=
\sum_j\sum_i
f(x_i,y_j)\Delta x_i\Delta y_j
\]
En passant à la limite lorsque les subdivisions deviennent de plus en plus fines, on obtient l’égalité des deux intégrales itérées.
Le théorème de Fubini peut ainsi être vu comme une version continue de l’échange de deux sommes finies.
Application en probabilités
Le théorème de Fubini intervient également dans l’étude de couples de variables aléatoires continues.
Supposons qu’un couple \((X,Y)\) possède une densité \(f\) continue sur un rectangle :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
La probabilité que \((X,Y)\) appartienne à ce rectangle est donnée par :
\[
\mathbb P\left(
a\leq X\leq b,\,
c\leq Y\leq d
\right)
=
\int_a^b
\left(
\int_c^d f(x,y)\,dy
\right)dx
\]
Grâce au théorème de Fubini, on peut aussi écrire :
\[
\mathbb P\left(
a\leq X\leq b,\,
c\leq Y\leq d
\right)
=
\int_c^d
\left(
\int_a^b f(x,y)\,dx
\right)dy
\]
On choisit généralement l’ordre qui rend le calcul le plus simple.
Erreurs classiques à éviter
La première erreur consiste à oublier que la variable de l’intégrale intérieure est considérée comme variable, tandis que l’autre est traitée comme une constante.
Par exemple, dans :
\[
\int_c^d f(x,y)\,dy
\]
la variable \(x\) est fixée.
Il ne faut pas non plus inverser les bornes des deux intégrales sans vérifier à quel segment correspond chaque variable.
Enfin, le théorème de Fubini ne permet pas d’échanger deux intégrales dans toutes les situations sans hypothèse. Dans le cadre présenté ici, la continuité de \(f\) sur le rectangle fermé et borné suffit.
Comment utiliser le théorème de Fubini dans un exercice ?
Lorsqu’une fonction continue est définie sur un produit de segments, il faut d’abord identifier le rectangle :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
Il est ensuite utile :
- de choisir la variable à intégrer en premier ;
- de considérer l’autre variable comme une constante ;
- de calculer l’intégrale intérieure ;
- d’intégrer ensuite le résultat par rapport à la seconde variable ;
- de changer l’ordre si cela simplifie le calcul ;
- de repérer une éventuelle écriture sous la forme \(g(x)h(y)\).
Conclusion
Le théorème de Fubini permet de calculer une intégrale double sur un produit de segments en effectuant deux intégrations successives.
Si \(f\) est continue sur :
\[
[a,b]\times[c,d]
\]
alors :
\[
\int_a^b
\left(
\int_c^d f(x,y)\,dy
\right)dx
=
\int_c^d
\left(
\int_a^b f(x,y)\,dx
\right)dy
\]
Ce résultat permet de choisir librement l’ordre d’intégration et de simplifier de nombreux calculs.
Dans un exercice, il faut surtout savoir lire correctement les intégrales itérées, identifier la variable intérieure et utiliser la continuité de la fonction pour justifier l’application du théorème.
