L’identité de Wald est un résultat important en probabilités. Elle permet de calculer l’espérance d’une somme comportant un nombre aléatoire de termes. Elle intervient notamment lorsque l’on répète une expérience aléatoire jusqu’à la réalisation d’un certain événement. L’idée générale est simple. Si l’on additionne des variables aléatoires indépendantes et de même loi, et si le nombre de termes de la somme est lui-même aléatoire, alors l’espérance de la somme est égale au produit de l’espérance du nombre de termes par l’espérance d’un terme.
Introduction
Cette formule ressemble à la relation classique :
\[
\mathbb E(X_1+\cdots+X_n)
=
n\mathbb E(X_1)
\]
mais elle remplace l’entier fixe \(n\) par une variable aléatoire \(N\). Certaines conditions sont toutefois nécessaires pour que ce remplacement soit valable.
Énoncé de l’identité de Wald
Soit \((X_n)_{n\geq1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. On suppose que :
\[
\mathbb E(|X_1|)<+\infty
\]
Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb N\), représentant le nombre de termes additionnés.
Sous certaines hypothèses convenables, notamment lorsque \(N\) est un temps d’arrêt adapté à la suite \((X_n)\), on a :
\[
\mathbb E\left(\sum_{k=1}^{N}X_k\right)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Cette relation est appelée identité de Wald.
Si l’on pose :
\[
S_N=\sum_{k=1}^{N}X_k
\]
alors la formule s’écrit plus simplement :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Elle affirme donc que l’espérance de la somme aléatoire est le produit de deux quantités : le nombre moyen de termes et la valeur moyenne d’un terme.
Pourquoi cette formule est-elle naturelle ?
Lorsque le nombre de termes est fixé et égal à \(n\), la linéarité de l’espérance donne :
\[
\mathbb E\left(\sum_{k=1}^{n}X_k\right)
=
\sum_{k=1}^{n}\mathbb E(X_k)
\]
Les variables étant de même loi :
\[
\mathbb E(X_k)=\mathbb E(X_1)
\]
Donc :
\[
\mathbb E\left(\sum_{k=1}^{n}X_k\right)
=
n\mathbb E(X_1)
\]
L’identité de Wald étend ce résultat au cas où le nombre de termes est aléatoire.
On pourrait être tenté d’écrire immédiatement :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
mais cette formule n’est pas toujours vraie. Tout dépend de la manière dont \(N\) est lié aux variables \(X_1,X_2,\ldots\).
Rôle du temps d’arrêt
Dans de nombreuses applications, \(N\) est un temps d’arrêt.
Cela signifie que la décision de s’arrêter au rang \(n\) dépend uniquement des résultats déjà observés :
\[
X_1,\ldots,X_n
\]
Elle ne dépend pas des valeurs futures :
\[
X_{n+1},X_{n+2},\ldots
\]
Par exemple, on lance une pièce jusqu’à obtenir le premier pile. Le nombre de lancers nécessaires est un temps d’arrêt, car après chaque lancer, on peut savoir si l’expérience s’arrête ou non sans connaître les résultats futurs.
En revanche, choisir \(N\) en fonction d’un événement futur pourrait introduire une dépendance incompatible avec l’identité de Wald.
Une écriture utile de la somme aléatoire
On peut écrire :
\[
S_N
=
\sum_{k=1}^{+\infty}X_k\mathbf 1_{\{N\geq k\}}
\]
En effet, le terme \(X_k\) est présent dans la somme si et seulement si :
\[
N\geq k
\]
Sous les hypothèses permettant d’échanger somme et espérance :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}
\mathbb E\left(X_k\mathbf 1_{\{N\geq k\}}\right)
\]
Lorsque \(N\) est un temps d’arrêt, l’événement \(\{N\geq k\}\) dépend seulement de :
\[
X_1,\ldots,X_{k-1}
\]
Il est donc indépendant de \(X_k\). On obtient :
\[
\mathbb E\left(X_k\mathbf 1_{\{N\geq k\}}\right)
=
\mathbb E(X_k)\mathbb P(N\geq k)
\]
Comme les variables \(X_k\) sont de même loi :
\[
\mathbb E(X_k)=\mathbb E(X_1)
\]
Ainsi :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(X_1)
\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(N\geq k)
\]
Or, pour une variable aléatoire \(N\) à valeurs dans \(\mathbb N\) :
\[
\mathbb E(N)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(N\geq k)
\]
On obtient finalement :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Cas où \(N\) est indépendant des variables
Une version plus simple de l’identité de Wald est obtenue lorsque \(N\) est indépendant de toute la suite \((X_n)\).
Conditionnellement à l’événement \(\{N=n\}\), la somme contient exactement \(n\) termes. On a alors :
\[
\mathbb E(S_N\mid N=n)
=
n\mathbb E(X_1)
\]
Donc :
\[
\mathbb E(S_N\mid N)
=
N\mathbb E(X_1)
\]
En prenant l’espérance :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E\left(\mathbb E(S_N\mid N)\right)
\]
Ainsi :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E\left(N\mathbb E(X_1)\right)
\]
et finalement :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Cette démonstration repose directement sur l’espérance conditionnelle.
Exemple avec des gains successifs
Un joueur participe à plusieurs parties. Le gain de la \(k\)-ième partie est représenté par la variable aléatoire \(X_k\).
On suppose que les gains sont indépendants, de même loi, et que :
\[
\mathbb E(X_1)=2
\]
Le joueur effectue un nombre aléatoire \(N\) de parties, avec :
\[
\mathbb E(N)=5
\]
Si les conditions de l’identité de Wald sont vérifiées, le gain total est :
\[
S_N=\sum_{k=1}^{N}X_k
\]
Son espérance vaut :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Donc :
\[
\mathbb E(S_N)=5\times2=10
\]
Le joueur gagne donc en moyenne \(10\) unités.
Exemple avec des lancers de dé
On lance un dé équilibré plusieurs fois. On note \(X_k\) le résultat du \(k\)-ième lancer.
On a :
\[
\mathbb E(X_k)
=
\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}
=
\displaystyle \frac{7}{2}
\]
Supposons que le nombre \(N\) de lancers soit indépendant des résultats et vérifie :
\[
\mathbb E(N)=4
\]
La somme des résultats est :
\[
S_N=\sum_{k=1}^{N}X_k
\]
L’identité de Wald donne :
\[
\mathbb E(S_N)
=
4\times\displaystyle \frac{7}{2}
=
14
\]
La somme obtenue vaut donc en moyenne \(14\).
Application au premier succès
On répète des épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès \(p\). On s’arrête au premier succès.
Le nombre \(N\) d’épreuves nécessaires suit une loi géométrique de paramètre \(p\). Ainsi :
\[
\mathbb E(N)
=
\displaystyle \frac{1}{p}
\]
Supposons que chaque épreuve possède un coût aléatoire \(X_k\), indépendant des succès, avec :
\[
\mathbb E(X_k)=m
\]
Le coût total avant le premier succès est :
\[
C=\sum_{k=1}^{N}X_k
\]
L’identité de Wald donne alors :
\[
\mathbb E(C)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Donc :
\[
\mathbb E(C)
=
\displaystyle \frac{m}{p}
\]
Plus le succès est rare, plus le coût moyen total est important.
Attention aux dépendances
L’erreur la plus fréquente consiste à appliquer l’identité de Wald lorsque \(N\) dépend de manière trop directe des valeurs \(X_k\).
Par exemple, supposons que :
\[
N=
\begin{cases}
1 & \text{si }X_1>0,\\
2 & \text{si }X_1\leq0.
\end{cases}
\]
Le nombre de termes dépend alors de la valeur de \(X_1\). Selon la loi de \(X_1\), la relation :
\[
\mathbb E(S_N)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
peut être fausse.
Il faut donc examiner précisément la relation entre \(N\) et les variables de la somme.
Comment utiliser l’identité de Wald dans un exercice ?
Lorsqu’une somme possède un nombre aléatoire de termes, il faut commencer par l’écrire sous la forme :
\[
S_N=\sum_{k=1}^{N}X_k
\]
Il est ensuite utile :
- d’identifier la loi ou l’espérance de \(N\) ;
- de calculer \(\mathbb E(X_1)\) ;
- de vérifier l’indépendance ou la propriété de temps d’arrêt ;
- de contrôler l’intégrabilité des variables ;
- d’appliquer la formule seulement après ces vérifications.
Il faut également distinguer le nombre d’expériences réalisées du nombre de succès obtenus, car ces deux variables ne jouent pas le même rôle.
Conclusion
L’identité de Wald permet de calculer l’espérance d’une somme comportant un nombre aléatoire de termes.
Sous des hypothèses adaptées :
\[
\mathbb E\left(\sum_{k=1}^{N}X_k\right)
=
\mathbb E(N)\mathbb E(X_1)
\]
Cette formule prolonge la linéarité de l’espérance au cas où le nombre de termes n’est plus déterministe.
Elle est particulièrement utile dans les problèmes de gains cumulés, de coûts successifs ou d’expériences répétées jusqu’à un événement donné. Dans un exercice, il faut toutefois vérifier soigneusement les hypothèses d’indépendance, d’intégrabilité et de temps d’arrêt avant de l’utiliser.
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