Les polynômes unitaires sont régulièrement présents dans les sujets de concours ECG, notamment dans les questions portant sur la diagonalisation, les suites récurrentes linéaires et les espaces de polynômes. Leur définition est simple, mais leurs propriétés permettent de mener des raisonnements rigoureux sur la structure des espaces vectoriels de polynômes et sur les endomorphismes qui leur sont associés. Cet article définit les polynômes unitaires, établit leurs propriétés essentielles, puis illustre leur rôle dans deux contextes typiques des concours : la décomposition dans \( \mathbb{R}_n[X] \) et le lien avec les polynômes caractéristiques.
Définition et premières propriétés
Définition
Un polynôme \( P \in \mathbb{R}[X] \) de degré \( n \geq 0 \) est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à \( 1 \). Autrement dit, il existe des réels \( a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \) tels que :
\[ P(X) = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \]
Le polynôme nul n’est pas unitaire, car il n’a pas de coefficient dominant. Par convention, les polynômes de degré \( 0 \) unitaires sont réduits au polynôme constant \( P = 1 \).
Exemples
Le polynôme \( X^3 – 2X + 1 \) est unitaire de degré \( 3 \). Le polynôme \( 3X^2 + X – 2 \) ne l’est pas ; son associé unitaire est \( X^2 + \displaystyle\frac{1}{3}X – \frac{2}{3} \).
Stabilité par produit
Le produit de deux polynômes unitaires est unitaire. En effet, si \( P \) est de degré \( n \) et unitaire, et \( Q \) est de degré \( m \) et unitaire, alors \( PQ \) est de degré \( n + m \) et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants de \( P \) et \( Q \), soit \( 1 \times 1 = 1 \). Ainsi \( PQ \) est unitaire.
Polynômes unitaires et espaces de polynômes
Une famille de polynômes unitaires de degrés distincts est une base
Soit \( n \in \mathbb{N} \). Si \( (Q_0, Q_1, \ldots, Q_n) \) est une famille de polynômes de \( \mathbb{R}_n[X] \) telle que \( Q_k \) est unitaire de degré \( k \) pour chaque \( k \in \{0, 1, \ldots, n\} \), alors cette famille est une base de \( \mathbb{R}_n[X] \).
Démonstration
L’espace \( \mathbb{R}_n[X] \) est de dimension \( n + 1 \). Il suffit de montrer que la famille est libre pour conclure. Supposons qu’il existe des réels \( \lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) tels que :
\[ \lambda_0 Q_0 + \lambda_1 Q_1 + \cdots + \lambda_n Q_n = 0 \]
En comparant les coefficients de degré \( n \) des deux membres : seul \( Q_n \) contribue à ce degré (avec coefficient \( 1 \) car \( Q_n \) est unitaire), donc \( \lambda_n = 0 \).
En comparant ensuite les coefficients de degré \( n-1 \) : seul \( Q_{n-1} \) contribue à ce degré (avec coefficient \( 1 \)), donc \( \lambda_{n-1} = 0 \).
En poursuivant cette récurrence descendante jusqu’au degré \( 0 \), on obtient \( \lambda_k = 0 \) pour tout \( k \in \{0, \ldots, n\} \). La famille est libre, donc c’est bien une base de \( \mathbb{R}_n[X] \).
Ce résultat est pratique aux concours : pour montrer qu’une famille de polynômes est une base de \( \mathbb{R}_n[X] \), il suffit de vérifier que chaque polynôme est unitaire de degré \( k \) correspondant. Cela évite tout calcul de déterminant.
Décomposition sur une telle base
Tout polynôme \( P \in \mathbb{R}_n[X] \) se décompose de manière unique sur la base \( (Q_0, \ldots, Q_n) \). Les coordonnées se calculent par identification descendante des coefficients, sans résoudre de système linéaire.
Exemple
On considère la base \( (Q_0, Q_1, Q_2) \) de \( \mathbb{R}_2[X] \) définie par \( Q_0 = 1 \), \( Q_1 = X + 1 \), \( Q_2 = X^2 – X + 2 \). Ces polynômes sont unitaires de degrés \( 0 \), \( 1 \) et \( 2 \) : c’est bien une base. Décomposons \( P = 3X^2 + X – 1 \).
On cherche \( \lambda_0, \lambda_1, \lambda_2 \) tels que \( P = \lambda_2 Q_2 + \lambda_1 Q_1 + \lambda_0 Q_0 \).
Coefficient de degré \( 2 \) : \( \lambda_2 = 3 \).
On soustrait : \( P – 3Q_2 = 3X^2 + X – 1 – 3(X^2 – X + 2) = 4X – 7 \).
Coefficient de degré \( 1 \) : \( \lambda_1 = 4 \).
On soustrait : \( 4X – 7 – 4(X + 1) = -11 \).
Donc : \( \lambda_0 = -11 \), et \( P = 3Q_2 + 4Q_1 – 11Q_0 \).
Polynômes unitaires et vecteurs propres
Normalisation des vecteurs propres
Soit \( \varphi \) un endomorphisme diagonalisable de \( \mathbb{R}_n[X] \) dont les valeurs propres \( \lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) sont toutes distinctes. Chaque espace propre \( E_{\lambda_k} \) est alors de dimension \( 1 \), et contient un unique vecteur propre unitaire \( P_k \) : c’est l’unique polynôme unitaire vérifiant \( \varphi(P_k) = \lambda_k P_k \).
Si chaque \( P_k \) est de degré \( k \), la famille \( (P_0, P_1, \ldots, P_n) \) est une base de polynômes unitaires de degrés distincts, et le critère de la section précédente garantit immédiatement que c’est bien une base de \( \mathbb{R}_n[X] \). La normalisation en polynômes unitaires est donc doublement utile : elle fixe l’unicité de chaque vecteur propre, et elle fournit un critère de base sans calcul supplémentaire.
Détermination des coefficients par identification
Lorsqu’on cherche le vecteur propre unitaire \( P_k = \displaystyle\sum_{i=0}^{k} a_i X^i \) avec \( a_k = 1 \) associé à la valeur propre \( \lambda_k \), l’équation \( \varphi(P_k) = \lambda_k P_k \) se traduit, après calcul de \( \varphi \) sur chaque monôme, en un système triangulaire sur les coefficients \( a_0, a_1, \ldots, a_{k-1} \). Ce système se résout de proche en proche en partant de \( a_{k-1} \) jusqu’à \( a_0 \), sans jamais résoudre un système complet.
Exemple
On considère l’endomorphisme \( \varphi \) de \( \mathbb{R}_n[X] \) défini par \( \varphi(P) = (X-1)P’ – XP” \). Un calcul direct sur les monômes donne \( \varphi(1) = 0 \) et, pour \( j \geq 1 \) :
\[ \varphi(X^j) = (X-1) \cdot jX^{j-1} – X \cdot j(j-1)X^{j-2} = jX^j – j^2 X^{j-1} \]
La matrice de \( \varphi \) dans la base canonique est triangulaire supérieure avec \( 0, 1, 2, \ldots, n \) sur la diagonale : les valeurs propres sont \( 0, 1, \ldots, n \), toutes distinctes, et \( \varphi \) est diagonalisable. Pour \( k = 2 \), on cherche \( P_2 = X^2 + a_1 X + a_0 \) vérifiant \( \varphi(P_2) = 2P_2 \).
Par linéarité :
\[ \varphi(P_2) = \varphi(X^2) + a_1 \varphi(X) + a_0 \varphi(1) = (2X^2 – 4X) + a_1(X – 1) + 0 = 2X^2 + (a_1 – 4)X – a_1 \]
L’équation \( \varphi(P_2) = 2P_2 \) donne \( 2X^2 + (a_1 – 4)X – a_1 = 2X^2 + 2a_1 X + 2a_0 \). Par identification des coefficients de degré \( 1 \) : \( a_1 – 4 = 2a_1 \), donc \( a_1 = -4 \). Par identification des coefficients constants : \( -a_1 = 2a_0 \), donc \( a_0 = 2 \). On obtient \( P_2 = X^2 – 4X + 2 \), vecteur propre unitaire associé à la valeur propre \( 2 \).
La famille \( (P_0, P_1, P_2) \) où \( P_0 = 1 \), \( P_1 = X – 1 \) (que l’on calcule de même), \( P_2 = X^2 – 4X + 2 \) est une base de \( \mathbb{R}_2[X] \) : chaque polynôme est unitaire de degré correspondant.
Conclusion
Les polynômes unitaires semblent très simples ; néanmoins, il existe plusieurs propriétés autour de ces derniers. Nous avons tenté de te présenter les plus importantes pour les étudiants en classe préparatoire ECG. Ces polynômes sont récurrents aux concours, donc entraîne-toi bien !
