Sur les quatre exercices de l’épreuve ESCP, celui d’analyse est sûrement celui dont l’objectif et/ou la forme varie le plus en fonction des épreuves. En effet, celui-ci peut-tout aussi bien faire intervenir une suite définie par une intégrale, comme l’exercice 4 de l’année dernière, grand classique des sujets ESCP, une simple étude de fonction comme en 2015 ou bien encore déterminer la limite d’une suite, notamment grâce à la méthode des accroissements finis, bien que ce type d’exercice soit beaucoup plus récurrent à Ecricome et pour l’épreuve ESC. Dans tous les cas, pour venir à bout de cet exercice, si la maîtrise du cours est essentielle (la maîtrise des dérivés et du calcul d’intégral doivent être parfaits, les quelques théorèmes et formules sur les suites et séries connus sur le bout des doigts…), ce seront avant tout les capacités à démontrer des inégalités et surtout à réutiliser les résultats démontrés ou obtenus tout au long du problème qui le permettront. En effet, chaque question doit être abordée comme une étape à franchir et, une fois le résultat souhaité obtenu, il est quasiment certain que celui-ci devra être réutilisé dans la, voire les questions suivantes.
Dès lors, rien de mieux que de s’entraîner sur des problèmes à la démarche similaire de ceux posés au concours pour s’habituer à réutiliser chacun des résultats et des inégalités démontrés pour progresser dans l’exercice. Surtout que, finalement, les « astuces » à utiliser pour démontrer une inégalité ou un résultat sont bien souvent les mêmes et s’il est assez difficile de les voir lorsque l’on n’a jamais été confronté à un tel problème, une fois la solution comprise, la démarche à suivre vous semblera évidente sur les problèmes d’après, d’où la nécessité de se confronter à ce type d’exercice.
De plus, c’est sûrement l’exercice où le sujet vous prend par la main et vous guide le plus. C’est bien souvent un enchaînement d’encadrement à démontrer, une limite de la suite à trouver, une série particulière à reconnaître, une formule à établir grâce à une intégration par parties… La plupart du temps, la question vous indique le résultat à retrouver et cela possède un énorme avantage : ne pas réussir une question n’est pas fatale. On vous donne le résultat que vous devez probablement réutiliser dans les questions suivantes pour passer d’un encadrement à un suivant. Dès lors, même sans avoir réussi à démontrer les résultats, il reste malgré tout possible par exemple de gratter des points en déterminant la limite de la suite par exemple. Ainsi, bloquer sur une question n’entraine pas un effet domino comme cela peut être le cas dans d’autres types d’exercices.
Dans cet article, comme pour les matrices, voici donc dix problèmes tout à fait similaires à ceux que l’on retrouve dans les annales afin de s’entraîner sur ces exercices certes, particulier, mais qui deviennent très faciles une fois que l’on a le réflexe de partir de ce qui a été démontré ou de ce qui est dit dans l’énoncé pour parvenir au résultat exigé. Cependant, cette fois, ils ne sont pas classés par difficulté, car le but est plutôt de proposer deux ou trois exercices sur chaque archétype de problèmes afin d’avoir un entraînement varié et complet.
Il y a donc des exercices avec une suite définie par une intégrale, l’étude d’une suite grâce à une fonction auxiliaire, que ce soit grâce à la méthode des accroissements finis ou pas (le théorème des accroissements finis n’est plus au programme donc il n’est pas à connaître. Par contre, rien n’empêche les sujets d’établir un questionnement visant à suivre le même chemin sans pour autant citer explicitement ce théorème), ou encore l’utilisation d’études de fonctions, d’inégalités, et d’encadrement pour approcher un résultat.
Dans chacun des archétypes, il faut repérer les questions qui tombent à coup sûr, les récurrences (notamment pour les exercices du type un+1=f(un) qui sont exactement toujours pareils et enfin les astuces pour parvenir à démontrer certaines inégalités ou propriétés (par exemple, lorsque l’on demande la monotonie d’une suite, toujours essayer de calculer un+1-un, surtout dans les suites définies par une intégrale, c’est bien souvent amplement suffisant). Enfin, il va de soi que le peu de formules à connaître doit l’être. Dans ce genre d’exercices, dresser un tableau de variations, calculer une limite, reconnaître le terme général d’une série ou d’une suite, connaître les critères pour utiliser le théorème de la bijection ou affirmer la convergence d’une suite seront les questions simples qui vous feront gagner facilement des points donc ne les perdez pas bêtement. En ce qui concerne les séries, que beaucoup ont quand même du mal à maîtriser, les deux premiers exercices leur sont consacrés. Le but est de reconnaître de quel terme général d’une série la suite semble s’approcher pour ensuite faire en sorte de retrouver ce terme général. Lorsque vous voyez un n ! en tant que dénominateur dans une somme, c’est généralement qu’il y a une série exponentielle cachée pas loin. De même, lorsque la somme est du type un+1-un, il faut penser à la méthode du télescopage, que l’on a tendance a oublié. Beaucoup ne parviennent pas à démontrer les résultats demandés tout simplement parce qu’ils ne pensent pas à ce chapitre négligé à tort car c’est là que se fait la différence.
Enfin, je vous remets les corrigés des sujets 2015, 2016 et 2017. Pour le sujet 2015, l’exercice portant sur l’analyse était l’exo 1, pour le 2016, c’était l’exo 2 et enfin pour le 2017, c’était l’exo 4.
exercice 1 ; exercice 2 ; exercice 3 ; exercice 4 ; exercice 5 ; exercice 6 ; exercice 7 ; exercice 8 ; exercice 9 ; exercice 10
