Les polynômes de Jacobi constituent une famille de polynômes orthogonaux sur \( [-1,1] \). Cet article définit les polynômes de Jacobi, établit leurs propriétés fondamentales dans le cadre du programme ECG et illustre leur construction sur un exemple concret.
Produit scalaire à poids et orthogonalité
Produit scalaire à poids sur un espace de polynômes
Soit \( \alpha > -1 \) et \( \beta > -1 \) deux réels. On définit sur l’espace \( \mathbb{R}[X] \) des polynômes à coefficients réels le produit scalaire à poids :
\[ \langle P, Q \rangle_{\alpha,\beta} = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t) (1-t)^\alpha (1+t)^\beta \, dt \]
La fonction \( w : t \mapsto (1-t)^\alpha (1+t)^\beta \) est appelée la fonction poids. Les conditions \( \alpha > -1 \) et \( \beta > -1 \) garantissent que cette intégrale converge pour tout couple de polynômes \( (P, Q) \). En effet, au voisinage de \( 1 \), le terme \( (1-t)^\alpha \) est intégrable si et seulement si \( \alpha > -1 \), et de même pour \( (1+t)^\beta \) au voisinage de \( -1 \).
On vérifie que \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{\alpha,\beta} \) est bien un produit scalaire : la bilinéarité et la symétrie sont immédiates, et la définie-positivité découle du fait que \( w > 0 \) sur \( ]-1,1[ \) et que tout polynôme non nul ne peut s’annuler qu’en un nombre fini de points.
Existence d’une base orthogonale
L’espace \( \mathbb{R}_n[X] \) des polynômes de degré inférieur ou égal à \( n \) est un espace vectoriel de dimension \( n+1 \). Muni du produit scalaire \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{\alpha,\beta} \), c’est un espace euclidien.
Le procédé de Gram-Schmidt appliqué à la base canonique \( (1, X, X^2, \ldots, X^n) \) fournit une famille orthogonale \( (P_0^{(\alpha,\beta)}, P_1^{(\alpha,\beta)}, \ldots, P_n^{(\alpha,\beta)}) \) où chaque \( P_k^{(\alpha,\beta)} \) est un polynôme de degré exactement \( k \). Ce sont les polynômes de Jacobi d’ordre \( k \) associés aux paramètres \( (\alpha, \beta) \).
Par convention, on normalise ces polynômes en imposant :
\[ P_k^{(\alpha,\beta)}(1) = {k + \alpha \choose k} \]
Ce choix de normalisation est standard et sera indiqué dans un sujet. Ainsi, d’après la définition du polynôme de Jacobi, on a que les polynômes de Jacobi forment une base orthogonale de \( \mathbb{R}_n[X] \) pour le produit scalaire \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{\alpha,\beta} \), et que chaque \( P_k^{(\alpha,\beta)} \) est de degré \( k \).
Propriétés fondamentales
Orthogonalité et relation de récurrence
La propriété essentielle des polynômes de Jacobi est leur orthogonalité : pour \( k \neq l \),
\[ \langle P_k^{(\alpha,\beta)}, P_l^{(\alpha,\beta)} \rangle_{\alpha,\beta} = 0 \]
Cette propriété découle directement de la construction par Gram-Schmidt. Elle signifie que tout polynôme \( Q \) de degré \( n \) se décompose de manière unique sur la base \( (P_0^{(\alpha,\beta)}, \ldots, P_n^{(\alpha,\beta)}) \), avec des coefficients calculables par projection orthogonale :
\[ Q = \sum_{k=0}^{n} \frac{\langle Q, P_k^{(\alpha,\beta)} \rangle_{\alpha,\beta}}{\langle P_k^{(\alpha,\beta)}, P_k^{(\alpha,\beta)} \rangle_{\alpha,\beta}} P_k^{(\alpha,\beta)} \]
Par ailleurs, les polynômes de Jacobi vérifient une relation de récurrence à trois termes : il existe des suites de réels \( (a_k) \), \( (b_k) \), \( (c_k) \) telles que pour tout \( k \geq 1 \) :
\[ P_{k+1}^{(\alpha,\beta)}(t) = (a_k t + b_k) P_k^{(\alpha,\beta)}(t) – c_k P_{k-1}^{(\alpha,\beta)}(t) \]
Cette relation est caractéristique de toute famille de polynômes orthogonaux et permet de calculer tous les polynômes de Jacobi à partir de \( P_0^{(\alpha,\beta)} \) et \( P_1^{(\alpha,\beta)} \).
Sa démonstration repose sur le fait que \( t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)} \) est un polynôme de degré \( k+1 \), donc sa projection sur \( \mathbb{R}_{k-2}[X] \) est nulle (car \( t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)} \) est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur ou égal à \( k-2 \) par orthogonalité de \( P_k^{(\alpha,\beta)} \)).
Démonstration de la nullité de la projection sur \( \mathbb{R}_{k-2}[X] \). Soit \( Q \) un polynôme de degré au plus \( k-2 \). Alors \( tQ \) est de degré au plus \( k-1 \), donc :
\[ \langle t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)}, Q \rangle_{\alpha,\beta} = \int_{-1}^{1} t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)}(t) Q(t) w(t) \, dt = \langle P_k^{(\alpha,\beta)}, tQ \rangle_{\alpha,\beta} = 0 \]
car \( \deg(tQ) \leq k-1 < k \) et \( P_k^{(\alpha,\beta)} \) est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à \( k \). Ainsi \( t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)} \) n’a de composantes potentiellement non nulles que sur \( P_{k-1}^{(\alpha,\beta)} \), \( P_k^{(\alpha,\beta)} \) et \( P_{k+1}^{(\alpha,\beta)} \) (à construire).
La composante sur \( P_k^{(\alpha,\beta)} \), c’est-à-dire \( \langle t \cdot P_k^{(\alpha,\beta)}, P_k^{(\alpha,\beta)} \rangle_{\alpha,\beta} \), n’est en général pas nulle : elle ne s’annule que dans le cas symétrique \( \alpha = \beta \), par un argument de parité du poids.
C’est précisément cette composante qui donne le terme \( b_k \) dans la relation à trois termes, tandis que les composantes sur \( P_{k-1}^{(\alpha,\beta)} \) et \( P_{k+1}^{(\alpha,\beta)} \) donnent respectivement les termes \( c_k \) et \( a_k \).
Les cas particuliers classiques
Plusieurs familles bien connues sont des cas particuliers des polynômes de Jacobi.
Pour \( \alpha = \beta = 0 \), le poids est \( w \equiv 1 \) sur \( [-1,1] \) et les polynômes de Jacobi coïncident (à normalisation près) avec les polynômes de Legendre \( L_k \), qui sont les polynômes orthogonaux pour le produit scalaire usuel \( \langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_{-1}^{1} P(t) Q(t) \, dt \). Ce cas est très classique en prépa ECG.
Pour \( \alpha = \beta = -\displaystyle\frac{1}{2} \), on obtient les polynômes de Tchebychev de première espèce \( T_k \), définis par \( T_k(\cos\theta) = \cos(k\theta) \). Ils sont orthogonaux pour le poids \( w(t) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \).
Pour \( \alpha = \beta = \displaystyle\frac{1}{2} \), on obtient les polynômes de Tchebychev de seconde espèce \( U_k \), orthogonaux pour \( w(t) = \sqrt{1-t^2} \).
Construction explicite par Gram-Schmidt
Cas \( \alpha = 1 \), \( \beta = 0 \)
On illustre la construction sur \( [-1,1] \) avec le poids \( w(t) = 1-t \), c’est-à-dire \( \alpha = 1 \) et \( \beta = 0 \). On cherche les deux premiers polynômes de Jacobi \( P_0 \) et \( P_1 \).
On pose \( e_0 = 1 \). On calcule :
\[ \langle 1, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} (1-t) \, dt = \left[ t – \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(1 – \frac{1}{2}\right) – \left(-1 – \frac{1}{2}\right) = 2 \]
Donc : \( P_0(t) = 1 \) (on ne normalise pas ici pour simplifier les calculs).
On applique Gram-Schmidt à \( e_1 = t \) :
\[ \langle t, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} t(1-t) \, dt = \int_{-1}^{1} (t – t^2) \, dt = \left[\frac{t^2}{2} – \frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) – \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} \]
Le projeté de \( t \) sur \( P_0 = 1 \) vaut \( \displaystyle\frac{\langle t, 1 \rangle}{\langle 1, 1 \rangle} \times 1 = \frac{-2/3}{2} = -\frac{1}{3} \). Donc :
\[ P_1(t) = t – \left(-\frac{1}{3}\right) = t + \frac{1}{3} \]
On vérifie l’orthogonalité :
\[ \langle P_1, P_0 \rangle = \int_{-1}^{1} \left(t + \frac{1}{3}\right)(1-t) \, dt = \int_{-1}^{1} \left(t – t^2 + \frac{1}{3} – \frac{t}{3}\right) dt = \int_{-1}^{1} \left(\frac{2t}{3} – t^2 + \frac{1}{3}\right) dt \]
Les fonctions impaires s’annulent sur \( [-1,1] \), donc :
\[ \langle P_1, P_0 \rangle = \left[-\frac{t^3}{3} + \frac{t}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) – \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{3}\right) = 0 \]
Travailler les polynômes de Jacobi
Si tu veux travailler les polynômes de Jacobi, voilà un sujet de concours où tu peux les retrouver :
Conclusion
Les polynômes de Jacobi fournissent une base orthogonale pour tout produit scalaire à poids de la forme \( \displaystyle\int_{-1}^{1} P(t) Q(t) (1-t)^\alpha (1+t)^\beta \, dt \) et unifient en un seul cadre les familles de polynômes orthogonaux classiques du programme. Leur définition est complexe, mais est souvent simplifiée dans un sujet, que ce soit à l’écrit ou à l’oral.
