Parmi les grandes constantes des mathématiques, la constante d’Euler (notée \(\gamma\)) occupe une place centrale. Elle apparaît dans l’étude de la série harmonique. En classe préparatoire ECG, cette constante est incontournable : elle fait appel à toutes les notions fondamentales d’analyse de comparaison, d’encadrement, de convergence et de suites adjacentes. C’est un thème qui tombe régulièrement dans les sujets de concours.
La série harmonique et le logarithme népérien
On définit la suite harmonique par :
\[
H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.
\]
La suite \( (H_n) \) est strictement croissante, et elle diverge vers \( +\infty \).
Cependant, elle croît presque comme la fonction logarithme.
L’idée est donc de comparer \( H_n \) et \( \ln(n) \) pour étudier leur différence.
Encadrement de \(H_n\) par des logarithmes
L’idée clé repose sur une inégalité élémentaire mais fondamentale reliant \( \ln \) et \( 1/x \).
Démonstration d’une première inégalité
Pour tout entier naturel \( k \ge 1 \), on a, pour tout réel \( x \) tel que \( k \le x \le k+1 \) :
\[
\frac{1}{k+1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{k}.
\]
Par positivité de l’intégrale, on peut intégrer membre à membre entre \( k \) et \( k+1 \) :
\[
\displaystyle \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k+1}\,dx \;\le\; \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;\le\; \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k}\,dx.
\]
Or :
\[
\int_{k}^{k+1} \frac{1}{k+1}\,dx = \frac{1}{k+1}, \quad
\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x}\,dx = \ln(k+1) – \ln(k), \quad
\int_{k}^{k+1} \frac{1}{k}\,dx = \frac{1}{k}.
\]
Ainsi, on obtient :\[
\frac{1}{k+1} \le \ln(k+1) – \ln(k) \le \frac{1}{k}
\]
Premier encadrement : \( \ln(n+1) \le H_n \)
On somme la partie droite de l’inégalité précédente pour k allant de 1 à n :
\[
\displaystyle \sum_{k=1}^n \big(\ln(k+1) – \ln(k)\big) \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.
\]
La somme de gauche est télescopique :
\[
\sum_{k=1}^n (\ln(k+1) – \ln(k)) = \ln(n+1) – \ln(1) = \ln(n+1).
\]
Ainsi :
\[
\ln(n+1) \le H_n.
\]
Deuxième encadrement : \( H_n \le \ln(n) + 1 \)
De même, on somme cette fois la partie gauche de l’inégalité pour \( k = 1 \) à \( n-1 \) :
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} \le \sum_{k=1}^{n-1} (\ln(k+1) – \ln(k)).
\]
La somme de gauche vaut \( H_n – 1 \), et la somme de droite vaut \( \ln(n) \).
Ainsi :
\[
H_n – 1 \le \ln(n)
\]
Soit encore :
\[
H_n \le \ln(n) + 1
\]
Encadrement final
En combinant les deux résultats précédents, on obtient :
\[
\ln(n+1) \le H_n \le \ln(n) + 1
\]
Cela montre que la différence \( H_n – \ln(n) \) reste bornée et c’est la clé pour introduire la constante d’Euler.
Définition et existence de la constante d’Euler
On introduit deux suites :
\[
u_n = H_n – \ln(n+1), \quad v_n = H_n – \ln(n).
\]
D’après l’encadrement, on a :
\[
0 \le u_n \le v_n \le 1.
\]
On va montrer que ces deux suites sont adjacentes (l’une croissante, l’autre décroissante) et donc convergentes vers une même limite.
\(u_n\) est croissante
\[
u_{n+1} – u_n = (H_{n+1} – \ln(n+2)) – (H_n – \ln(n+1)) = \frac{1}{n+1} – [\ln(n+2) – \ln(n+1)].
\]
Or, pour tout réel \( t > 0 \), on a \( \ln(1+t) \le t \).
En prenant \( t = \frac{1}{n+1} \), on obtient :
\[
\ln(n+2) – \ln(n+1) = \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) \le \frac{1}{n+1}.
\]
Ainsi :
\[
u_{n+1} – u_n \ge 0.
\]
Donc : \( (u_n) \) est croissante.
\(v_n\) est décroissante
\[
v_{n+1} – v_n = (H_{n+1} – \ln(n+1)) – (H_n – \ln(n)) = \frac{1}{n+1} – [\ln(n+1) – \ln(n)].
\]
Or, pour tout \( t > 0 \), \( \ln(1+t) \ge \frac{t}{1+t} \).
En prenant \( t = \frac{1}{n} \), on obtient :
\[
\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \ge \frac{1}{n+1}.
\]
Ainsi :
\[
v_{n+1} – v_n \le 0.
\]
Donc : \( (v_n) \) est décroissante.
Adjacence et convergence
On a, pour tout entier \(n \ge 1\) :
\[
v_n – u_n = \ln(n+1) – \ln(n) = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right).
\]
Observons d’abord que lorsque \(t \to +\infty\)
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0.
\]
Or, on sait, d’après le cours d’analyse, que lorsque \(t \to 0\) :
\[
\ln(1+t) \sim t.
\]
En particulier, en prenant \(t = \frac{1}{n}\), on obtient :
\[
\ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}
\]
Donc :
\[
\lim_{n \to +\infty} \ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 0
\]
Finalement :
\[
\lim_{n \to +\infty}v_n – u_n = 0
\]
Comme \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante, que l’on a toujours \(u_n \le v_n\) et que \(v_n – u_n \to 0\), les deux suites sont adjacentes et convergent vers une même limite, que l’on note \(\gamma\).
Développement asymptotique
\[
H_n = \ln(n) + \gamma + o(1)
\]
Où \( o(1) \) désigne une suite tendant vers \( 0 \).
Sujets de concours avec la notion de constante d’Euler
Cette constante est très courante dans les sujets Emlyon, EDHEC ou même Ecricome. Elle peut faire l’objet d’un problème entier ou d’un exercice unique. Son étude fait appel à plein de connaissances d’analyses du programme d’ECG.
Tu peux retrouver cette constante dans les sujets suivants :
Cette liste est non exhaustive et il est possible de retrouver cette constante dans d’autres sujets. Il s’agit d’un véritable classique.
Conclusion
Cet article t’a présenté les aspects essentiels de la constante d’Euler, une notion indispensable à maîtriser dans le cadre de ton programme de mathématiques ECG. N’hésite pas à approfondir cette notion à l’aide des sujets ci-dessus !
