L’inégalité de Jensen est l’un des résultats les plus classiques et les plus utiles du programme de mathématiques, en prépa ECG. Elle établit un lien entre convexité et espérance, et apparaît régulièrement dans les sujets de concours. Étant donné qu’il s’agit d’une inégalité classique en prépa ECG, il est bon d’avoir des réflexes dès qu’on la voit. Dans cet article, nous présenterons d’abord les notions de convexité et de concavité nécessaires à la compréhension de l’inégalité. Nous détaillerons ensuite l’énoncé et la démonstration de l’inégalité de Jensen (la forme probabiliste), dans le cadre du programme ECG, avant d’illustrer son utilisation par des applications classiques. Enfin, en conclusion, nous proposerons des conseils pratiques pour les concours.
Rappels sur la convexité
Avant d’énoncer l’inégalité de Jensen, il est indispensable de rappeler la notion de fonction convexe, qui en constitue le fondement.
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). On dit que \( f \) est convexe sur \( I \) si, pour tous \( x, y \in I \) et pour tout \( \lambda \in [0,1] \), on a :
\[ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y). \]
Dans le cadre du programme ECG, on dispose du critère suivant : si \( f \) est deux fois dérivable sur \( I \), alors \( f \) est convexe sur \( I \) si et seulement si \( f” \geq 0 \) sur \( I \). De même, \( f \) est concave sur \( I \) si et seulement si \( f” \leq 0 \) sur \( I \).
Une propriété fondamentale des fonctions convexes, qui intervient directement dans la démonstration de l’inégalité de Jensen, est la suivante : si \( f \) est convexe et dérivable en un point \( a \in I \), alors sa courbe est située au-dessus de sa tangente en \( a \), c’est-à-dire :
\[ \forall x \in I, \quad f(x) \geq f(a) + f'(a)(x – a). \]
Énoncé de l’inégalité de Jensen
L’inégalité de Jensen s’énonce dans le cadre des variables aléatoires admettant une espérance.
Théorème (Inégalité de Jensen). Soit \( X \) une variable aléatoire réelle admettant une espérance, et soit \( f \) une fonction convexe et dérivable sur un intervalle \( I \) contenant les valeurs prises par \( X \). Si \( f(X) \) admet également une espérance, alors :
\[ f\big(E(X)\big) \leq E\big(f(X)\big). \]
Lorsque \( f \) est concave, l’inégalité est renversée :
\[ f\big(E(X)\big) \geq E\big(f(X)\big). \]
L’inégalité de Jensen exprime donc que, pour une fonction convexe, l’image de la moyenne est inférieure ou égale à la moyenne des images. Ce résultat est remarquablement puissant, car il permet de comparer deux quantités sans avoir à calculer explicitement la loi de \( f(X) \).
Démonstration
La démonstration repose sur la propriété de tangente rappelée plus haut. Posons \( a = E(X) \). Puisque \( f \) est convexe et dérivable, on sait que pour tout \( x \in I \) :
\[ f(x) \geq f(a) + f'(a)(x – a). \]
En appliquant cette inégalité à la variable aléatoire \( X \), on obtient :
\[ f(X) \geq f(a) + f'(a)(X – a). \]
Par croissance de l’espérance (si \( Y \geq Z \) presque sûrement et si \( E(Y) \) et \( E(Z) \) existent, alors \( E(Y) \geq E(Z) \)), on peut passer à l’espérance :
\[ E\big(f(X)\big) \geq E\big(f(a) + f'(a)(X – a)\big). \]
Par linéarité de l’espérance, le membre de droite se développe :
\[ E\big(f(a) + f'(a)(X – a)\big) = f(a) + f'(a)\big(E(X) – a\big). \]
Or, par définition, \( a = E(X) \), donc \( E(X) – a = 0 \). On obtient ainsi :
\[ E\big(f(X)\big) \geq f(a) = f\big(E(X)\big). \]
Ce qui achève la démonstration. On notera la simplicité et l’élégance de cette preuve, qui ne fait appel qu’à la propriété de tangente des fonctions convexes, à la croissance et à la linéarité de l’espérance, trois résultats fondamentaux d’analyse du programme ECG.
Applications classiques
L’inégalité de Jensen trouve de nombreuses applications dans les exercices de concours. En voici deux particulièrement fréquentes.
Lien entre espérance et écart-type
La fonction \( f : x \mapsto x^2 \) est convexe sur \( \mathbb{R} \) (puisque \( f”(x) = 2 > 0 \)). En appliquant l’inégalité de Jensen à une variable aléatoire \( X \) admettant un moment d’ordre 2, on obtient :
\[ \big(E(X)\big)^2 \leq E(X^2). \]
Ce résultat est bien connu : il traduit la positivité de la variance. En effet, \( V(X) = E(X^2) – \big(E(X)\big)^2 \geq 0 \). L’inégalité de Jensen en fournit donc une démonstration immédiate et naturelle.
Inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique
La fonction \( f : x \mapsto -\ln(x) \) est convexe sur \( ]0, +\infty[ \) (puisque \( f”(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)). Soit \( X \) une variable aléatoire à valeurs strictement positives. L’inégalité de Jensen appliquée à \( f \) donne :
\[ -\ln\big(E(X)\big) \leq E\big(-\ln(X)\big) = -E\big(\ln(X)\big). \]
En multipliant par \( -1 \), on obtient :
\[ \ln\big(E(X)\big) \geq E\big(\ln(X)\big). \]
Par croissance de l’exponentielle, on en déduit :
\[ E(X) \geq e^{E(\ln(X))}. \]
Ce résultat est une forme probabiliste de l’inégalité classique entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Dans le cas particulier d’une variable aléatoire uniforme sur un ensemble fini \( {x_1, \ldots, x_n} \) de réels strictement positifs, on retrouve l’inégalité bien connue :
\[ \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}. \]
Application de la concavité
De façon symétrique, la fonction \( f : x \mapsto \ln(x) \) est concave sur \( ]0, +\infty[ \) (puisque \( f”(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)). L’inégalité de Jensen dans le cas concave donne directement, pour toute variable aléatoire \( X \) strictement positive admettant une espérance :
\[ \ln\big(E(X)\big) \geq E\big(\ln(X)\big). \]
On retrouve le même résultat, cette fois sans passer par \( -\ln \). Ce type de raisonnement est fréquent dans les problèmes de concours portant sur des variables aléatoires positives.
Conclusion
L’inégalité de Jensen est une inégalité classique du programme ECG, à la croisée de l’analyse (convexité) et des probabilités (espérance). Sa démonstration, courte et élégante, repose sur la propriété fondamentale de tangente des fonctions convexes et sur la linéarité de l’espérance.
Pour les concours, il est essentiel de retenir plusieurs points. Premièrement, l’inégalité de Jensen est hors-programme. Mais on peut te demander de la redémontrer. Ne t’inquiète pas, les questions sont souvent guidées. On te demandera d’abord de rappeler la propriété fondamentale de la tangente. Deuxièmement, tu n’es pas autorisé(e) à utiliser cette inégalité dans un sujet, si elle ne t’a pas été introduite. Elle reste hors-programme.
Il convient de préciser que l’inégalité de Jensen n’est pas un résultat unique, mais désigne en réalité une famille d’inégalités partageant la même idée fondamentale : le lien entre convexité et moyennes.
