Analyse du sujet de maths ECRICOME ECT 2026
NB : Tous nos corrigés/analyses sont rédigés sans IA, par des professeurs experts dans la matière, conscients des attendus du programme ECG/ECT.
On continue sur la lancée d’ÉCRICOME ECT 2024 : la banque d’épreuves maintient des sujets longs pour les candidats. Ce cru 2026 se compose de trois exercices, un premier sur Suites et Matrices, un deuxième sur les Fonctions, Variables Aléatoires (VA) à densité et suites implicites, enfin un troisième Variables Aléatoires discrètes.
Dans l’ensemble, les questions sont assez simples. Bien que certains points soient plus pointilleux, ils restent parfaitement abordables pour un candidat ayant préparé l’épreuve honnêtement. De ce point de vue, rien de nouveau sous le soleil : le sujet ne propose rien qui sorte du cadre strict du programme.
Exercice 1 : Suites et Algèbre
Partie 1 : Suites couplées
Une première partie très classique pour un sujet Ecricome :
1) Il fallait remarquer que la suite \( (a_n+b_n) \) est une suite constante ( dont les termes valent tous 1).
2) On exprime \( b_n \) en fonction de \( a_n \) grâce à la question précédente pour obtenir \( a_{n+1} \) en fonction de \( a_n \) uniquement. On étudie alors la suite arithmético-géométrique \( (a_{n}) \) définie par :
\( a_{n+1} = \frac{3}{5} a_n + \frac{1}{10} \) pour tout entier naturel \( n \).3) Utilisation de la relation \( b_n = 1 – a_n \) et calcul de limite classique via le cours sur les suites géométriques (\( q^n \to 0 \) car \( |q| < 1 \)).
4) (Python) Un code assez simple à compléter pour quiconque a sérieusement préparé l’informatique.
Partie 2 : Matrices
5.b) Attention ! Il fallait impérativement utiliser le résultat du calcul \( QP \) de le question 5.a pour obtenir l’inverse \( P^{-1} \). Se lancer dans un pivot de Gauss ici était une pure perte de temps.
6.a) Application directe du cours sur les valeurs propres
7) Récurrence classique sur les puissances de matrices (\( M^n = PD^nP^{-1} \)) et calculs matriciels par identification “place par place”.
8) Une récurrence basée sur la relation matricielle établie en 8.a.
Bilan : Une deuxième partie très simple, sans grande difficulté technique.
Exercice 2 : Analyse, Densités et Suites Implicites
Partie 1 : Étude de fonction
Bloc classique sur les outils de première année : limites, asymptotes, dérivées, convexité et tangentes.
Conseil de rédaction : Rien de très difficile ici. Il fallait être particulièrement lisible et méticuleux sur le tracé de la courbe \( \mathcal{C} \) (placement des points, asymptotes). L’énoncé aidait le candidat en fournissant \( e \approx 2{,}72 \) et \( e^{-1} \approx 0{,}37 \) pour garantir la précision des tracés.
Partie 2 : VA à densité
6) Question de cours (primitive de \( t \mapsto \frac{1}{t^3} \)) et application rigoureuse de l’Intégration Par Parties (IPP).
8) Calcul de l’espérance \( E(X) \). Question plus calculatoire où l’on fournit la primitive de \( tf(t) \) à un facteur près pour aider le candidat.
9) (Moment d’ordre 2) : Question un peu plus déconcertante car inhabituelle pour un profil ECT.
En 9.a, il fallait partir du fait que \( \ln(t) \geq 2 \) pour \( t \geq e^2 \) afin d’établir l’inégalité \( t^2 f(t) \geq \frac{4e^2}{t} \).
En 9.b, on montre que l’intégrale de \( t^2 f(t) \) diverge vers \( +\infty \) (par comparaison avec l’intégrale). Ainsi, \( X \) n’admet pas de moment d’ordre 2, et donc pas de variance.
10) : Étude du maximum \( Z_n = \max(X_1, \ldots, X_n) \). On utilise le fait que les \( X_i \) suivent la même loi et qu’elles sont deux à deux indépendantes. Pour la question 10.c, la réponse est “oui” car \( F(x) = 0 \) pour \( x < e \), donc \( P(Z_n \leq e) = 0 \).
Partie 3 : Suites définies implicitement
Probablement la partie la plus difficile de l’exercice. Avoir travaillé le sujet ÉCRICOME ECT 2025 sur les suites implicites était un net avantage.
11.c) Application du théorème de la bijection.
13) Pour la 13.b, il fallait partir de l’égalité \( h_n(a_n) = \frac{1}{2} \) et utiliser l’expression de \( h_n(a_{n+1} \) trouvée précédemment.
14) On sait que \( (a_n) \) est croissante. Elle converge ou diverge vers \( +\infty \).
Raisonnement par l’absurde (on suppose que \( (a_n) \) converge) pour trouver que \( (a_n) \) diverge. Ici, il fallait partir de \( h_n(a_n) = \frac{1}{2} \) pour tomber sur la contradiction \( \lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \ell = 0 \) alors que \( \ell \geq 1 \).
Exercice 3 : Probabilités Discrètes
Partie 1 : Loi Binomiale et Covariance
1) Reconnaitre une loi binomiale et savoir son cours.
2) Il fallait voir que \( S \) représente le nombre de foulards “roses ou carreaux” obtenus. On reconnaît alors une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, 0.8) \).
3) Partir de \( \text{Cov}(S, C) \) et utiliser de la bilinéarité de la covariance pour retrouver \( \text{Cov}(R, C) \). Ce dernier étant non nul, les variables ne sont pas indépendantes.
NB: Le calcul du coefficient de corrélation linéaire \( \rho(R, C) \) a pu surprendre, car il apparaît peu souvent en sujet, mais il confirme ici l’interdépendance.
Informatique : Simulation de probabilités sans trop de difficultés.
Partie 2 : Séries
5) Reconnaissance d’une loi géométrique \( \mathcal{G}(p) \) avec justification précise.
6) Étude d’une VA discrète qui n’est pas une VA discrète du cours. L’énoncé est bienveillant car il ne demande pas la loi complète, mais guide le candidat.
7) Démonstration d’un résultat sur les séries géométriques dérivées.
Fin d’exercice : Très calculatoire (obtention de \( E(N) = \frac{79}{21} \)), testant la rigueur du candidat fatigué par 4h d’épreuve.
Conclusion
Le sujet était très accessible et faisable par la majorité des candidats. La Partie 3 de l’exercice 2 reste sans doute le passage le plus sélectif et délicat de cette épreuve.
