Les endomorphismes inversibles ou bijectifs occupent une place centrale dans le domaine de l’algèbre linéaire. On te propose ici de revoir leur définition et d’étudier quelques propriétés sur ce type d’endomorphismes.
Définition des endomorphismes inversibles
Soit \(E\) un espace vectoriel.
Un endomorphisme est une application linéaire \(f : E \to E\).
On dit que \(f\) est bijectif si \(f\) est à la fois injectif et surjectif (comme une application).
Dans ce cas, il existe un endomorphisme \(g : E \to E\) tel que :
\[
f \circ g = g \circ f = \mathrm{Id}_E.
\]
On appelle \(g\) l’inverse de \(f\), noté \(f^{-1}\).
Critères équivalents d’inversibilité
Tout d’abord, la première étape pour comprendre les endomorphismes bijectifs consiste à rassembler tous les critères équivalents de bijectivité.
Soit \(f : E \to E\).
On a l’équivalence suivante :
\(f\) est bijectif \(\Leftrightarrow\) \(\text{Ker}(f)= \{0\}\) et \(\text{Im}(f)= E\)
Par ailleurs, si \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, alors d’autres équivalences existent.
Soit \(E\) un espace vectoriel avec \(\dim(E)=n\) avec \(((e_1),\dots,(e_n))\) une base de \(E\)
Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
- \(f\) est bijectif
- \(f\) est injectif
- \(f\) est surjectif
- \(\text{Ker}(f)= \{0\}\)
- \(\text{Im}(f)= E\)
- \(\text{rg}(f)= n\)
- La famille \((f(e_1),\dots,f(e_n))\) forme une base de \(E\) (démonstration plus bas)
Démontrons les deux premiers points. Montrons que si \(E\) un espace vectoriel de dimension finie alors \(f\) est bijectif \(\Leftrightarrow\) \(f\) est injectif \(\Leftrightarrow\) \(f\) est surjectif.
Soit \(E\) un espace vectoriel avec \(\dim(E)=n\)
Tout repose sur la formule du rang :
\[
\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\mathrm{Im}(f)).
\]
Si \(f\) est injectif, alors \(\text{Ker}(f)=\{0\}\), donc \(\dim(\text{Im}(f)) = n\). On a alors la surjectivité et donc l’inversibilité de \(f\).
Réciproquement, si \(f\) est surjectif, alors \(\dim(\text{Im}(f)) = n\), donc \(\dim(\text{Ker}(f))=0\). On a alors l’injectivité et donc l’inversibilité de \(f\).
Ainsi, d’après un raisonnement par double implication, on a que \(f\) est injectif si et seulement si \(f\) est surjectif.
Propriétés importantes sur les endomorphismes inversibles
Unicité de l’inverse
Si \(f\) est bijectif, alors son inverse \(f^{-1}\) existe et est unique.
Démonstration
Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe deux inverses \(g,h\) à \(f\) avec \(g \ne h\), alors :
\[
g = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = \mathrm{Id}_E \circ h = h.
\]
On arrive à une absurdité. Donc, il n’existe pas deux inverses \(g,h\) à \(f\) avec \(g \ne h\). Nous venons de prouver l’unicité de l’inverse.
Bien évidemment, cette propriété reste vraie même lorsque nous n’utilisons pas d’endomorphismes.
Composition
Si \(f,g\) sont deux endomorphismes bijectifs, alors \(f \circ g\) est bijectif et
\[
(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}.
\]
Interprétation géométrique et bases
Un endomorphisme \(f\) est bijectif si et seulement s’il transforme une base de \(E\) en une base de \(E\).
Démonstration (par double implication) :
Soit \(E\) un espace vectoriel avec \(\dim(E)=n\) avec \(((e_1),\dots,(e_n))\) une base de \(E\)
Supposons \(f\) bijectif.
Soit \(x\in E\) . Comme \(f\) est surjectif, il existe \(u\in E\) tel que \(f(u)=x\) . Écrivons \(u\) dans la base \(B\) :
\[
u=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i.
\]
Par linéarité,
\[
x=f(u)=f\!\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f(e_i).
\]
Ainsi, tout \(x\in E\) est combinaison linéaire des \(f(e_i)\) : la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) engendre \(E\).
Montrons que la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est libre. Supposons qu’une combinaison linéaire des \(f(e_i)\) soit nulle :
\[
\sum_{i=1}^n \lambda_i\, f(e_i)=0.
\]
Par linéarité, cela s’écrit :
\[
f\!\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\right)=0,
\]
donc : \(\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\in \ker(f)\). Or \(f\) est injectif (puisque bijectif), donc \(\ker(f)=\{0\}\), d’où
\[
\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i=0.
\]
Comme \((e_1,\dots,e_n)\) est une base (famille libre), on obtient \(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0\). La famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est donc libre.
Les deux propriétés « génératrice » et « libre » étant vérifiées, la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est une base de \(E\).
Supposons qu’il existe une base \(B=(e_1,\dots,e_n)\) telle que \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) soit une base de \(E\).
Montrons la surjectivité de \(f\). Par hypothèse, la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est génératrice de \(E\). Donc, pour tout \(x\in E\), il existe des scalaires \((\alpha_i)\) tels que
\[
x=\sum_{i=1}^n \alpha_i f(e_i)=f\!\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right).
\]
Ainsi, \(x\) appartient à l’image de \(f\) ; donc \(\mathrm{Im}(f)=E\) et \(f\) est surjectif.
Montrons l’injectivité de \(f\)
Soit \(u\in E\) tel que \(f(u)=0\). Écrivons \(u\) dans la base \(B\) :
\[
u=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.
\]
Alors
\[
0=f(u)=\sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i).
\]
Comme la famille \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est libre, on en déduit \(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0\), donc \(u=0\). Par conséquent \(\ker(f)=\{0\}\) et \(f\) est injectif.
Donc, \(f\) est bijectif.
Par double implication, on a que \(f\) est bijectif si et seulement si \(\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)\) est une base de \(E\).
Lien avec les valeurs propres
Si \(f\) est bijectif, alors \(0\) n’est pas une valeur propre de \(f\).
Preuve :
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe \(x \neq 0\) avec \(f(x)=0\).
Alors \(x \in \ker(f)\).
Or, \(\ker(f)=\{0\}\) car \(f\) est bijectif et donc injectif.
Lien avec les matrices inversibles
Soit \(B=(e_1,\dots,e_n)\) une base de \(E\). On définit la matrice de \(f\) dans cette base :
\[
A = \mathrm{Mat}_{{B}}(f).
\]
Correspondance fondamentale
L’endomorphisme \(f\) est bijectif si et seulement si la matrice \(A\) est inversible.
Preuve :
Une fois n’est pas coutume, raisonnons par double implication.
Si \(f\) est bijectif, alors la famille \((f(e_1),\dots,f(e_n))\) est une base. Les colonnes de \(A\) forment donc une famille libre et génératrice de \(\mathbb{R}^n\), donc \(A\) est inversible.
Réciproquement, si \(A\) est inversible, ses colonnes forment une famille libre. De plus, \(Card(f(e_1),\dots,f(e_n))\)= \(\dim(E)\). Donc est alors \((f(e_1),\dots,f(e_n))\) est une base de \(E\), donc \(f\) est bijectif.
Par double implication, on a que \(f\) est bijectif si et seulement si la matrice \(A\) est inversible.
Inverse de la matrice
Si \(A = \mathrm{Mat}_{{B}}(f)\), alors
\[
\mathrm{Mat}_{{B}}(f^{-1}) = A^{-1}.
\]
Preuve :
On sait que \(f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_E\). En passant aux matrices :
\[
\mathrm{Mat}_{{B}}(f) \cdot \mathrm{Mat}_{{B}}(f^{-1}) = \mathrm{Mat}_{{B}}(f \circ f^{-1}) = \mathrm{Mat}_{{B}}(Id_E) = I_n.
\]
Ainsi, la matrice de \(f^{-1}\) est exactement l’inverse de la matrice de \(f\)
Conclusion
Les endomorphismes inversibles constituent un pivot de l’algèbre linéaire en prépa ECG. On retient :
- les critères équivalents (injectivité, surjectivité, noyau nul, image totale, rang maximal) ;
- les propriétés générales (unicité de l’inverse, stabilité par composition et puissances) ;
- le lien avec les bases (un endomorphisme bijectif transforme une base en une base) ;
- le lien avec les valeurs propres (0 n’est pas valeur propre) ;
- l’équivalence entre endomorphismes bijectifs et matrices inversibles.
Ces résultats apparaissent sans cesse dans les exercices et aux concours. Savoir jongler entre les formulations est une compétence clé. Certaines de ces propriétés font partie de ton cours que tu dois connaître par cœur. Les démonstrations sont aussi à retravailler.
Pour plus d’articles de maths, clique ici !
