La factorisation de Cholesky est une méthode importante d’algèbre linéaire permettant de décomposer certaines matrices symétriques en un produit particulièrement simple. Elle s’applique aux matrices symétriques définies positives et permet notamment de résoudre efficacement des systèmes linéaires. Cette factorisation est proche, dans son esprit, de la décomposition \(LU\), mais elle exploite davantage les propriétés de symétrie de la matrice. Elle nécessite ainsi moins de calculs et permet d’obtenir une écriture faisant intervenir une matrice triangulaire et sa transposée. Bien que la factorisation de Cholesky soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un sujet guidé portant sur les matrices symétriques, les produits scalaires ou la résolution de systèmes.
Définition de la factorisation de Cholesky
Soit \(A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\) une matrice symétrique définie positive.
Cela signifie tout d’abord que :
\[
A^T=A
\]
et que, pour tout vecteur colonne non nul \(X\in\mathbb R^n\) :
\[
X^TAX>0
\]
La factorisation de Cholesky consiste à écrire \(A\) sous la forme :
\[
A=LL^T
\]
où \(L\) est une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs.
La matrice \(L\) est donc de la forme :
\[
L=
\begin{pmatrix}
\ell_{1,1}&0&\cdots&0\\
\ell_{2,1}&\ell_{2,2}&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&0\\
\ell_{n,1}&\ell_{n,2}&\cdots&\ell_{n,n}
\end{pmatrix}
\]
avec :
\[
\ell_{i,i}>0
\]
On peut également rencontrer la forme :
\[
A=R^TR
\]
où \(R\) est une matrice triangulaire supérieure. Il suffit alors de poser :
\[
R=L^T
\]
Conditions d’existence
Toutes les matrices ne possèdent pas une factorisation de Cholesky.
Cette factorisation existe lorsque la matrice \(A\) est :
- réelle ;
- symétrique ;
- définie positive.
La symétrie est nécessaire, car une matrice de la forme \(LL^T\) vérifie automatiquement :
\[
(LL^T)^T=LL^T
\]
Elle est donc symétrique.
La positivité s’explique également facilement. Pour tout vecteur colonne \(X\), on a :
\[
X^TAX
=
X^TLL^TX
\]
Or :
\[
X^TLL^TX
=
(L^TX)^T(L^TX)
=
\|L^TX\|^2
\]
Si \(L\) est inversible et si \(X\neq0\), alors \(L^TX\neq0\). On obtient donc :
\[
X^TAX>0
\]
La matrice \(A\) est ainsi définie positive.
Existence et unicité
Toute matrice réelle symétrique définie positive possède une factorisation de Cholesky.
De plus, si l’on impose que les coefficients diagonaux de \(L\) soient strictement positifs, alors cette factorisation est unique.
Ainsi, pour une matrice symétrique définie positive \(A\), il existe une unique matrice triangulaire inférieure \(L\), à diagonale strictement positive, telle que :
\[
A=LL^T
\]
La condition de positivité des coefficients diagonaux est importante. Sans elle, on pourrait modifier simultanément les signes de certains coefficients de \(L\) tout en conservant le même produit \(LL^T\).
Calcul des coefficients de Cholesky
Soit :
\[
A=(a_{i,j})
\]
et cherchons une matrice triangulaire inférieure :
\[
L=(\ell_{i,j})
\]
telle que :
\[
A=LL^T
\]
Le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) de \(LL^T\) est donné par :
\[
a_{i,j}
=
\sum_{k=1}^{\min(i,j)}
\ell_{i,k}\ell_{j,k}
\]
Les coefficients de \(L\) sont calculés progressivement, ligne par ligne.
Pour les coefficients diagonaux, on obtient :
\[
\ell_{i,i}
=
\sqrt{
a_{i,i}
–
\sum_{k=1}^{i-1}\ell_{i,k}^2
}
\]
Pour les coefficients situés sous la diagonale, avec \(i>j\), on a :
\[
\ell_{i,j}
=
\displaystyle
\frac{
a_{i,j}
–
\sum_{k=1}^{j-1}\ell_{i,k}\ell_{j,k}
}{
\ell_{j,j}
}
\]
Ces formules sont appliquées successivement, en commençant par la première colonne.
Exemple avec une matrice \(2\times2\)
Considérons la matrice :
\[
A=
\begin{pmatrix}
4&2\\
2&5
\end{pmatrix}
\]
Cette matrice est symétrique. Cherchons une matrice triangulaire inférieure de la forme :
\[
L=
\begin{pmatrix}
a&0\\
b&c
\end{pmatrix}
\]
avec \(a>0\) et \(c>0\).
On calcule :
\[
LL^T
=
\begin{pmatrix}
a&0\\
b&c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a^2&ab\\
ab&b^2+c^2
\end{pmatrix}
\]
On identifie alors les coefficients avec ceux de \(A\).
La première égalité donne :
\[
a^2=4
\]
Comme \(a>0\), on obtient :
\[
a=2
\]
Ensuite :
\[
ab=2
\]
Donc :
\[
b=\displaystyle \frac{2}{a}=1
\]
Enfin :
\[
b^2+c^2=5
\]
Ainsi :
\[
1+c^2=5
\]
d’où :
\[
c=2
\]
puisque \(c>0\).
La matrice de Cholesky est donc :
\[
L=
\begin{pmatrix}
2&0\\
1&2
\end{pmatrix}
\]
et l’on vérifie que :
\[
A=
\begin{pmatrix}
2&0\\
1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\
0&2
\end{pmatrix}
\]
Exemple avec une matrice \(3\times3\)
Considérons :
\[
A=
\begin{pmatrix}
4&2&2\\
2&5&1\\
2&1&6
\end{pmatrix}
\]
On cherche :
\[
L=
\begin{pmatrix}
\ell_{1,1}&0&0\\
\ell_{2,1}&\ell_{2,2}&0\\
\ell_{3,1}&\ell_{3,2}&\ell_{3,3}
\end{pmatrix}
\]
On commence par :
\[
\ell_{1,1}=\sqrt{4}=2
\]
Puis :
\[
\ell_{2,1}
=
\displaystyle \frac{2}{2}
=
1
\]
et :
\[
\ell_{3,1}
=
\displaystyle \frac{2}{2}
=
1
\]
Ensuite :
\[
\ell_{2,2}
=
\sqrt{5-1^2}
=
2
\]
Puis :
\[
\ell_{3,2}
=
\displaystyle
\frac{1-\ell_{3,1}\ell_{2,1}}{\ell_{2,2}}
=
\displaystyle \frac{1-1}{2}
=
0
\]
Enfin :
\[
\ell_{3,3}
=
\sqrt{6-1^2-0^2}
=
\sqrt{5}
\]
On obtient donc :
\[
L=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
1&2&0\\
1&0&\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\]
Ainsi :
\[
A=LL^T
\]
Résolution d’un système linéaire
La factorisation de Cholesky permet de résoudre un système :
\[
AX=B
\]
lorsque \(A\) est symétrique définie positive.
Si :
\[
A=LL^T
\]
alors le système devient :
\[
LL^TX=B
\]
On commence par résoudre le système triangulaire inférieur :
\[
LY=B
\]
Ce système se résout par descente.
On résout ensuite :
\[
L^TX=Y
\]
Comme \(L^T\) est triangulaire supérieure, ce deuxième système se résout par remontée.
La résolution est donc divisée en deux systèmes triangulaires, plus simples à traiter que le système initial.
Lien avec les produits scalaires
Une matrice symétrique définie positive permet de définir un produit scalaire sur \(\mathbb R^n\) par :
\[
\langle X,Y\rangle_A=X^TAY
\]
Si \(A=LL^T\), alors :
\[
\langle X,Y\rangle_A
=
X^TLL^TY
\]
On obtient :
\[
\langle X,Y\rangle_A
=
\langle L^TX,L^TY\rangle
\]
où le produit scalaire du membre de droite est le produit scalaire usuel.
La factorisation de Cholesky permet donc de transformer un produit scalaire défini par une matrice en un produit scalaire euclidien classique après un changement de variables.
Comment reconnaître une question sur Cholesky ?
Dans un exercice, plusieurs éléments peuvent annoncer l’utilisation de cette factorisation :
- La matrice étudiée est symétrique définie positive.
- On cherche une écriture \(A=LL^T\).
- On introduit une matrice triangulaire à diagonale positive.
- On souhaite résoudre efficacement un système linéaire.
- On étudie un produit scalaire de la forme \(X^TAY\).
Il faut alors calculer progressivement les coefficients de \(L\), en commençant par la première colonne et en utilisant la positivité des coefficients diagonaux.
Conclusion
La factorisation de Cholesky permet d’écrire une matrice symétrique définie positive sous la forme :
\[
A=LL^T
\]
où \(L\) est triangulaire inférieure et possède des coefficients diagonaux strictement positifs.
Cette décomposition est unique et permet de simplifier la résolution de systèmes linéaires en remplaçant un système général par deux systèmes triangulaires successifs. Elle intervient également dans l’étude des produits scalaires et des formes quadratiques. Dans un exercice, dès qu’une matrice symétrique définie positive apparaît, il peut être utile de chercher une factorisation de Cholesky afin d’exploiter sa structure particulière.
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