L’inégalité de Cantelli est une extension puissante des outils de concentration classiques vus en prépa ECG. Alors que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité d’un écart à la moyenne dans les deux directions, Cantelli permet, sous condition que nous verrons, d’obtenir une majoration plus fine. Nous étudierons d’abord l’inégalité de Cantelli dans sa version bilatérale, avant de présenter l’inégalité de Cantelli unilatérale. Nous comparerons la précision de la majoration avec l’inégalité de Tchebychev, puis nous donnerons un exemple d’application de l’inégalité. En bonus, si souhaité, nous démontrerons cette inégalité !
L’inégalité de Cantelli (version bilatérale pour variables positives)
Lorsqu’on travaille sur des variables aléatoires positives, il est possible d’utiliser une version de Cantelli qui majore l’écart absolu à la moyenne. Pour une variable \(X\) positive possédant une variance \(V(X)\), on a pour tout \(a > 0\) :
\[P(|X – E(X)| \geq a) \leq \frac{2V(X)}{V(X) + a^2}\]
Cette formule est en réalité la somme des deux branches de l’inégalité unilatérale. Elle offre une alternative à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev en intégrant la variance au dénominateur, ce qui stabilise la borne pour certaines valeurs de \(a\). Mais il convient dès lors d’aborder l’inégalité dans sa version à une branche.
L’inégalité de Cantelli unilatérale (version en une seule branche)
Cette forme ne s’occupe que d’un seul côté de la distribution (la queue supérieure ou inférieure). Voici un graphique pour voir visuellement ce que cela signifie.
Dans le premier graphique, on cherche à majorer les deux queues, tandis que dans l’inégalité de Cantelli, que nous allons désormais aborder, on ne cherche qu’à majorer la queue supérieure (ou inférieure).
Pour toute variable aléatoire réelle \(X\) de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\), et pour tout \(a > 0\) :
\[P(X – \mu \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\]
De même, par symétrie, on a pour la queue inférieure :
\[P(X – \mu \leq -a) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\]
Comparaison et conditions d’optimalité
Le choix entre Bienaymé-Tchebychev et Cantelli dépend de l’écart \(a\) dans la formule que l’on cherche à appliquer. Évidemment, l’intérêt de la comparaison n’est que pour l’inégalité de Cantelli dans le cas bilatéral, puisque c’est que dans ce cas que l’on majore \(P(|X – E(X)| \geq a)\). Dans le cas unilatéral, en effet, il n’y a pas la valeur absolue que l’on retrouve dans Tchebychev.
Pour la version bilatérale, on a les deux majorations différentes, donc calculons à quelle condition Cantelli est plus efficace de Bienaymé-Tchebychev :
\[\frac{2\sigma^2}{\sigma^2 + a^2} < \frac{\sigma^2}{a^2} \iff 2a^2 < \sigma^2 + a^2 \iff a < \sigma\]
Ainsi, la version bilatérale de Cantelli est plus efficace que Tchebychev uniquement lorsque l’écart \(a\) recherché est inférieur à l’écart-type \(\sigma\). Pour de grands écarts (\(a > \sigma\)), c’est l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui redevient la plus restrictive et donc la plus utile.
Exemple d’application
Énoncé
Un projet a un coût moyen \(E(X) = 100\) millions d’euros avec un écart-type \(\sigma = 20\). On souhaite borner la probabilité que le coût dépasse 160 millions d’euros.
Calculer la borne la plus fine possible en comparant les résultats donnés par les inégalités connues (Tchebychev & Cantelli).
Analyse par Tchebychev
On pose \(a = 60\). L’inégalité classique donne :
\[P(|X – 100| \geq 60) \leq \frac{20^2}{60^2} = \frac{400}{3600} \approx 0,111\]
Analyse par Cantelli
L’inégalité unilatérale donne une borne plus stricte :
\[P(X – 100 \geq 60) \leq \frac{400}{400 + 3600} = \frac{400}{4000} = 0,10\]
La probabilité de dépassement est donc au maximum de 10 %, contre une borne de 11,1 % avec la méthode classique. Cantelli est donc meilleure ici.
BONUS : démonstration de la version unilatérale
La preuve repose sur l’application de l’inégalité de Markov à une fonction précise :
On pose \(Y = X – \mu\), de sorte que \(E(Y) = 0\) et \(Var(Y) = \sigma^2\). Soit \(s > 0\) un paramètre réel. On observe que l’événement \(\{Y \geq a\}\) est identique à l’événement \(\{Y + s \geq a + s\}\).
Pour tout \(s > 0\), comme \(a+s > 0\), on peut écrire :
\[P(Y + s \geq a + s) \leq P((Y + s)^2 \geq (a + s)^2)\]
D’après l’inégalité de Markov appliquée à la variable positive \((Y + s)^2\) :
\[P(Y \geq a) \leq \frac{E[(Y + s)^2]}{(a + s)^2}\]
On développe l’espérance au numérateur :
\[E[(Y + s)^2] = E(Y^2) + 2sE(Y) + s^2 = \sigma^2 + s^2\]
On cherche la valeur de \(s\) qui minimise la fonction \(f(s) = (\sigma^2 + s^2) / (a + s)^2\). Le minimum est atteint pour \(s = \sigma^2 / a\) (tu peux le vérifier en dérivant la fonction et en réalisant son tableau de variation).
En remplaçant \(s\) par cette valeur optimale, on obtient après simplification :
\[P(Y \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\]
Conclusion
En définitive, l’inégalité de Cantelli est une inégalité de concentration très utile pour majorer la probabilité qu’une variable aléatoire s’éloigne de son espérance. Elle peut, sous condition, être plus précise que Bienaymé-Tchebychev et sa forme sous unique branche peut être particulièrement utile.
Cependant, ces inégalités permettent toujours de majorer une probabilité, si tu veux voir une formule qui permet de minorer une probabilité, voici un article sur l’inégalité de Paley-Zygmund (hors programme ECG).
Voilà, il n’y a désormais plus qu’à croiser les doigts pour qu’une telle notion tombe aux concours !
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