L’inégalité maximale de Lévy est un résultat important de probabilités portant sur les sommes partielles de variables aléatoires indépendantes et symétriques. Elle permet de contrôler le plus grand écart atteint au cours d’une succession de sommes à partir de la seule somme finale. Cette inégalité est particulièrement utile lorsqu’on étudie une marche aléatoire, la convergence de séries de variables aléatoires ou le comportement maximal d’une suite de sommes partielles. Elle montre qu’une grande fluctuation intermédiaire ne peut pas être beaucoup plus probable qu’une grande valeur de la somme finale. Bien que cette notion soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un problème guidé faisant intervenir des événements, des probabilités conditionnelles, des variables indépendantes et des sommes de variables aléatoires.
Variables aléatoires symétriques
Une variable aléatoire réelle \(X\) est dite symétrique lorsque \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.
Autrement dit, pour tout ensemble convenable \(A\) :
\[
\mathbb P(X\in A)
=
\mathbb P(-X\in A)
\]
Lorsque la variable possède une densité \(f\), cette symétrie se traduit par :
\[
f(-x)=f(x)
\]
pour tout réel \(x\).
Par exemple, une variable suivant une loi normale centrée est symétrique. Une variable prenant les valeurs \(-1\) et \(1\) avec la même probabilité est également symétrique.
Si \(X_1,\ldots,X_n\) sont indépendantes et symétriques, alors toute somme de certaines de ces variables est encore symétrique.
Sommes partielles
Soient \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires réelles indépendantes et symétriques.
On définit leurs sommes partielles par :
\[
S_k=\sum_{i=1}^{k}X_i
\]
pour tout \(k\in\{1,\ldots,n\}\).
Ainsi :
\[
S_1=X_1
\]
puis :
\[
S_2=X_1+X_2
\]
et plus généralement :
\[
S_n=X_1+\cdots+X_n
\]
La quantité :
\[
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|
\]
représente le plus grand écart à zéro atteint par les sommes partielles au cours des \(n\) premières étapes.
Énoncé de l’inégalité maximale de Lévy
Pour tout réel \(t>0\), l’inégalité maximale de Lévy affirme que :
\[
\mathbb P\left(
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq t
\right)
\leq
2\mathbb P\left(|S_n|\geq t\right)
\]
Le membre de gauche est la probabilité qu’au moins une somme partielle dépasse le niveau \(t\) en valeur absolue.
Le membre de droite dépend uniquement de la somme finale \(S_n\).
On dispose donc de l’encadrement :
\[
\mathbb P\left(|S_n|\geq t\right)
\leq
\mathbb P\left(
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq t
\right)
\leq
2\mathbb P\left(|S_n|\geq t\right)
\]
La première inégalité est immédiate, puisque \(S_n\) fait partie des sommes considérées dans le maximum.
Interprétation de l’inégalité
Imaginons que les sommes partielles représentent la position successive d’une marche aléatoire.
L’événement :
\[
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq t
\]
signifie que la trajectoire a franchi au moins une fois l’un des niveaux \(t\) ou \(-t\).
Même si elle revient ensuite près de zéro, l’inégalité de Lévy affirme que la probabilité d’un tel franchissement est au plus deux fois la probabilité que la position finale soit elle-même située en dehors de l’intervalle \([-t,t]\).
Le facteur \(2\) vient de la symétrie des déplacements restant à effectuer après le premier franchissement.
Démonstration de l’inégalité
Fixons un entier \(k\) et posons :
\[
R_k=S_n-S_k
\]
Ainsi :
\[
R_k=X_{k+1}+\cdots+X_n
\]
La variable \(R_k\) est indépendante de \(X_1,\ldots,X_k\), donc elle est indépendante de l’événement \(A_k\).
De plus, \(R_k\) est symétrique, car elle est une somme de variables indépendantes symétriques. On a donc :
\[
\mathbb P(R_k\geq0)\geq
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
et :
\[
\mathbb P(R_k\leq0)\geq
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Sur l’événement \(A_k\), deux cas sont possibles.
Si :
\[
S_k\geq t
\]
et si \(R_k\geq0\), alors :
\[
S_n=S_k+R_k\geq t
\]
De même, si :
\[
S_k\leq-t
\]
et si \(R_k\leq0\), alors :
\[
S_n=S_k+R_k\leq-t
\]
Dans chacun des deux cas, la symétrie du reste donne une probabilité d’au moins :
\[
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
que la somme finale reste au-delà du niveau franchi.
On en déduit :
\[
\mathbb P\left(
A_k\cap\{|S_n|\geq t\}
\right)
\geq
\displaystyle \frac{1}{2}\mathbb P(A_k)
\]
Donc :
\[
\mathbb P(A_k)
\leq
2\mathbb P\left(
A_k\cap\{|S_n|\geq t\}
\right)
\]
En sommant sur \(k\) :
\[
\sum_{k=1}^{n}\mathbb P(A_k)
\leq
2\sum_{k=1}^{n}
\mathbb P\left(
A_k\cap\{|S_n|\geq t\}
\right)
\]
Comme les événements \(A_k\) sont incompatibles :
\[
\sum_{k=1}^{n}
\mathbb P\left(
A_k\cap\{|S_n|\geq t\}
\right)
\leq
\mathbb P(|S_n|\geq t)
\]
Finalement :
\[
\mathbb P\left(
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq t
\right)
\leq
2\mathbb P(|S_n|\geq t)
\]
Formes unilatérales
On peut également contrôler uniquement les grandes valeurs positives des sommes partielles :
\[
\mathbb P\left(
\max_{1\leq k\leq n}S_k\geq t
\right)
\leq
2\mathbb P(S_n\geq t)
\]
De même :
\[
\mathbb P\left(
\min_{1\leq k\leq n}S_k\leq-t
\right)
\leq
2\mathbb P(S_n\leq-t)
\]
Ces formes sont utiles lorsqu’on étudie le franchissement d’un seuil dans une seule direction.
Exemple avec une marche aléatoire
Considérons des variables indépendantes \(X_k\) telles que :
\[
\mathbb P(X_k=1)
=
\mathbb P(X_k=-1)
=
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Les sommes partielles :
\[
S_k=X_1+\cdots+X_k
\]
définissent une marche aléatoire symétrique.
L’inégalité de Lévy donne, pour tout entier positif \(m\) :
\[
\mathbb P\left(
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|\geq m
\right)
\leq
2\mathbb P(|S_n|\geq m)
\]
Il suffit donc de connaître ou de majorer la loi de la position finale \(S_n\) pour contrôler toute la trajectoire jusqu’au rang \(n\).
Conséquence sur les moments
L’inégalité maximale permet également de comparer les moments du maximum et ceux de la somme finale.
Pour tout réel \(p>0\), sous réserve que les espérances existent :
\[
\mathbb E\left(
\max_{1\leq k\leq n}|S_k|^p
\right)
\leq
2\mathbb E(|S_n|^p)
\]
Cette relation s’obtient en intégrant l’inégalité de probabilités à l’aide de la formule :
\[
\mathbb E(Y^p)
=
p\int_0^{+\infty}
t^{p-1}\mathbb P(Y\geq t)\,dt
\]
pour une variable aléatoire positive \(Y\).
L’inégalité de Lévy contrôle donc non seulement la probabilité d’un grand écart, mais aussi la taille moyenne du maximum des sommes partielles.
Utilité pour la convergence des séries aléatoires
Considérons une série de variables aléatoires :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}X_k
\]
Pour étudier sa convergence, il faut contrôler simultanément plusieurs sommes partielles.
L’inégalité de Lévy permet de majorer :
\[
\mathbb P\left(
\max_{m<k\leq n}|S_k-S_m|\geq t
\right)
\]
à l’aide de la probabilité portant sur la seule différence finale :
\[
S_n-S_m
\]
Elle constitue ainsi un outil efficace pour transformer un contrôle ponctuel des sommes en un contrôle uniforme de plusieurs sommes partielles.
Hypothèses à vérifier
L’inégalité maximale de Lévy ne doit pas être appliquée sans vérifier ses hypothèses.
Il faut notamment que les variables soient :
- réelles ;
- indépendantes ;
- symétriques.
Elles ne doivent pas nécessairement suivre la même loi.
Il n’est pas non plus nécessaire de supposer qu’elles sont centrées ou qu’elles possèdent une variance finie. La propriété essentielle utilisée dans la démonstration est la symétrie des variables et du reste \(R_k\).
Comment utiliser l’inégalité dans un exercice ?
Lorsqu’un exercice fait intervenir le maximum de sommes partielles, il faut commencer par poser :
\[
S_k=\sum_{i=1}^{k}X_i
\]
Il faut ensuite :
- vérifier l’indépendance des variables ;
- vérifier la symétrie de leur loi ;
- identifier le seuil \(t\) ;
- appliquer directement l’inégalité maximale ;
- majorer ensuite \(\mathbb P(|S_n|\geq t)\) à l’aide de la loi de \(S_n\) ou d’une autre inégalité probabiliste.
Conclusion
L’inégalité maximale de Lévy permet de contrôler le maximum des sommes partielles de variables aléatoires indépendantes et symétriques. Elle montre qu’il suffit souvent d’étudier la somme finale pour obtenir une information sur l’ensemble de la trajectoire.
Cette inégalité est particulièrement utile pour les marches aléatoires, les séries de variables indépendantes et les problèmes de convergence. Dans un exercice, la principale difficulté consiste à reconnaître la symétrie et à introduire correctement le premier instant de franchissement du seuil.
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