Les fonctions lipschitziennes sont un outil d’analyse puissant qui permet de contrôler la régularité d’une fonction. Bien que hors programme ECG, elles apparaissent parfois dans des sujets de concours comme résultat admis ou comme définition donnée dans l’énoncé, notamment pour étudier des suites récurrentes ou des algorithmes d’approximation. Dans cet article, nous allons définir la notion de fonction lipschitzienne, étudier ses propriétés principales et voir comment elle s’articule avec des notions bien au programme.
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est lipschitzienne sur \(I\) s’il existe une constante réelle \(k \geq 0\) telle que, pour tout \(x, y \in I\) :
\[\vert f(x) – f(y) \vert \leq k \vert x – y \vert\]
La constante \(k\) est appelée constante de Lipschitz de \(f\). On dit alors que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne.
Intuitivement, cette condition signifie que \(f\) ne peut pas varier trop vite : l’écart entre deux images est toujours contrôlé par l’écart entre les antécédents, multiplié par \(k\). Géométriquement, cela revient à dire que la pente de toute corde du graphe de \(f\) est bornée en valeur absolue par \(k\). C’est donc une condition bien plus forte que la simple continuité, comme nous allons le voir.
Propriétés
Lien avec la continuité
Toute fonction lipschitzienne sur \(I\) est uniformément continue sur \(I\), et en particulier continue sur \(I\).
La démonstration est immédiate : pour tout \(\epsilon > 0\), il suffit de poser \(\delta = \epsilon / k\). Si \(\vert x – y \vert < \delta\), alors \(\vert f(x) – f(y) \vert \leq k \vert x – y \vert < k \cdot \frac{\epsilon}{k} = \epsilon\). La condition de Lipschitz fournit donc directement un \(\delta\) qui ne dépend pas du point considéré, ce qui est précisément la définition de la continuité uniforme vue en cours de première année en prépa ECG.
Attention, cependant ! La réciproque est fausse : la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) est continue sur \([0, 1]\) mais n’est pas lipschitzienne sur cet intervalle. En effet, pour \(x\) proche de \(0\), la pente de la tangente tend vers \(+\infty\), ce qui viole la condition de Lipschitz.
Lien avec la dérivabilité
Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si sa dérivée est bornée sur \(I\), alors \(f\) est lipschitzienne sur \(I\). Plus précisément, si \(\vert f'(x) \vert \leq k\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est \(k\)-lipschitzienne. Ce résultat découle directement de l’inégalité des accroissements finis, bien au programme ECG :
\[\vert f(x) – f(y) \vert \leq \sup_{t \in I} \vert f'(t) \vert \cdot \vert x – y \vert\]
C’est en pratique le critère le plus utilisé en concours pour établir qu’une fonction est lipschitzienne : on calcule \(f’\), on majore \(\vert f’ \vert\) sur \(I\), et on conclut directement.
La réciproque est fausse : une fonction lipschitzienne n’est pas nécessairement dérivable. Tu pourras vérifier par toi-même que la fonction \(f(x) = \vert x \vert\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas dérivable en \(0\).
Stabilité par composition
Si \(f\) est \(k_1\)-lipschitzienne et \(g\) est \(k_2\)-lipschitzienne, alors \(g \circ f\) est \(k_1 k_2\)-lipschitzienne. La vérification est directe en utilisant à deux reprises la caractérisation des fonctions lipschitziennes vues en première partie (pour majorer deux fois l’inégalité) :
\[\vert g(f(x)) – g(f(y)) \vert \leq k_2 \vert f(x) – f(y) \vert \leq k_2 k_1 \vert x – y \vert\]
Cette propriété est utile dès lors que l’on compose plusieurs fonctions dont on connaît les constantes de Lipschitz respectives : la constante de la composée se lit immédiatement comme le produit des constantes individuelles.
Application : suites récurrentes et point fixe
Notion de contraction
C’est ici que la notion devient particulièrement utile en concours. Considérons une suite récurrente \(x_{n+1} = f(x_n)\), où \(f\) est une fonction lipschitzienne de constante \(k < 1\). On dit alors que \(f\) est une contraction.
Dans ce cas, si \(f\) admet un point fixe \(\ell\) (c’est-à-dire \(f(\ell) = \ell\)), alors la suite converge vers \(\ell\) pour tout choix de \(x_0\). En effet :
\[\vert x_{n+1} – \ell \vert = \vert f(x_n) – f(\ell) \vert \leq k \vert x_n – \ell \vert\]
Par récurrence (qui est une récurrence qui tombe relativement souvent aux concours et qu’il convient de bien maîtriser, puisqu’elle est très accessible), on obtient \(\vert x_n – \ell \vert \leq k^n \vert x_0 – \ell \vert\). Comme \(k < 1\) (par hypothèse), le terme \(k^n\) tend vers \(0\), donc la suite converge vers \(\ell\).
Ce raisonnement est une version élémentaire du théorème du point fixe de Banach, qui garantit de plus l’unicité du point fixe et la convergence pour tout point de départ, sans qu’il soit nécessaire de connaître \(\ell\) à l’avance. Nous ne développerons toutefois pas ce sujet, trop annexe au thème que nous explorons.
Exemple d’application
Énoncé
Soit la suite définie par \(x_0 = 1\) et \(x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n + 1}\) pour tout \(n \geq 0\).
On pose \(f(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x+1}\) sur \(I = [0, +\infty[\). Calculer la limite de la suite \((x_n)\).
Solution
On calcule :
\[f'(x) = \frac{1}{2} – \frac{1}{(x+1)^2}\]
Sur \(I\), on a \((x+1)^2 \geq 1\), donc \(\frac{1}{(x+1)^2} \leq 1\), ce qui donne \(f'(x) \leq \frac{1}{2}\). De plus, \(f'(x) \geq \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{2}\), donc \(\vert f'(x) \vert \leq \frac{1}{2}\) sur \(I\). Par l’inégalité des accroissements finis, \(f\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \(I\) : c’est bien une contraction.
Le point fixe vérifie \(\ell = \frac{\ell}{2} + \frac{1}{\ell + 1}\), soit \(\frac{\ell}{2} = \frac{1}{\ell+1}\), soit \(\ell(\ell+1) = 2\), ce qui donne \(\ell^2 + \ell – 2 = 0\), dont la racine positive est \(\ell = 1\) (à l’évidence, la suite étant strictement positive, il convient d’exclure la racine négative de ce polynôme qui ne peut constituer valablement la limite de la suite).
La suite converge donc vers \(1\), et l’erreur est divisée par au moins \(2\) à chaque itération, ce qui illustre concrètement la vitesse de convergence garantie par la constante de Lipschitz.
Conclusion
Les fonctions lipschitziennes fournissent un cadre rigoureux pour contrôler le comportement des fonctions et des suites récurrentes. Bien que hors programme, elles s’appuient sur des outils entièrement au programme (inégalité des accroissements finis, suites monotones bornées, point fixe) et peuvent apparaître dans un énoncé sans prévenir. Savoir reconnaître une contraction et manipuler la constante de Lipschitz peut faire la différence sur une copie.
Il n’y a plus qu’à croiser les doigts pour qu’un tel thème tombe aux concours !
Tu peux retrouver ici le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder ici à toutes nos autres ressources mathématiques !
