La dérivée d’une fonction réciproque est une formule classique du programme de mathématiques approfondies en ECG. Elle peut sembler abstraite au premier abord, mais elle repose sur une idée simple : la dérivée de la fonction réciproque s’obtient en prenant l’inverse de la dérivée de la fonction de départ. Cette formule est particulièrement utile dans les exercices où l’on connaît facilement la dérivée d’une fonction, mais où l’on ne dispose pas d’une expression explicite de sa réciproque. Il est alors possible de calculer directement la dérivée de cette réciproque sans chercher à déterminer celle-ci. Dans cet article, nous allons voir la méthode à connaître, les conditions à vérifier, puis plusieurs exemples classiques permettant de l’appliquer efficacement.
Rappel : qu’est-ce qu’une fonction réciproque ?
Commençons par rappeler la définition.
Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et à valeurs dans un intervalle \(J\).
Si \(f\) est bijective de \(I\) vers \(J\), alors elle admet une fonction réciproque, notée \(f^{-1}\), définie de \(J\) vers \(I\).
Par définition, pour tout \(x \in I\) et tout \(y \in J\) :
\[
f(x)=y \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(y)=x.
\]
Autrement dit, la fonction réciproque « défait » ce que fait la fonction \(f\).
Par exemple, sur \(\mathbb{R}_+\), la fonction
\[
f(x)=x^2
\]
est strictement croissante et donc bijective de \(\mathbb{R}_+\) vers \(\mathbb{R}_+\).
Sa fonction réciproque est alors
\[
f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
\]
On retrouve bien les deux relations :
\[
f\left(f^{-1}(x)\right)=x
\]
et
\[
f^{-1}(f(x))=x.
\]
La formule de dérivation à connaître
Voici la formule essentielle à retenir :
\[
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f’\left(f^{-1}(y)\right)}.
\]
Cette formule signifie que, pour calculer la dérivée de la fonction réciproque en un point \(y\), il faut :
- Calculer \(f^{-1}(y)\).
- Calculer \(f’\left(f^{-1}(y)\right)\).
- Prendre l’inverse du résultat.
Il existe toutefois une manière souvent plus pratique de retenir et d’utiliser cette formule.
Si
\[
y=f(x),
\]
alors
\[
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(x)}.
\]
C’est généralement cette version que l’on utilise dans les exercices.
Pourquoi cette formule est-elle vraie ?
La démonstration repose sur une propriété fondamentale des fonctions réciproques :
\[
f\left(f^{-1}(x)\right)=x.
\]
On dérive les deux membres par rapport à \(x\). En utilisant la dérivée d’une composée, on obtient :
\[
f’\left(f^{-1}(x)\right)\times\left(f^{-1}\right)'(x)=1.
\]
On en déduit immédiatement :
\[
\left(f^{-1}\right)'(x)
=
\frac{1}{f’\left(f^{-1}(x)\right)}.
\]
La formule n’est donc pas une nouvelle règle de dérivation à appliquer mécaniquement : elle découle directement de la relation entre une fonction et sa réciproque.
La condition indispensable : vérifier que \(f’\) ne s’annule pas
Attention : la formule ne peut pas être utilisée sans condition.
Pour que la fonction réciproque soit dérivable au point considéré, il faut notamment que la fonction \(f\) soit dérivable et que sa dérivée ne soit pas nulle au point correspondant.
Plus précisément, si \(f(a)=b\) et si
\[
f'(a)\neq 0,
\]
alors, sous les hypothèses usuelles du théorème de dérivation des fonctions réciproques, \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) et :
\[
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Il faut donc avoir le réflexe suivant :
\[
f(a)=b
\quad\Longrightarrow\quad
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Cette écriture est particulièrement efficace en concours, car elle évite souvent de calculer explicitement la fonction réciproque.
La méthode en trois étapes
Dans un exercice, la méthode peut être résumée en trois étapes.
Étape 1 : identifier le point correspondant
Si l’on cherche la dérivée de \(f^{-1}\) en \(b\), il faut trouver le nombre \(a\) tel que :
\[
f(a)=b.
\]
Étape 2 : calculer \(f'(a)\)
On dérive la fonction \(f\), puis on évalue sa dérivée en \(a\).
Étape 3 : prendre l’inverse
On applique alors directement :
\[
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Il n’est généralement pas nécessaire de déterminer l’expression de \(f^{-1}\). C’est précisément l’intérêt principal de cette méthode.
Exemple : la fonction racine carrée
Considérons la fonction
\[
f(x)=x^2
\]
définie sur \(\mathbb{R}_+\).
Sa réciproque est la fonction racine carrée :
\[
f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
\]
On souhaite retrouver la dérivée de la fonction racine carrée en \(9\) grâce à la formule sur les fonctions réciproques.
On cherche d’abord le nombre \(a\) tel que :
\[
f(a)=9.
\]
On a :
\[
a^2=9
\]
et, puisque \(a\in\mathbb{R}_+\) :
\[
a=3.
\]
Ensuite :
\[
f'(x)=2x,
\]
donc :
\[
f'(3)=6.
\]
La formule donne finalement :
\[
\left(f^{-1}\right)'(9)=\frac{1}{6}.
\]
On retrouve bien le résultat classique :
\[
(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}},
\]
et donc :
\[
(\sqrt{x})’\big|_{x=9}=\frac{1}{6}.
\]
Mais surtout, la méthode fonctionne sans avoir besoin de dériver directement la racine carrée.
Exemple classique : une fonction dont la réciproque n’est pas explicite
L’intérêt de la méthode devient encore plus évident lorsque l’expression de la fonction réciproque est difficile, voire impossible, à déterminer explicitement.
Considérons par exemple la fonction
\[
f(x)=x+e^x.
\]
On a :
\[
f'(x)=1+e^x.
\]
Comme \(f'(x)>0\) pour tout réel \(x\), la fonction \(f\) est strictement croissante. Elle admet donc une fonction réciproque sur son image.
Supposons que l’on cherche \(\left(f^{-1}\right)'(1)\).
On commence par chercher \(a\) tel que :
\[
f(a)=1.
\]
On remarque que :
\[
f(0)=0+e^0=1.
\]
Donc \(a=0\).
Il suffit alors de calculer :
\[
f'(0)=1+e^0=2.
\]
Par conséquent :
\[
\left(f^{-1}\right)'(1)=\frac{1}{2}.
\]
Remarquons ce qui s’est passé : nous n’avons jamais eu besoin de déterminer \(f^{-1}(x)\). C’est précisément ce qui rend cette formule particulièrement puissante dans les exercices.
Le lien avec les tangentes
La formule peut également être comprise graphiquement.
Les courbes représentatives de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation :
\[
y=x.
\]
Si la courbe de \(f\) possède une tangente de coefficient directeur \(m\) en un point \((a,b)\), alors la courbe de \(f^{-1}\) possède au point \((b,a)\) une tangente de coefficient directeur :
\[
\frac{1}{m}.
\]
C’est exactement ce que traduit la formule :
\[
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
La symétrie par rapport à la première bissectrice transforme donc la pente \(m\) en sa pente réciproque \(1/m\).
Une erreur fréquente à éviter
Une erreur classique consiste à écrire :
\[
\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(x)}.
\]
Cette formule est fausse en général.
Le point auquel on évalue la dérivée doit être transformé par la fonction réciproque :
\[
\left(f^{-1}\right)'(x)
=
\frac{1}{f’\left(f^{-1}(x)\right)}.
\]
Ou, de manière souvent plus simple :
\[
f(a)=b
\quad\Longrightarrow\quad
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Le piège vient donc essentiellement du changement de point entre \(a\) et \(b=f(a)\).
Une autre erreur : chercher systématiquement la fonction réciproque
Face à une question sur la dérivée d’une fonction réciproque, on peut être tenté de commencer par résoudre :
\[
y=f(x)
\]
pour obtenir une expression de \(x\) en fonction de \(y\).
Cette démarche peut fonctionner pour certaines fonctions simples, mais elle est souvent inutile.
Si l’exercice demande uniquement la valeur de \(\left(f^{-1}\right)'(b)\), il suffit de trouver \(a\) tel que \(f(a)=b\), puis de calculer \(1/f'(a)\).
Réflexe à adopter : ne cherche pas explicitement la fonction réciproque tant que l’énoncé ne te le demande pas.
La fiche méthode à retenir
Pour calculer la dérivée d’une fonction réciproque en un point, retenir le schéma suivant :
\[
f(a)=b
\]
puis :
\[
f'(a)
\]
et enfin :
\[
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Autrement dit :
- on part du point où l’on cherche la dérivée de la réciproque ;
- on remonte par \(f\) pour retrouver le point de départ ;
- on calcule la dérivée de \(f\) à ce point ;
- on prend l’inverse.
Conclusion
La dérivée d’une fonction réciproque est une formule qui doit devenir un réflexe en maths approfondies ECG. L’essentiel n’est pas seulement de mémoriser la formule, mais de savoir identifier rapidement les deux points correspondants.
Si :
\[
f(a)=b
\]
et si \(f'(a)\neq0\), alors :
\[
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
\]
Dans la pratique, la méthode est donc très courte :
- Résoudre \(f(a)=b\).
- Calculer \(f'(a)\).
- Prendre l’inverse.
Le point le plus important à retenir est sans doute le suivant : pour dériver une fonction réciproque, il n’est généralement pas nécessaire de connaître son expression explicite. Il suffit de connaître la fonction de départ, sa dérivée et le couple de points correspondant.
Cette méthode permet ainsi de transformer une question qui pourrait sembler complexe en un calcul de dérivée très simple. En prépa ECG, c’est exactement le type de mécanisme qu’il faut savoir reconnaître rapidement : identifier la fonction réciproque, retrouver le point correspondant, puis appliquer la formule.
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