Les fonctions convexes occupent une place centrale du programme ECG, utilisées aussi bien en analyse qu’en optimisation. Cependant, certains sujets de concours (à l’oral) font aussi intervenir des fonctions qui ne sont pas convexes au sens classique, mais dont les ensembles de sous-niveau sont convexes. Ces fonctions sont dites quasi convexes. Cette notion, plus souple que la convexité, permet de traiter des problèmes d’optimisation dans des cadres plus généraux. Cet article définit les fonctions quasi convexes, établit le lien avec la convexité classique, présente des critères de reconnaissance et détaille des exemples concrets.
Rappel : fonctions convexes
Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). On rappelle que \( f \) est convexe sur \( I \) si, pour tous \( x, y \in I \) et pour tout \( \lambda \in [0,1] \) :
\[ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y). \]
Géométriquement, la courbe de \( f \) se situe en dessous de toute corde reliant deux points du graphe. Si \( f \) est deux fois dérivable, cette condition équivaut à \( f” \geq 0 \) sur \( I \).
N’hésite pas à lire cet article sur les inégalités de convexité pour bien travailler cette notion.
Ensembles de sous-niveau
Avant de définir la quasi-convexité, introduisons une notion intermédiaire essentielle. Soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction et \( \alpha \in \mathbb{R} \). L’ensemble de sous-niveau de \( f \) associé à \( \alpha \) est l’ensemble :
\[ S_\alpha(f) = { x \in I : f(x) \leq \alpha }. \]
C’est l’ensemble des points où la fonction prend des valeurs inférieures ou égales à \( \alpha \). Un ensemble de sous-niveau peut être vide, égal à un intervalle, ou égal à \( I \) tout entier, selon la valeur de \( \alpha \).
On dit qu’une partie \( C \) de \( \mathbb{R} \) est convexe si, pour tous \( x, y \in C \) et tout \( \lambda \in [0,1] \), on a \( \lambda x + (1-\lambda)y \in C \). Dans \( \mathbb{R} \), les parties convexes sont exactement les intervalles.
Définition de la quasi-convexité
Soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est quasi convexe sur \( I \) si, pour tous \( x, y \in I \) et pour tout \( \lambda \in [0,1] \) :
\[ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \max(f(x), f(y)). \]
De manière équivalente, \( f \) est quasi convexe si et seulement si tous ses ensembles de sous-niveau \( S_\alpha(f) \) sont convexes (c’est-à-dire sont des intervalles dans le cas d’une variable).
Démontrons cette équivalence. Supposons d’abord que \( f \) vérifie l’inégalité ci-dessus. Soit \( \alpha \in \mathbb{R} \) et soient \( x, y \in S_\alpha(f) \), c’est-à-dire \( f(x) \leq \alpha \) et \( f(y) \leq \alpha \). Pour tout \( \lambda \in [0,1] \), on a \( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y)) \leq \alpha \), donc \( \lambda x + (1-\lambda)y \in S_\alpha(f) \). L’ensemble \( S_\alpha(f) \) est bien convexe.
Réciproquement, supposons que tous les ensembles de sous-niveau sont convexes. Soient \( x, y \in I \) et posons \( \alpha = \max(f(x), f(y)) \). Alors \( x \in S_\alpha(f) \) et \( y \in S_\alpha(f) \). Par convexité de \( S_\alpha(f) \), pour tout \( \lambda \in [0,1] \), on a \( \lambda x + (1-\lambda)y \in S_\alpha(f) \), soit \( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \alpha = \max(f(x), f(y)) \).
Lien avec la convexité classique
Toute fonction convexe est quasi convexe. En effet, si \( f \) est convexe, alors pour tous \( x, y \in I \) et tout \( \lambda \in [0,1] \) :
\[ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \leq \max(f(x), f(y)). \]
La dernière inégalité provient du fait que \( \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y) \) est une moyenne pondérée de \( f(x) \) et \( f(y) \), donc elle est comprise entre le minimum et le maximum de ces deux valeurs.
La réciproque est fausse : il existe des fonctions quasi convexes qui ne sont pas convexes, comme nous allons le voir.
Exemples
Exemple 1 : la fonction racine carrée
La fonction \( f : x \mapsto \sqrt{x} \) est définie sur \( [0, +\infty[ \). Elle est concave (car \( f”(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0 \) pour \( x > 0 \)), donc elle n’est pas convexe. Cependant, elle est croissante, et toute fonction monotone est quasi convexe. En effet, si \( f \) est croissante et \( x \leq y \), alors pour tout \( z \in [x, y] \), on a \( f(z) \leq f(y) = \max(f(x), f(y)) \).
Exemple 2 : une fonction unimodale
Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = -e^{-x^2} \). Cette fonction atteint son minimum en \( x = 0 \) et est croissante sur \( [0, +\infty[ \) et décroissante sur \( ]-\infty, 0] \). On vérifie que \( f \) est quasi convexe : pour tout \( \alpha \), l’ensemble \( S_\alpha(f) \) est un intervalle (éventuellement vide ou égal à \( \mathbb{R} \)). Pourtant, \( f \) n’est ni convexe ni concave sur \( \mathbb{R} \).
Exemple 3 : les fonctions monotones
Toute fonction monotone sur un intervalle est quasi convexe. En effet, si \( f \) est croissante, alors \( S_\alpha(f) = { x \in I : f(x) \leq \alpha } \) est un intervalle de la forme \( I \cap ]-\infty, a] \) pour un certain \( a \), ou bien \( I \) tout entier, ou bien l’ensemble vide. Dans tous les cas, c’est un intervalle, donc un ensemble convexe.
Critère de quasi-convexité pour les fonctions dérivables
Soit \( f : I \to \mathbb{R} \) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \( I \). On dispose du critère suivant : \( f \) est quasi convexe sur \( I \) si et seulement si, pour tous \( x, y \in I \) :
\[ f(y) \leq f(x) \Rightarrow f'(x)(y – x) \leq 0. \]
Ce critère signifie que si l’on se trouve en un point \( x \) et que la valeur \( f(y) \) est inférieure à \( f(x) \), alors la dérivée en \( x \) « pointe » vers \( y \) (ou est nulle). En d’autres termes, la fonction ne peut pas croître en s’éloignant d’un point où elle prend une valeur plus faible.
La démonstration de ce critère repose sur l’inégalité des accroissements finis et sur la caractérisation par les ensembles de sous-niveau. Elle est accessible dans le cadre du programme ECG mais nécessite un raisonnement par contraposée que les sujets de concours guident généralement.
Quasi-convexité en plusieurs variables
La notion s’étend naturellement aux fonctions de plusieurs variables. Soit \( f : \Omega \to \mathbb{R} \) une fonction définie sur une partie convexe \( \Omega \) de \( \mathbb{R}^n \). On dit que \( f \) est quasi convexe sur \( \Omega \) si, pour tous \( x, y \in \Omega \) et tout \( \lambda \in [0,1] \) :
\[ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y)). \]
De manière équivalente, tous les ensembles de sous-niveau \( S_\alpha(f) = { x \in \Omega : f(x) \leq \alpha } \) sont convexes. Cette propriété est intéressante en optimisation. On peut montrer que si \( x^* \) est un minimum local strict de \( f \) sur \( \Omega \), c’est-à-dire s’il existe un voisinage de \( x^* \) sur lequel \( f(x^*) < f(x) \) pour tout \( x \neq x^* \), alors \( x^* \) est en réalité un minimum global de \( f \) sur \( \Omega \).
En effet, si un point \( x’ \) vérifiait \( f(x’) < f(x^*) \), la quasi-convexité donnerait, pour tout \( t \in [0,1] \), \( f(x^* + t(x’ – x^*)) \leq \max(f(x^*), f(x’)) = f(x^*) \), ce qui contredit le caractère strict du minimum local dès que \( t \) est assez proche de \( 0 \). Il faut néanmoins rester prudent : un minimum local non strict d’une fonction quasi convexe n’est pas nécessairement global. Une fonction constante sur un intervalle puis strictement décroissante au-delà reste quasi convexe, alors que tout point du palier constant y est un minimum local sans être un minimum global.
Conclusion
La quasi-convexité est une généralisation naturelle de la convexité qui repose sur la convexité des ensembles de sous-niveau. Toute fonction convexe est quasi convexe, mais la réciproque est fausse : les fonctions monotones et les fonctions unimodales fournissent des contre-exemples simples.
Pour les concours, le réflexe à retenir est le suivant : si un énoncé introduit une condition de la forme \( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y)) \), il s’agit de quasi-convexité. La propriété clé à mobiliser est alors que tout minimum local strict est un minimum global ; une conclusion qui devient fausse si l’on retire le caractère strict du minimum. Cette notion apparaît typiquement dans les problèmes d’optimisation guidés, où l’énoncé demande de montrer la convexité des ensembles de sous-niveau.
