La fonction zêta est une notion généralement hors programme en prépa ECG, mais elle peut apparaître dans un sujet guidé portant sur les séries, les comparaisons, les intégrales ou les suites de sommes partielles.
Introduction
La fonction zêta est une fonction fondamentale en analyse et en théorie des nombres. Elle permet d’étudier des séries de la forme :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
où \(n\) est un entier naturel. Ces séries apparaissent naturellement lorsqu’on étudie les séries de Riemann, les probabilités discrètes, les produits eulériens ou encore certains problèmes d’arithmétique.
Lorsque l’on fixe un entier \(n\), on parle parfois de valeur de la fonction zêta à l’ordre \(n\). On note alors :
\[
\zeta(n)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
Définition de la fonction zêta d’ordre n
Pour un réel \(s>1\), la fonction zêta de Riemann est définie par :
\[
\zeta(s)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^s}
\]
Lorsque \(s=n\), avec \(n\) entier strictement supérieur à \(1\), on obtient :
\[
\zeta(n)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
Ainsi :
\[
\zeta(2)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^2}
\]
et :
\[
\zeta(3)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^3}
\]
La valeur \(\zeta(n)\) est donc la somme d’une série de Riemann d’exposant \(n\).
Condition de convergence
La série :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
est une série de Riemann.
On sait que :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^\alpha}
\]
converge si et seulement si :
\[
\alpha>1
\]
Par conséquent, la série définissant \(\zeta(n)\) converge lorsque :
\[
n>1
\]
Si :
\[
n=1
\]
on obtient la série harmonique :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k}
\]
qui diverge.
Ainsi :
\[
\zeta(1)
\]
n’est pas définie comme une somme finie, car la série correspondante diverge vers \(+\infty\).
Pourquoi la série converge-t-elle pour n > 1 ?
La convergence peut être démontrée à l’aide d’une comparaison avec une intégrale.
Pour \(n>1\), la fonction :
\[
x\mapsto \displaystyle \frac{1}{x^n}
\]
est positive, continue et décroissante sur \([1,+\infty[\).
On compare alors la série avec l’intégrale :
\[
\int_1^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{x^n}\,dx
\]
Pour \(n\neq1\), on a :
\[
\int_1^{A}\displaystyle \frac{1}{x^n}\,dx
=
\left[
\displaystyle \frac{x^{1-n}}{1-n}
\right]_1^A
\]
Donc :
\[
\int_1^{A}\displaystyle \frac{1}{x^n}\,dx
=
\displaystyle \frac{A^{1-n}-1}{1-n}
\]
Lorsque \(n>1\), on a :
\[
A^{1-n}\longrightarrow0
\]
quand \(A\to+\infty\). Ainsi :
\[
\int_1^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{x^n}\,dx
=
\displaystyle \frac{1}{n-1}
\]
L’intégrale est finie, donc la série de Riemann converge.
Exemple fondamental : zêta 2
La valeur :
\[
\zeta(2)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^2}
\]
est l’une des plus célèbres.
Euler a montré que :
\[
\zeta(2)
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\]
Autrement dit :
\[
1+\displaystyle \frac{1}{2^2}
+\displaystyle \frac{1}{3^2}
+\displaystyle \frac{1}{4^2}
+\cdots
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\]
Cette égalité est remarquable, car elle relie une série portant uniquement sur les entiers à la constante géométrique \(\pi\).
On peut donner une approximation numérique :
\[
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\approx1{,}6449
\]
Ainsi :
\[
\zeta(2)\approx1{,}6449
\]
Exemple : zêta 3
La valeur :
\[
\zeta(3)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^3}
\]
est appelée constante d’Apéry.
Contrairement à \(\zeta(2)\), elle ne possède pas de formule simple en fonction de \(\pi\) connue sous une forme élémentaire.
On sait toutefois que :
\[
\zeta(3)\approx1{,}202
\]
Cette valeur est plus petite que \(\zeta(2)\), car les termes :
\[
\displaystyle \frac{1}{k^3}
\]
décroissent plus vite que les termes :
\[
\displaystyle \frac{1}{k^2}
\]
Comportement lorsque n augmente
Lorsque \(n\) augmente, les termes :
\[
\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
deviennent très petits pour \(k\geq2\).
Par exemple :
\[
\displaystyle \frac{1}{2^n}
\]
tend rapidement vers \(0\) lorsque \(n\) devient grand.
Comme le premier terme de la série vaut toujours :
\[
\displaystyle \frac{1}{1^n}=1
\]
on s’attend à ce que :
\[
\zeta(n)
\]
se rapproche de \(1\) lorsque \(n\to+\infty\).
En effet :
\[
\lim_{n\to+\infty}\zeta(n)=1
\]
Intuitivement, pour de grands \(n\), presque toute la somme est portée par le premier terme.
Sommes partielles associées
Pour approcher \(\zeta(n)\), on introduit les sommes partielles :
\[
S_N(n)
=
\sum_{k=1}^{N}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
On a alors :
\[
S_N(n)\longrightarrow\zeta(n)
\]
lorsque :
\[
N\to+\infty
\]
Pour \(n>1\), la suite \((S_N(n))\) est croissante, car tous les termes ajoutés sont positifs.
Elle est aussi majorée, puisque la série converge.
Ainsi, par le théorème de convergence monotone des suites réelles :
\[
S_N(n)
\]
converge vers une limite finie, qui est précisément :
\[
\zeta(n)
\]
Majoration du reste
Lorsque l’on remplace \(\zeta(n)\) par une somme partielle, on commet une erreur appelée reste :
\[
R_N(n)
=
\zeta(n)-S_N(n)
\]
On a :
\[
R_N(n)
=
\sum_{k=N+1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
Pour \(n>1\), on peut majorer ce reste par une intégrale :
\[
R_N(n)
\leq
\int_N^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{x^n}\,dx
\]
Donc :
\[
R_N(n)
\leq
\displaystyle \frac{1}{(n-1)N^{n-1}}
\]
Cette estimation permet de savoir combien de termes il faut additionner pour obtenir une approximation donnée de \(\zeta(n)\).
Lien avec les séries de Riemann
La fonction zêta d’ordre \(n\) est directement liée aux séries de Riemann.
Une série de Riemann est une série de la forme :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^\alpha}
\]
Le critère fondamental est :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^\alpha}
\text{ converge}
\Longleftrightarrow
\alpha>1
\]
La fonction zêta rassemble donc toutes les sommes de séries de Riemann convergentes dans une seule notation :
\[
\zeta(\alpha)
\]
Dans le cas où \(\alpha=n\) est un entier, on parle de valeur zêta entière.
Lien avec les nombres premiers
La fonction zêta possède aussi un lien profond avec les nombres premiers.
Pour \(s>1\), on a :
\[
\zeta(s)
=
\prod_{p\ \text{premier}}
\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}
\]
où le produit porte sur tous les nombres premiers \(p\).
Dans le cas d’un entier \(n>1\), cela donne :
\[
\zeta(n)
=
\prod_{p\ \text{premier}}
\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{p^n}}
\]
Cette formule s’appelle le produit eulérien.
Elle montre que la fonction zêta relie l’analyse des séries à l’arithmétique des nombres premiers.
Exemple d’utilisation en probabilités
La fonction zêta permet de construire des lois de probabilité sur \(\mathbb N^*\).
Pour \(n>1\), on peut définir :
\[
\mathbb P(X=k)
=
\displaystyle \frac{1}{\zeta(n)}
\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
pour tout entier \( k\geq1. \)
En effet :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}
\mathbb P(X=k)
=
\displaystyle \frac{1}{\zeta(n)}
\sum_{k=1}^{+\infty}
\displaystyle \frac{1}{k^n}
=
1
\]
La constante :
\[
\displaystyle \frac{1}{\zeta(n)}
\]
sert donc à normaliser la série afin d’obtenir une loi de probabilité.
Comment utiliser zêta n dans un exercice ?
Lorsqu’une série de la forme :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
apparaît, il faut immédiatement reconnaître une série de Riemann.
Il faut ensuite vérifier :
\[
n>1
\]
Si cette condition est vérifiée, on peut écrire :
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
=
\zeta(n)
\]
Dans un exercice, il est utile :
- d’identifier l’exposant \(n\) ;
- de vérifier la convergence avec le critère de Riemann ;
- d’utiliser une somme partielle si une approximation est demandée ;
- de majorer le reste par une intégrale ;
- de reconnaître \(\zeta(2)=\displaystyle \frac{\pi^2}{6}\) si cette valeur est donnée ou admise.
Conclusion
La fonction zêta d’ordre \(n\) est définie, pour tout entier \(n>1\), par :
\[
\zeta(n)
=
\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle \frac{1}{k^n}
\]
Elle correspond à la somme d’une série de Riemann convergente.
Le cas \(n=1\) donne la série harmonique, qui diverge. En revanche, pour tout \( n>1: \)
la série converge et définit une valeur finie.
Les exemples les plus connus sont :
\[
\zeta(2)
=
\displaystyle \frac{\pi^2}{6}
\]
et \( \zeta(3) \) appelée constante d’Apéry.
La fonction zêta relie ainsi les séries, l’analyse, les probabilités et les nombres premiers. Dans un exercice, elle apparaît souvent comme une notation pour désigner la somme d’une série de Riemann convergente.
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