Nous allons nous intéresser à une notion majeure du programme ECT : les coefficients binomiaux. Si, jusqu’ici, les exercices qui se focalisent sur cette partie du programme sont rares, cette dernière reste indispensable pour traiter les exercices de probabilités dès lors que l’on aborde la loi binomiale. Par ailleurs, les sujets de l’ESCP des deux dernières années montrent clairement une hausse du niveau de difficulté. Or, les coefficients binomiaux, fréquemment utilisés dans les sujets EDHEC (mathématiques appliquées), pourraient très bien être au cœur d’un exercice, notamment en ce qu’ils permettent de mesurer la rigueur et la maîtrise du cours des étudiants.
Éléments de cours
Définition n° 1 : factorielle
Pour maîtriser les coefficients binomiaux, il est nécessaire de comprendre la notion de factorielle.
On appelle factorielle de n l’entier naturel noté \(n!\) défini sur \(\mathbb{N*}\) par :
\(
n! =
\begin{cases}
1 & \text{si } n = 0, \\[0.5em]
\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k=1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n & \text{si } n \geq 1
\end{cases}
\)
Exemple :
\(
\begin{aligned}
5! &= 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \\[1em]
&= 120
\end{aligned}
\)
Méthode n° 1 : simplification d’une fraction de deux factorielles
Pour simplifier cela, rien de plus simple, il suffit de développer puis d’éliminer les termes communs.
Exemple :
\(
\begin{aligned}
&\frac{(n+2)!}{n!} \\[1em]
&= \frac{1 \times 2 \times \dots \times n \times (n+1) \times (n+2)}{1 \times 2 \times \dots \times n} \\[1em]
&= (n+1)(n+2)
\end{aligned}
\)
Définition n° 2 : coefficient binomial
On appelle « coefficient binomial de k parmi n », le réel défini par :
\(\forall (n,k) \in \mathbb{N^2}, \ n \ge k \):
\[{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{(k!)\times(n-k)!}\]
Exemple :
\(
\begin{aligned}
\binom{3}{2} &= \frac{3!}{2! \,(3-2)!} \\[0.8em]
&= \frac{3!}{2! \cdot 1!} \\[0.8em]
&= \frac{3!}{2!} \\[0.8em]
&= \frac{1 \times 2 \times 3}{1 \times 2} \\[0.8em]
&= 3
\end{aligned}
\)
Propriété n° 1
\({{n}\choose{0}} = 1 \)
\({{n}\choose{1}} = n \)
Tu peux démontrer ces deux résultats en utilisant la définition ci-dessus.
Propriété n° 2 : symétrie
\[{{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} \]
Propriété n° 3 : identité d’absorption (hors programme)
\[k{{n}\choose{k}} = n{{n-1}\choose{k-1}}\]
\[k(k-1){{n}\choose{k}} = n(n-1){{n-2}\choose{k-2}}\]
Ces deux résultats sont démontrables en faisant le calcul. Cette propriété est hors programme, mais peut être très utile pour simplifier une somme.
Propriété n° 4 : triangle de Pascal
\(\forall n \in \mathbb{N*}, \forall k \in [\! [1,n]\!]\)
\[{{n}\choose{k}} = {{n-1}\choose{k-1}} + {{n-1}\choose{k}} \]
Ici aussi, un simple calcul suffit.
Définition n° 3 : binôme de Newton
Le binôme de Newton est une formule magnifique qui permet de développer une puissance entière d’un binôme (a + b) sous la forme d’une somme.
\(\forall (a,b) \in \mathbb{R^2}, \ \forall n \in
\mathbb{N}\)
\[(a+b)^n= \sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}a^nb^{n-k} \]
⚠️ Pour que cela fonctionne, il faut que la somme commence à k=0. Si ce n’est pas le cas, il est nécessaire de faire un changement d’indice.
Propriété n° 5 : somme de K parmi N
\[\sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}} = 2^n\]
Démonstration
\( \begin{align}\sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}} &= \sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}(1)^k(1)^{n-k}
\\ &= (1 + 1)^n\quad \text{(D’après la formule du binôme de Newton)} \\\
&= 2^n \end{align}\)
Méthode n° 2 : simplifier une somme par le binôme de newton (et l’identité d’absorption)
Les sommes qui comportent des coefficients binomiaux se simplifient quasiment toujours d’une manière similaire. Il suffit d’abord d’appliquer l’identité d’absorption, puis le binôme de Newton.
Exemple : simplifions la somme S
\begin{aligned}
S &= \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} \\[0.5em]
&= \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} && \text{(c’est la même chose)} \\[0.5em]
&= \sum_{k=1}^{n} n \binom{n-1}{k-1} && \text{(par identité d’absorption)} \\[0.5em]
&= n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} && \text{(Le n peut sortir de la somme)} \\[0.5em]
&= n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} && \text{(changement d’indice)} \\[0.5em]
&= n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} 1^k \, 1^{\,n-1-k} \\[0.5em]
&= n (1+1)^{n-1} && \text{(binôme de Newton)} \\[0.5em]
&= \boxed {n\, 2^{n-1}}
\end{aligned}
Propriété n° 6 : une somme particulière (hors programme)
\[\sum_{k=p}^{n}{{k}\choose{p}} = {{n+1}\choose{k+1}} \]
Ce résultat se démontre aisément par récurrence sur n (c’est un bon exercice).
Applications (EDHEC 2020 ECE)
Question 6c)
On pose q = 1-p
\[
\boxed{
\text{Soit } \mathbb{E}(Y) = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k \left( \sum_{i=1}^{k} \binom{k-1}{i-1} p^i q^{k-i} \right)
\quad\text{Montrons que :}\quad
\mathbb{E}(Y) = \frac{p(m+1)}{2}
}\]
\begin{aligned}
\mathbb{E}(Y)
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \left( k \sum_{i=1}^{k} \binom{k-1}{i-1} p^i q^{k-i} \right) \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} p^{i+1} q^{k – (i + 1)}
&& \text{(changement d’indice)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} p \cdot p^i q^{k – (i + 1)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k p \left( \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} p^i q^{k – (i + 1)} \right)
&& \text{(linéarité)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k p \left( p + q \right)^{k-1}
&& \text{(d’après la formule du binôme de Newton)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k p \left( p + 1 – p \right)^{k-1}
&& \text{(car \( q = 1 – p \))} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} k p \\[0.5em]
&= \frac{p}{m} \sum_{k=1}^{m} k \\[0.5em]
&= \frac{p}{m} \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)
&& \text{(formule $\sum_{k=1}^m k$)} \\[0.5em]
&= \boxed{\frac{p(m+1)}{2}}
\end{aligned}
Question 7b)
\[
\boxed{
\text{Soit } \mathbb{E}(Y(Y-1)) = \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} \left( k(k-1) \sum_{i=2}^{k} \binom{k-2}{i-2} p^i q^{k-i} \right)
\quad\text{Montrons que :}\quad
\mathbb{E}(Y(Y-1)) = \frac{(m^2 – 1)p^2}{3}
}\]
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}(Y(Y-1))
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} \left( k(k-1) \sum_{i=2}^{k} \binom{k-2}{i-2} p^i q^{k-i} \right) \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) \sum_{i=0}^{k-2} \binom{k-2}{i} p^{i+2} q^{k-i-2}
&& \text{(changement d’indice)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) p^2 \sum_{i=0}^{k-2} \binom{k-2}{i} p^i q^{k-i-2}
&& \text{(factorisation)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) p^2 \cdot (p + q)^{k-2}
&& \text{(d’après le binôme de Newton)} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) p^2 \cdot (1)
&& \text{(car \( p + q = 1 \))} \\[0.5em]
&= \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) p^2 \\[0.5em]
&= \frac{p^2}{m} \sum_{k=2}^{m} k(k-1) \\[0.5em]
&= \frac{p^2}{m} \sum_{k=1}^{m} k(k-1)
&& \text{(ajout du terme nul pour \(k = 1\))} \\[0.5em]
&= \frac{p^2}{m} \sum_{k=1}^{m} \left( k^2 – k \right) \\[0.5em]
&= \frac{p^2}{m} \left( \sum_{k=1}^{m} k^2 – \sum_{k=1}^{m} k \right)
&& \text{(par linéarité)} \\[0.5em]
&= \frac{p^2}{m} \left( \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} – \frac{m(m+1)}{2} \right)
&& \text{(formules usuelles)} \\[0.5em]
&= \boxed{\frac{(m^2 – 1)p^2}{3}}
\end{aligned}
\]
Ces questions sont loin d’être évidentes, mais elles sont à ta portée. Je te mets ci-dessous d’autres sujets à traiter pour t’entraîner à manier les coefficients binomiaux :
