Les matrices de Toeplitz constituent une famille particulière de matrices dans lesquelles les coefficients restent constants le long de chaque diagonale. Leur structure régulière les rend faciles à reconnaître et particulièrement utiles dans de nombreux domaines, comme l’algèbre linéaire, les probabilités, le traitement du signal ou encore l’étude des suites récurrentes. Bien que cette notion soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un sujet sous la forme d’une matrice construite à partir d’une suite, d’une relation de récurrence ou d’un problème portant sur les puissances d’une matrice. Comprendre leur forme permet souvent de simplifier les calculs et d’identifier rapidement des propriétés importantes. Dans cet article, nous allons définir les matrices de Toeplitz, présenter leurs principaux exemples et expliquer comment les manipuler dans un exercice.
Définition d’une matrice de Toeplitz
Une matrice carrée \(A=(a_{i,j})\in\mathcal M_n(\mathbb R)\) est appelée matrice de Toeplitz lorsque ses coefficients sont constants sur chaque diagonale parallèle à la diagonale principale.
Autrement dit :
\[
a_{i,j}=a_{i+1,j+1}
\]
dès que les deux coefficients considérés existent.
Une matrice de Toeplitz de taille \(n\) s’écrit donc sous la forme :
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_0 & a_{-1} & a_{-2} & \cdots & a_{-(n-1)}\\
a_1 & a_0 & a_{-1} & \cdots & a_{-(n-2)}\\
a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & a_{-(n-3)}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_0
\end{pmatrix}
\]
Chaque diagonale est donc déterminée par un unique coefficient.
La diagonale principale est constante et égale à \(a_0\). La première diagonale située au-dessus est constante et égale à \(a_{-1}\), tandis que la première diagonale située en dessous est constante et égale à \(a_1\).
Exemple simple
Considérons la matrice :
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 & 3\\
5 & 2 & 1 & 4\\
7 & 5 & 2 & 1\\
6 & 7 & 5 & 2
\end{pmatrix}
\]
La diagonale principale est constituée uniquement du nombre \(2\).
La diagonale située juste au-dessus contient uniquement le nombre \(1\), puis la diagonale suivante contient uniquement le nombre \(4\).
De même, la première diagonale située sous la diagonale principale contient uniquement le nombre \(5\), et la suivante contient uniquement le nombre \(7\).
La matrice \(A\) est donc une matrice de Toeplitz.
En revanche, la matrice :
\[
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 2\\
6 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\]
n’est pas une matrice de Toeplitz, car les coefficients de la diagonale principale ne sont pas constants.
Comment reconnaître une matrice de Toeplitz ?
Pour vérifier qu’une matrice est une matrice de Toeplitz, il suffit de comparer les coefficients situés sur une même diagonale.
On peut utiliser la condition :
\[
a_{i,j}=a_{i-1,j-1}
\]
pour tous les indices \(i\) et \(j\) tels que \(i\geq2\) et \(j\geq2\).
Cela signifie que chaque coefficient, sauf ceux de la première ligne et de la première colonne, doit être égal au coefficient situé en haut à gauche.
Une matrice de Toeplitz est donc entièrement déterminée par sa première ligne et sa première colonne.
Pour une matrice de taille \(n\), il suffit de connaître :
\[
2n-1
\]
coefficients, au lieu des \(n^2\) coefficients nécessaires pour une matrice quelconque.
Matrices de Toeplitz triangulaires
Une matrice de Toeplitz peut être triangulaire supérieure. Elle s’écrit alors :
\[
T=
\begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\
0 & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2}\\
0 & 0 & a_0 & \cdots & a_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_0
\end{pmatrix}
\]
On retrouve la même valeur \(a_0\) sur toute la diagonale principale.
De même, une matrice de Toeplitz triangulaire inférieure est de la forme :
\[
T=
\begin{pmatrix}
a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0\\
a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_0
\end{pmatrix}
\]
Ces matrices apparaissent naturellement lorsqu’on écrit des relations de récurrence ou des systèmes dans lesquels chaque équation dépend des termes précédents de la même manière.
Matrices de Toeplitz symétriques
Une matrice de Toeplitz est symétrique lorsque les diagonales situées de part et d’autre de la diagonale principale sont identiques.
Elle s’écrit alors :
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\
a_1 & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2}\\
a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & a_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_0
\end{pmatrix}
\]
Dans ce cas :
\[
a_{i,j}=a_{j,i}
\]
La matrice est donc à la fois une matrice de Toeplitz et une matrice symétrique.
Par exemple :
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
1 & 2 & 1\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
est une matrice de Toeplitz symétrique.
Comme toute matrice réelle symétrique, elle est diagonalisable dans une base orthonormale.
Exemple fondamental : une matrice tridiagonale
Une matrice de Toeplitz très fréquente est la matrice tridiagonale :
\[
T=
\begin{pmatrix}
a & b & 0 & \cdots & 0\\
c & a & b & \ddots & \vdots\\
0 & c & a & \ddots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b\\
0 & \cdots & 0 & c & a
\end{pmatrix}
\]
Seules trois diagonales contiennent des coefficients non nuls :
- la diagonale principale, constituée de \(a\) ;
- la diagonale supérieure, constituée de \(b\) ;
- la diagonale inférieure, constituée de \(c\).
Lorsque \(b=c\), la matrice est symétrique.
Ce type de matrice apparaît souvent dans l’étude des suites récurrentes, des chaînes de Markov ou de certaines équations discrètes.
Lien avec les suites récurrentes
Les matrices de Toeplitz peuvent être utilisées pour représenter des opérations portant sur une suite.
Considérons par exemple une suite \((u_n)\) et une suite \((v_n)\) définies par :
\[
v_n=a_0u_n+a_1u_{n-1}+a_2u_{n-2}
\]
pour les indices où cette expression est définie.
En regroupant les termes dans des vecteurs colonnes, cette relation peut s’écrire à l’aide d’une matrice de Toeplitz triangulaire inférieure.
Par exemple :
\[
\begin{pmatrix}
v_0\\
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_0 & 0 & 0 & 0\\
a_1 & a_0 & 0 & 0\\
a_2 & a_1 & a_0 & 0\\
0 & a_2 & a_1 & a_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_0\\
u_1\\
u_2\\
u_3
\end{pmatrix}
\]
La régularité des diagonales traduit le fait que la même combinaison linéaire est répétée à chaque rang.
Addition et multiplication par un scalaire
La somme de deux matrices de Toeplitz de même taille est encore une matrice de Toeplitz.
En effet, si \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) sont de Toeplitz, alors :
\[
a_{i,j}=a_{i+1,j+1}
\]
et :
\[
b_{i,j}=b_{i+1,j+1}
\]
Donc :
\[
a_{i,j}+b_{i,j}
=
a_{i+1,j+1}+b_{i+1,j+1}
\]
De même, si \(\lambda\in\mathbb R\), alors \(\lambda A\) est encore une matrice de Toeplitz.
L’ensemble des matrices de Toeplitz de taille \(n\) forme donc un sous-espace vectoriel de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\).
Sa dimension est :
\[
2n-1
\]
car une matrice de Toeplitz est entièrement déterminée par les \(2n-1\) coefficients de sa première ligne et de sa première colonne.
Attention au produit de deux matrices de Toeplitz
Contrairement à la somme, le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas toujours une matrice de Toeplitz.
Par exemple, considérons :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Les matrices \(A\) et \(B\) sont de Toeplitz. Pourtant :
\[
AB=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
La diagonale principale de \(AB\) n’est pas constante, donc \(AB\) n’est pas une matrice de Toeplitz.
Il ne faut donc pas supposer que les matrices de Toeplitz sont stables par multiplication.
Comment aborder une matrice de Toeplitz dans un exercice ?
Lorsqu’une matrice de Toeplitz apparaît, il faut d’abord exploiter sa régularité.
Il est souvent utile :
- d’identifier les diagonales constantes ;
- d’utiliser la première ligne et la première colonne ;
- de rechercher une éventuelle symétrie ;
- de repérer une structure triangulaire ou tridiagonale ;
- de traduire le produit matriciel sous la forme d’une relation de récurrence.
Conclusion
Une matrice de Toeplitz est une matrice dont les coefficients sont constants le long des diagonales parallèles à la diagonale principale. Elle est entièrement déterminée par sa première ligne et sa première colonne.
Ces matrices peuvent être symétriques, triangulaires ou tridiagonales. Elles apparaissent naturellement dans l’étude des suites, des systèmes récurrents et de certaines transformations linéaires.
Les matrices de Toeplitz sont stables par addition et par multiplication par un scalaire, mais elles ne sont pas toujours stables par produit matriciel. Dans un exercice, leur structure régulière doit être utilisée immédiatement afin de réduire le nombre de coefficients à étudier et de simplifier les calculs.
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