Voici le corrigé de l’épreuve de mathématiques HEC ECE de 2012.
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Analyse du sujet
Chapitres abordés :
Exercice 1 : Matrice, réduction de matrice, noyau, image, diagonalisation, formule du binôme, application linéaire
Problème : limite, convexité, intégrale, variable à densité, loi exponentielle, suite, convergence en loi, récurrence, estimateur, fonction d’une variable, Fonction de répartition , théorème de transfert, informatique, équivalent, fonction de plusieurs variables, polynôme.
Analyse détaillée :
Exercice 1 : L’exercice 1 commence par des questions classiques d’algèbre linéaire (pour déterminer l’image, je conseille de déterminer le noyau au préalable et d’appliquer le théorème du rang pour trouver la dimension de l’image). Pour la suite, il ne faut pas oublier que les racines du polynôme annulateur ne sont que des valeurs propres éventuelles. La question 3 est une question classique sur le chapitre « diagonalisation ». La question 4 est assez calculatoire (il faut prendre certaines initiatives, comme avec la récurrence en 4a et la question 4b est presque impossible sans indication)
Problème : La partie I commence par une question d’analyse, il faut être rigoureux pour les justifications, mais les calculs de dérivé ou de limite ne sont pas compliqués. ( Pour la question 1d, je souligne le fait que les représentations graphiques sont très valorisés par les correcteurs). Les questions 2a et 2b sont étroitement liées et pas difficiles. Les arguments pour la question 2c doivent être impérativement connus par les candidats. La question 3 est une question de difficulté moyenne, dont les étudiants d’ECE ont l’habitude de traiter. La question 4 à l’inverse est très difficile, il faut prendre beaucoup d’initiatives et maitriser parfaitement la définition de la convergence en loi. (à traiter quand on a fini de traiter les autres questions du sujet).
La partie II fait au départ l’objet d’un point hors programme ECE, ‘produit de covolution de deux densités) mais qui tombe parfois aux parisiennes, donc c’est intéressant de travailler ce point avant les écrits. Les question 5a et 5b sont donc relativement difficiles car il faut comprendre rapidement les définitions de l’énoncé. La question 5c est assez compliqué car il faut penser au théorème de transfert, aux questions vues précédemment et être rigoureux sur les arguments d’analyse. La question 6 est une question d’analyse mais qui va permettre d’avancer sur le sujet. La question 7 n’est pas vraiment difficile mais il faut être à l’aise avec les estimateurs.
La partie III est la partie où on pouvait gagner le plus de points, d’où l’intérêt de bien analyser le sujet au préalable. La question 8a demande d’être rigoureux (bien regarder la correction) mais n’est pas difficile. La question 8c est très classique. La question 8d est relativement faisable pour une question d’informatique.
Les questions 9a et 9b sont des questions difficiles de probabilités. La queston 10a est une question très difficile si on a jamais vu cette méthode (important de la retenir) , mais on peut appliquer le résultat de cette question sans l’avoir réussie dans la question 10b. Les questions 10c et 10d sont faisables, mais les questions 10 e et10f demandent de prendre du recul, d’être à l’aise et rigoureux en analyse, et de bien analyser les différentes hypothèses. La dernière question du sujet est une question difficile d’un point de vue calculatoire mais pas très difficile d’un point de vue conceptuel pour les fonctions à plusieurs variables.
Les résultats statistiques
L’exercice et le problème comptaient respectivement pour 24% et 76% des points du barème, les trois parties du problème ayant des pondérations respectives de 28%, 15% et 33%.
