Les matrices à diagonale dominante constituent une famille importante de matrices carrées. Elles apparaissent naturellement dans l’étude des systèmes linéaires, des méthodes numériques, des suites récurrentes et de certaines matrices issues de problèmes appliqués. L’idée est simple : dans chaque ligne, le coefficient diagonal est suffisamment grand par rapport aux autres coefficients de la même ligne. Cette domination du coefficient diagonal donne souvent de bonnes propriétés à la matrice, notamment en ce qui concerne son inversibilité. Cette notion est particulièrement utile dans les exercices où l’on cherche à montrer qu’une matrice est inversible sans calculer explicitement son déterminant.
Définition d’une matrice à diagonale dominante
Soit :
\[
A=(a_{i,j})\in M_{n}(\mathbb R)
\]
On dit que \(A\) est une matrice à diagonale dominante par lignes si, pour tout \(i\in\{1,\ldots,n\}\), on a :
\[
|a_{i,i}|
\geq
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
Autrement dit, dans chaque ligne, la valeur absolue du coefficient diagonal est supérieure ou égale à la somme des valeurs absolues des autres coefficients de cette ligne.
Lorsque l’inégalité est stricte pour toute ligne, c’est-à-dire lorsque :
\[
|a_{i,i}|
>
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
pour tout \(i\), on dit que la matrice est strictement à diagonale dominante par lignes.
Cette distinction est importante : la domination stricte donne des résultats plus puissants que la domination simple.
Exemple simple
Considérons la matrice :
\[
A=
\begin{pmatrix}
4&-1&1\\
2&5&-1\\
0&-2&3
\end{pmatrix}
\]
On vérifie la domination ligne par ligne.
Pour la première ligne \( |4|=4, \) \( |-1|+|1|=2 \) et \(4>2\)
Pour la deuxième ligne \(|5|=5,\) \(|2|+|-1|=3\) et \(5>3\)
Pour la troisième ligne \(|3|=3,\) \(|0|+|-2|=2\) et \(3>2\)
La matrice \(A\) est donc strictement à diagonale dominante par lignes.
Exemple de domination non stricte
Considérons maintenant :
\[
B=
\begin{pmatrix}
2&-1&1\\
1&3&-1\\
0&-2&2
\end{pmatrix}
\]
Pour la première ligne :
\[
|2|=|-1|+|1|=2
\]
L’inégalité est donc une égalité.
Pour la deuxième ligne :
\[
|3|>|1|+|-1|=2
\]
Pour la troisième ligne :
\[
|2|=|0|+|-2|=2
\]
La matrice \(B\) est à diagonale dominante, mais elle n’est pas strictement à diagonale dominante.
Diagonale dominante par colonnes
On peut aussi définir la domination diagonale par colonnes.
Une matrice \(A=(a_{i,j})\) est dite à diagonale dominante par colonnes lorsque, pour tout \(j\in\{1,\ldots,n\}\), on a :
\[
|a_{j,j}|
\geq
\sum_{i=1,\ i\neq j}^{n}|a_{i,j}|
\]
Cette fois, on compare le coefficient diagonal à la somme des autres coefficients de la même colonne.
La domination stricte par colonnes est définie de manière analogue :
\[
|a_{j,j}|
>
\sum_{i=1,\ i\neq j}^{n}|a_{i,j}|
\]
pour toute colonne \(j\).
Dans la plupart des exercices, on travaille plutôt avec la domination par lignes, mais il faut savoir reconnaître les deux formes.
Résultat fondamental d’inversibilité
Un résultat très important affirme que toute matrice strictement à diagonale dominante par lignes est inversible.
Autrement dit, si :
\[
|a_{i,i}|
>
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
pour tout \(i\), alors :
\[
A\in GL_n(\mathbb R)
\]
La matrice \(A\) est donc inversible.
Ce résultat est particulièrement utile dans les exercices où le calcul du déterminant serait trop long.
Démonstration de l’inversibilité
Supposons que \(A\) soit strictement à diagonale dominante par lignes.
Pour montrer que \(A\) est inversible, il suffit de montrer que son noyau est réduit au vecteur nul.
Soit donc :
\[
X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
\]
tel que :
\[
AX=0
\]
On veut montrer que :
\[
X=0
\]
Supposons par l’absurde que \(X\neq0\). Il existe alors un indice \(i_0\) tel que :
\[
|x_{i_0}|=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|
\]
et :
\[
|x_{i_0}|>0
\]
La ligne \(i_0\) de l’égalité \(AX=0\) donne :
\[
a_{i_0,i_0}x_{i_0}
+
\sum_{j=1,\ j\neq i_0}^{n}
a_{i_0,j}x_j
=
0
\]
Donc :
\[
a_{i_0,i_0}x_{i_0}
=
–
\sum_{j=1,\ j\neq i_0}^{n}
a_{i_0,j}x_j
\]
En prenant les valeurs absolues :
\[
|a_{i_0,i_0}||x_{i_0}|
\leq
\sum_{j=1,\ j\neq i_0}^{n}
|a_{i_0,j}||x_j|
\]
Par définition de \(i_0\), on a :
\[
|x_j|\leq |x_{i_0}|
\]
pour tout \(j\). Ainsi :
\[
|a_{i_0,i_0}||x_{i_0}|
\leq
|x_{i_0}|
\sum_{j=1,\ j\neq i_0}^{n}
|a_{i_0,j}|
\]
Comme \(|x_{i_0}|>0\), on peut simplifier :
\[
|a_{i_0,i_0}|
\leq
\sum_{j=1,\ j\neq i_0}^{n}
|a_{i_0,j}|
\]
Cela contredit la domination stricte.
Donc :
\[
X=0
\]
et :
\[
\ker(A)=\{0\}
\]
La matrice \(A\) est donc inversible.
Attention à la domination non stricte
Une matrice à diagonale dominante non stricte n’est pas forcément inversible.
Par exemple :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
-1&1
\end{pmatrix}
\]
est à diagonale dominante, car :
\[
|1|=|-1|
\]
sur chaque ligne.
Mais les deux lignes sont opposées au signe près et la matrice n’est pas inversible. En effet :
\[
A
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}
\]
Donc, son noyau n’est pas réduit au vecteur nul.
La domination simple ne suffit donc pas, en général, à garantir l’inversibilité.
Lien avec les systèmes linéaires
Les matrices à diagonale dominante apparaissent souvent dans les systèmes linéaires :
\[
AX=B
\]
Lorsque \(A\) est strictement à diagonale dominante, on sait que le système possède une unique solution pour tout second membre \(B\).
Cette propriété est utile en analyse numérique. En effet, certains algorithmes de résolution approchée, comme la méthode de Jacobi ou la méthode de Gauss-Seidel, ont de bonnes propriétés de convergence lorsque la matrice du système est strictement à diagonale dominante.
L’idée est que chaque équation est principalement contrôlée par une inconnue, celle correspondant au coefficient diagonal.
Exemple de système
Considérons le système :
\[
\begin{cases}
4x-y+z=1,\\
2x+5y-z=0,\\
-2y+3z=2.
\end{cases}
\]
La matrice associée est :
\[
A=
\begin{pmatrix}
4&-1&1\\
2&5&-1\\
0&-2&3
\end{pmatrix}
\]
Nous avons vu qu’elle est strictement à diagonale dominante.
On peut donc affirmer directement que le système possède une unique solution, sans avoir besoin de résoudre le système ni de calculer le déterminant de \(A\).
Comment reconnaître une diagonale dominante ?
Dans un exercice, il faut regarder chaque ligne séparément.
Pour chaque ligne \(i\), on calcule :
\[
|a_{i,i}|
\]
puis :
\[
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
Si le coefficient diagonal domine cette somme pour toutes les lignes, la matrice est à diagonale dominante.
Si l’inégalité est stricte pour toutes les lignes, la matrice est strictement à diagonale dominante.
Il ne faut pas se contenter de regarder les signes des coefficients. Ce sont les valeurs absolues qui interviennent.
Cas des matrices symétriques
Lorsque la matrice est symétrique, la domination par lignes et la domination par colonnes sont fortement liées.
En effet, si :
\[
A^T=A
\]
alors les coefficients vérifient :
\[
a_{i,j}=a_{j,i}
\]
La structure des lignes et des colonnes est donc similaire.
Dans certains exercices, une matrice symétrique strictement à diagonale dominante avec des coefficients diagonaux positifs possède des propriétés supplémentaires, notamment en lien avec les formes quadratiques et les matrices définies positives.
Cependant, il faut rester prudent : la diagonale dominante seule ne remplace pas toujours une étude complète de positivité.
Comment utiliser cette notion dans un exercice ?
La méthode est la suivante :
- identifier les coefficients diagonaux \(a_{i,i}\) ;
- calculer la somme des valeurs absolues des autres coefficients sur chaque ligne ;
- vérifier si l’inégalité est stricte ;
- conclure à l’inversibilité si la matrice est strictement à diagonale dominante ;
- utiliser ensuite cette inversibilité pour justifier l’existence et l’unicité d’une solution.
Conclusion
Une matrice est à diagonale dominante lorsque chaque coefficient diagonal domine, en valeur absolue, la somme des autres coefficients de la même ligne.
La condition s’écrit :
\[
|a_{i,i}|
\geq
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
Si l’inégalité est stricte pour toutes les lignes :
\[
|a_{i,i}|
>
\sum_{j=1,\ j\neq i}^{n}|a_{i,j}|
\]
alors la matrice est inversible.
Cette propriété permet d’éviter des calculs de déterminants parfois longs et donne un critère rapide d’inversibilité. Dans un exercice, dès qu’une matrice présente de grands coefficients diagonaux, il faut penser à vérifier si elle est strictement à diagonale dominante.
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