La fonction êta de Dirichlet est une fonction définie à partir d’une série alternée. Elle est très proche de la fonction zêta de Riemann, mais ses termes changent de signe à chaque rang. Cette alternance améliore fortement la convergence de la série et permet d’obtenir une fonction définie sur un domaine plus large que celui de la série zêta classique. Elle apparaît naturellement dans l’étude des séries alternées, des séries de Riemann et des liens entre analyse et arithmétique. Elle constitue aussi un bon exemple de série dans laquelle les signes alternés permettent d’obtenir une convergence alors que la série sans alternance diverge.
Définition de la fonction êta de Dirichlet
La fonction êta de Dirichlet est définie par :
\[
\eta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
Autrement dit :
\[
\eta(s)
=
1-\displaystyle \frac{1}{2^s}
+\displaystyle \frac{1}{3^s}
-\displaystyle \frac{1}{4^s}
+\cdots
\]
Le facteur :
\[
(-1)^{n-1}
\]
permet d’alterner les signes.
Lorsque \(n\) est impair :
\[
(-1)^{n-1}=1
\]
et lorsque \(n\) est pair :
\[
(-1)^{n-1}=-1
\]
Ainsi, les termes d’indice impair sont positifs, tandis que les termes d’indice pair sont négatifs.
Comparaison avec la fonction zêta
La fonction zêta de Riemann est définie, pour \(s>1\), par :
\[
\zeta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
La fonction êta est donc la version alternée de cette série :
\[
\eta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
(-1)^{n-1}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
La différence principale est que la série zêta ne converge que pour :
\[
s>1
\]
alors que la série êta converge déjà pour :
\[
s>0
\]
dans le cadre réel.
Cette amélioration vient directement de l’alternance des signes.
Convergence de la série êta
Pour \(s>0\), la suite :
\[
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
est positive, décroissante et tend vers \(0\).
On peut donc appliquer le critère des séries alternées. Il affirme que, si une suite positive décroît vers \(0\), alors la série alternée associée converge.
Ainsi :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
converge pour tout :
\[
s>0
\]
La fonction êta de Dirichlet est donc bien définie par cette série pour tout réel strictement positif \(s\).
Convergence absolue
La convergence absolue consiste à étudier la série des valeurs absolues :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\left|
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\right|
\]
Or :
\[
\left|
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\right|
=
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
La convergence absolue de \(\eta(s)\) revient donc à étudier :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
C’est une série de Riemann. Elle converge si et seulement si \( s>1. \)
Exemple fondamental : êta 1
Pour \(s=1\), on obtient :
\[
\eta(1)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n}
\]
C’est la série harmonique alternée :
\[
\eta(1)
=
1-\displaystyle \frac{1}{2}
+\displaystyle \frac{1}{3}
-\displaystyle \frac{1}{4}
+\cdots
\]
Cette série converge, alors que la série harmonique classique :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n}
\]
diverge.
On a le résultat classique :
\[
\eta(1)=\ln(2)
\]
Ainsi :
\[
1-\displaystyle \frac{1}{2}
+\displaystyle \frac{1}{3}
-\displaystyle \frac{1}{4}
+\cdots
=
\ln(2)
\]
Cet exemple illustre parfaitement l’effet de l’alternance des signes.
Lien avec la fonction zêta de Riemann
Pour \(s>1\), on peut relier \(\eta(s)\) à \(\zeta(s)\).
On part de :
\[
\eta(s)
=
1-\displaystyle \frac{1}{2^s}
+\displaystyle \frac{1}{3^s}
-\displaystyle \frac{1}{4^s}
+\cdots
\]
On sépare les termes positifs et négatifs.
La somme de tous les termes vaut :
\[
\zeta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
Donc :
\[
\sum_{{n\geq1\\ n\ \text{pair}}}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
=
\displaystyle \frac{1}{2^s}
\sum_{k=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{k^s}
=
\displaystyle \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\]
La somme des termes impairs vaut alors :
\[
\zeta(s)-\displaystyle \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\]
Donc :
\[
\eta(s)
=
\left(
\zeta(s)-\displaystyle \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\right)
–
\displaystyle \frac{1}{2^s}\zeta(s)
\]
Ainsi :
\[
\eta(s)
=
\left(1-\displaystyle \frac{2}{2^s}\right)\zeta(s)
\]
Comme :
\[
\displaystyle \frac{2}{2^s}=2^{1-s}
\]
on obtient la relation fondamentale :
\[
\eta(s)
=
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)
\]
Formule à retenir
Pour \(s>1\), on a :
\[
\eta(s)
=
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)
\]
ou encore :
\[
\zeta(s)
=
\displaystyle \frac{\eta(s)}{1-2^{1-s}}
\]
lorsque le dénominateur n’est pas nul.
Cette relation montre que la fonction êta contient presque la même information que la fonction zêta, mais sous une forme alternée.
Exemple avec s=2
On sait que :
\[
\zeta(2)
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\]
La formule précédente donne :
\[
\eta(2)
=
\left(1-2^{1-2}\right)\zeta(2)
\]
Or :
\[
2^{1-2}=2^{-1}=\displaystyle \frac{1}{2}
\]
Donc :
\[
\eta(2)
=
\left(1-\displaystyle \frac{1}{2}\right)
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\]
Ainsi :
\[
\eta(2)
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{12}
\]
On obtient donc :
\[
1-\displaystyle \frac{1}{2^2}
+\displaystyle \frac{1}{3^2}
-\displaystyle \frac{1}{4^2}
+\cdots
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{12}
\]
Exemple avec s=3
Pour \(s=3\), la relation donne :
\[
\eta(3)
=
\left(1-2^{1-3}\right)\zeta(3)
\]
Or :
\[
2^{1-3}=2^{-2}=\displaystyle \frac{1}{4}
\]
Donc :
\[
\eta(3)
=
\displaystyle \frac{3}{4}\zeta(3)
\]
La valeur \( \zeta(3) \) est appelée constante d’Apéry.
On a donc :
\[
\eta(3)
=
\displaystyle \frac{3}{4}\zeta(3)
\]
Reste d’une série alternée
Le critère des séries alternées donne aussi une estimation du reste.
Pour \(s>0\), si :
\[
S_N(s)
=
\sum_{n=1}^{N}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
alors :
\[
\left|
\eta(s)-S_N(s)
\right|
\leq
\displaystyle \frac{1}{(N+1)^s}
\]
Cette propriété est très utile pour approcher numériquement \(\eta(s)\).
Elle montre que l’erreur commise après \(N\) termes est au plus égale au premier terme négligé.
Comment reconnaître la fonction êta dans un exercice ?
Il faut penser à la fonction êta dès qu’une série de la forme :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
apparaît.
Il faut ensuite :
- identifier l’exposant \(s\) ;
- vérifier la convergence avec le critère des séries alternées ;
- utiliser le lien avec \(\zeta(s)\) lorsque \(s>1\) ;
- faire attention au signe si la série commence par un terme négatif ;
- utiliser l’estimation du reste pour les approximations.
Pourquoi l’alternance change la convergence ?
La différence entre \(\eta(s)\) et \(\zeta(s)\) vient essentiellement des signes alternés.
Dans la série zêta :
\[
\zeta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n^s}
\]
tous les termes sont positifs. Les sommes partielles ne peuvent donc qu’augmenter. Pour que la série converge, il faut que les termes décroissent assez vite afin que cette croissance reste bornée. C’est précisément ce qui impose la condition :
\[
s>1
\]
Dans la série êta :
\[
\eta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
les termes positifs et négatifs se compensent progressivement. Les sommes partielles oscillent autour de la limite au lieu de croître toujours dans le même sens.
Par exemple, pour \(s=1\), la série harmonique classique diverge :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{n}
=
+\infty
\]
mais la série harmonique alternée converge :
\[
1-\displaystyle \frac{1}{2}
+\displaystyle \frac{1}{3}
-\displaystyle \frac{1}{4}
+\cdots
=
\ln(2)
\]
L’alternance permet donc une forme de compensation. Même lorsque la décroissance de \(\displaystyle \frac{1}{n^s}\) est trop lente pour assurer la convergence absolue, elle peut suffire à assurer la convergence simple.
Une fonction utile pour prolonger la fonction zêta
La relation :
\[
\eta(s)
=
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)
\]
montre que la fonction êta est étroitement liée à la fonction zêta.
L’intérêt est que la série définissant \(\eta(s)\) converge pour :
\[
s>0
\]
alors que la série définissant \(\zeta(s)\) ne converge que pour :
\[
s>1
\]
On peut donc utiliser \(\eta(s)\) pour donner une expression de \(\zeta(s)\) dans des zones où sa série initiale ne converge pas, à condition de réarranger la relation :
\[
\zeta(s)
=
\displaystyle \frac{\eta(s)}{1-2^{1-s}}
\]
Cette idée est l’un des premiers exemples de prolongement d’une fonction au-delà de son domaine naturel de définition par une série. Même si le prolongement complet de la fonction zêta dépasse largement le cadre ECG, la fonction êta donne une intuition simple : une série alternée peut contenir la même information qu’une série positive, mais avec de meilleures propriétés de convergence.
Conclusion
La fonction êta de Dirichlet est définie par :
\[
\eta(s)
=
\sum_{n=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
\]
Elle correspond à la version alternée de la fonction zêta de Riemann. La fonction êta de Dirichlet est donc une notion importante pour comprendre le rôle de l’alternance dans les séries et le lien entre séries de Riemann et fonction zêta.
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
