Les intégrales sont un incontournable des épreuves de maths et vous devez vous y préparer. On commence aujourd’hui par s’attaquer au calcul intégral de fonctions continues sur un segment puis dans un prochain article nous traiterons les intégrales impropres.
1) Calcul intégral – primitives usuelles
Je ne vous apprends rien mais vous devez connaître vos primitives usuelles sur le bout des doigts si vous voulez calculer des intégrales, voici donc un tableau qui vous rappelle toutes les formules à connaitre :
2) Calcul intégral – méthodes classiques
Parfois les fonctions que vous devrez intégrer ne font pas partie du tableau ci dessus et il existe plusieurs techniques pour les faire apparaître :
- La technique du “+1-1“ : Lorsque vous avez un quotient que vous ne pouvez pas primitiver essayez de bidouiller le numérateur pour couper le quotient et faire apparaître deux quotients que vous pouvez primitiver, voici un exemple.
\( \begin{align}\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{u}{1 + u} \mathrm{d}u &=\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1+u}{1 + u} \mathrm{d}u \: – \: \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{1 + u} \mathrm{d}u \\ &= \displaystyle[\: t \: ]_{1}^{2} \: – \: \displaystyle[\: \ln(1+t)\: ]_{1}^{2} \: \\ &= \: 1 – \ln(\frac{3}{2}) \end{align}\)
- Linéariser une fonction trigonométrique : Lorsque vous avez des fonctions qui sont des produits de fonctions trigonométriques utilisez les formules de duplication pour transformer votre produit en une combinaison linéaire de \( \cos \) et de \( \sin \) que vous savez primitiver. Voici les formules :
\( cos(a)cos(b) = \displaystyle \frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2} \)
\( cos(p) + cos(q) = 2 \displaystyle\cos(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})\)
\( \cos^2(p) + \sin^2(p) = 1\)
\( \cos^2(p) – \sin^2(p) = \cos(2p) \)
\( \sin(2p) = 2\cos(p)\sin(p) \)
Le changement de variable \( t = \tan(\frac{x}{2}) \) permet aussi souvent de s’en sortir. Dans ce cas on a :
\( \mathrm{d}x = \displaystyle\frac{2 \mathrm{d}t}{1+t^2} \) , \( \sin(x) = \displaystyle \frac{2t}{1 + t^2}\) , \( \cos(x) = \displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
Exemple :
\( \begin{align}\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\sin(2x) \mathrm{d}x &= \displaystyle [x.\sin^2(x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} – \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) \\ &= \frac{\pi}{8} \: – \: \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos(2x)}{2} \mathrm{d}x\\ &= \frac{\pi}{8} \: – \: \frac{\pi}{8} \: + \: \displaystyle [\frac{\sin(2x)}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\ &= \frac{1}{4} \end{align}\)
- Décomposition en éléments simples : Il s’agit de transformer un quotient de polynômes en une somme d’éléments simples que vous savez primitiver grâce à la fonction \( \ln \). Cette méthode n’étant pas au programme vous serez guidés par l’énoncé si vous devez faire cela. Le but est d’avoir quelque chose de la forme : \( \: \)\( \displaystyle \frac{P'(x)}{P(x)} \) dont une primitive est \( \ln|P(x)| \).
L’expression suivante revient tout de même souvent, il est bon de la connaître : \( \frac{1}{1-x^2} \: = \: \frac{1}{(1-x)(1+x)} \: = \: \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}) \)
3) Calcul intégral – l’intégration par partie (IPP)
Lorsque vous ne pouvez pas primitiver il ne reste plus qu’une solution, l’IPP. Je vous rappelle la formule :
\[ \displaystyle \int_{a}^{b} u(t)v'(t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle[u(t)v(t)]_a^b \: – \displaystyle \int_{a}^{b} u'(t)v(t) \,\mathrm{d}t \]
Mais comment savoir quelle fonction dériver et quelle fonction primitiver ? Il faut de l’expérience, à force d’en faire vous obtiendrez des réflexes, mais je vous livre tout de même quelques astuces de base.
- Avec la fonction ln :
Lorsque vous avez une IPP à faire avec la fonction ln, c’est toujours celle ci que vous devez dériver, et donc primitiver l’autre, et ce 100% du temps ! Voici un exemple :
\( \displaystyle \int x.ln(x) = \frac{(x^2 ln(x))}{2} \: – \frac{1}{2}.\displaystyle \int x\)
On sait ensuite primitiver \( x \mapsto x \) …
- Avec des puissance de \( x \) :
Il faut toujours dériver les puissances de \( x \) pour baisser la puissance jusqu’à tomber sur 1 et ainsi pouvoir calculer l’intégrale tranquillement. Voici un exemple :
\( \displaystyle \int x.e^{x} = x.e^{x} – \displaystyle \int e^{x} \)
Ici on dérive \( x \)comme convenu et on primitive \( e^{x} \). N’hésitez pas à faire deux IPP successives lorsque vous avez du \( x^2 \) par exemple.
Attention : La règle des \( ln \) passe toujours avant celle des puissances de \( x \) !
- Autres cas de figure :
Parfois vous n’aurez pas le choix car une des deux fonctions ne peut pas être primitivée et c’est donc forcement celle ci que vous devrez dériver.
\( \begin{align}\displaystyle \int \arctan(x) &=x.\arctan(x) \: – \: \displaystyle \int \frac{x}{1 + x^2}\\ &=x.\arctan(x) \: – \: \frac{1}{2}.\displaystyle \int \frac{2.x}{1 + x^2} \\ &= x.\arctan(x) \: – \: \frac{1}{2}.\displaystyle \int \frac{u’}{u} \end{align}\)
avec \( u(x) = 1 + x^2 \).
Là c’est bon, on sait faire !
Remarque :
- Dans cet exemple vous ne connaissez pas de primitive de \( \arctan \) donc vous n’avez pas d’autres choix que de dériver \( \arctan \) (et donc de primitiver 1) pour calculer cette intégrale.
- Notez que la règle des \( ln \) n’est qu’un cas particulier de cette règle car on ne connait pas de primitive de \( ln \), mais comme ça peut être utile de la connaitre, la voici : \( xln(x) – x \).
4) L’IPP au service de la récurrence
Lorsque vous avez une suite définie par une intégrale, l’IPP est souvent un moyen d’établir une relation de récurrence qui nous permet ensuite de calculer explicitement la suite en fonction de n. Allez voir l’épreuve de maths EMLyon 2018 ECS Problème 1 Partie 1. Notez que cet exercice est à maîtriser parfaitement tellement il revient souvent.
Clique sur ce lien pour retrouver EMLyon 2018 ECS Problème 1 Partie 1
5) Calcul intégral – le changement de variable
C’est une technique qui est très rarement utile pour les intégrales sur un segment dans la pratique mais vous devez quand même la maîtriser si jamais on vous le demande dans une épreuve. Voici la formule barbare :
Soient \( [a,b] \) un segment, \( f\) une fonction continue sur \( [a,b]\) et \(\phi [\alpha,\beta]\to [a,b] \) une fonction de classe \( C^1\). Le théorème de changement de variable postule :
\[ \displaystyle \int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(u))\phi'(u) \, \mathrm{d}t \]
On dit alors que l’on fait le changement de variable : \( x = \phi(t) \).
La méthode est la suivante :
1– On applique la fonction du changement de variable aux bornes.
2– On exprime tout en fonction de la nouvelle variable.
3– On cherche ce que devient le \( \mathrm{d}t \) en fonction de x et de \( \mathrm{d}x \) en utilisant le fait que \( \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d}t} = \phi'(t) \)
4– On calcule la nouvelle intégrale.
Voyons comment on fait dans la pratique dans un exemple :
Calculer à l’aide du changement de variable \( t = e^{x} \) l’intégrale suivante :
\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \mathrm{d}x\)
Etape 1 : Les bornes deviennent \( e^0=1\) et \( e^1=e\).
Etape 2 : \( e^{x}\) devient \( t\) et \( 1 + e^{x}\) devient \( 1 + t\).
Etape 3 : \( \displaystyle\mathrm{d}t = e^{x}\mathrm{d}x \Rightarrow \displaystyle\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{1 + t} \).
Etape 4 : On calcule l’intégrale
\( \begin{align}\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \mathrm{d}x &= \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{\mathrm{d}t}{1 + t} \\ &= \displaystyle[\ln(1+t)] _{1}^{e} \\ &= \ln(1+e) – \ln(2) \end{align}\)
Conclusion :
On récapitule, pour calculer une intégrale sur un segment il faut (quand l’énoncé ne précise rien bien sûr) :
- Regarder si on ne peut pas trouver une primitive usuelle.
- Sinon, voir si on peut bidouiller la fonction pour en faire apparaître.
- Sinon, faire une IPP.
- Sinon, c’est impossible de la calculer directement et dans ce cas vous serez guidés par l’énoncé.
Vous connaissez maintenant toutes les techniques pour calculer les intégrales de fonctions continues sur un segment. Il ne vous reste plus qu’à vous entraîner en TD et en faisant des annales.
Aucun cours de maths ne vous sera plus utile que de la pratique ;).
Retrouve tous les cours de maths de Major-Prépa !
