Les fractions continues constituent une manière originale de représenter les nombres réels à l’aide d’une succession d’entiers. Elles permettent notamment d’obtenir d’excellentes approximations rationnelles d’un nombre irrationnel et apparaissent dans plusieurs domaines des mathématiques, comme l’arithmétique, les équations diophantiennes ou l’étude des nombres quadratiques. Bien que cette notion soit généralement hors programme en prépa ECG, elle peut apparaître dans un sujet de concours sous la forme d’un algorithme, d’une suite définie par récurrence ou d’une étude matricielle. Comprendre les fractions continues permet donc de travailler plusieurs raisonnements classiques : division euclidienne, récurrence, convergence et approximation.
Définition d’une fraction continue
Une fraction continue finie est une expression de la forme :
\[
a_0+\displaystyle \frac{1}{a_1+\displaystyle \frac{1}{a_2+\displaystyle \frac{1}{\ddots+\displaystyle \frac{1}{a_n}}}}
\]
où \(a_0\) est un entier relatif et où \(a_1,\ldots,a_n\) sont des entiers strictement positifs.
On utilise généralement la notation abrégée :
\[
[a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]
\]
Ainsi :
\[
[2;3,4]
=
2+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{4}}
\]
Calculons cette expression :
\[
3+\displaystyle \frac{1}{4}
=
\displaystyle \frac{13}{4}
\]
Donc :
\[
[2;3,4]
=
2+\displaystyle \frac{4}{13}
=
\displaystyle \frac{30}{13}
\]
Toute fraction continue finie représente donc un nombre rationnel.
Développement d’un nombre rationnel
Réciproquement, tout nombre rationnel peut être écrit sous la forme d’une fraction continue finie. Pour obtenir ce développement, on utilise l’algorithme d’Euclide.
Considérons, par exemple :
\[
x=\displaystyle \frac{43}{13}
\]
On effectue la division euclidienne de \(43\) par \(13\) :
\[
43=3\times13+4
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{43}{13}
=
3+\displaystyle \frac{4}{13}
=
3+\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{13}{4}}
\]
Puis :
\[
13=3\times4+1
\]
Ainsi :
\[
\displaystyle \frac{13}{4}
=
3+\displaystyle \frac{1}{4}
\]
On obtient finalement :
\[
\displaystyle \frac{43}{13}
=
3+\displaystyle \frac{1}{3+\displaystyle \frac{1}{4}}
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{43}{13}=[3;3,4]
\]
Le développement en fraction continue d’un rationnel s’arrête toujours, car l’algorithme d’Euclide finit par produire un reste nul.
Fractions continues infinies
Pour représenter un nombre irrationnel, on utilise une fraction continue infinie :
\[
[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]
\]
Cela correspond formellement à l’expression :
\[
a_0+\displaystyle \frac{1}{a_1+\displaystyle \frac{1}{a_2+\displaystyle \frac{1}{a_3+\cdots}}}
\]
Le développement ne s’arrête jamais. En effet, si le développement était fini, le nombre obtenu serait rationnel.
Ainsi, un réel est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini.
Comment construire le développement d’un réel ?
Soit \(x\) un réel positif. On commence par prendre sa partie entière :
\[
a_0=\lfloor x\rfloor
\]
On écrit alors :
\[
x=a_0+r_0
\]
avec :
\[
0\leq r_0<1
\]
Si \(r_0\neq0\), on inverse la partie décimale :
\[
x_1=\displaystyle \frac{1}{r_0}
\]
Puis, on pose :
\[
a_1=\lfloor x_1\rfloor
\]
et on recommence le même processus.
Plus généralement, on définit :
\[
a_n=\lfloor x_n\rfloor
\]
puis :
\[
x_{n+1}
=
\displaystyle \frac{1}{x_n-a_n}
\]
tant que \(x_n-a_n\neq0\).
Cette construction produit les coefficients successifs de la fraction continue.
Exemple avec le nombre \(\sqrt{2}\)
Considérons :
\[
x=\sqrt{2}
\]
Comme :
\[
1<\sqrt{2}<2
\]
on a :
\[
a_0=1
\]
Puis :
\[
\sqrt{2}-1
\]
est la partie restante. Son inverse vaut :
\[
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}
\]
En rationalisant :
\[
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}
=
\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}
=
\sqrt{2}+1
\]
Or :
\[
2<\sqrt{2}+1<3
\]
donc :
\[
a_1=2
\]
La partie décimale restante est encore :
\[
\sqrt{2}-1
\]
Le processus recommence donc de manière identique. On obtient :
\[
\sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots]
\]
On note parfois plus simplement :
\[
\sqrt{2}=[1;\overline{2}]
\]
La barre indique que le coefficient \(2\) se répète indéfiniment.
Réduites d’une fraction continue
Les fractions obtenues en interrompant progressivement le développement sont appelées les réduites ou les convergents.
Pour \(\sqrt{2}\), on obtient successivement :
\[
[1]=1
\]
puis :
\[
[1;2]
=
1+\displaystyle \frac{1}{2}
=
\displaystyle \frac{3}{2}
\]
ensuite :
\[
[1;2,2]
=
1+\displaystyle \frac{1}{2+\displaystyle \frac{1}{2}}
=
\displaystyle \frac{7}{5}
\]
puis :
\[
[1;2,2,2]
=
\displaystyle \frac{17}{12}
\]
Ainsi, les premières réduites de \(\sqrt{2}\) sont :
\[
1,\quad
\displaystyle \frac{3}{2},\quad
\displaystyle \frac{7}{5},\quad
\displaystyle \frac{17}{12}
\]
Ces fractions donnent des approximations de plus en plus précises de \(\sqrt{2}\).
Par exemple :
\[
\displaystyle \frac{7}{5}=1{,}4
\]
et :
\[
\displaystyle \frac{17}{12}\approx1{,}4167
\]
alors que :
\[
\sqrt{2}\approx1{,}4142
\]
Calcul des réduites par récurrence
On note généralement la \(n\)-ième réduite :
\[
\displaystyle \frac{p_n}{q_n}
\]
Les numérateurs et les dénominateurs vérifient des relations de récurrence très utiles :
\[
p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}
\]
et :
\[
q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}
\]
avec les conditions initiales :
\[
p_{-2}=0,\qquad p_{-1}=1
\]
et :
\[
q_{-2}=1,\qquad q_{-1}=0
\]
On obtient alors :
\[
\displaystyle \frac{p_n}{q_n}
=
[a_0;a_1,\ldots,a_n]
\]
Cette formulation transforme le calcul d’une fraction continue en un problème de suites récurrentes.
Écriture matricielle
Les relations précédentes peuvent également être écrites sous forme matricielle :
\[
\begin{pmatrix}
p_n&p_{n-1}\\
q_n&q_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\]
Cette écriture explique pourquoi les fractions continues peuvent apparaître dans des exercices d’algèbre linéaire. Elle permet de relier les réduites à des produits de matrices et à des suites définies par récurrence.
Pourquoi les fractions continues donnent-elles de bonnes approximations ?
L’un des principaux intérêts des fractions continues est que leurs réduites approchent très efficacement le nombre initial.
Si :
\[
x=[a_0;a_1,a_2,\ldots]
\]
et si :
\[
\displaystyle \frac{p_n}{q_n}
\]
désigne sa \(n\)-ième réduite, alors l’erreur devient rapidement faible lorsque \(n\) augmente.
Les réduites fournissent même certaines des meilleures approximations possibles parmi les fractions dont le dénominateur reste limité. Elles permettent donc de remplacer un nombre irrationnel par une fraction simple tout en conservant une grande précision.
Fractions continues périodiques
Le développement de \(\sqrt{2}\) est périodique. Ce phénomène se généralise aux nombres irrationnels quadratiques, c’est-à-dire aux solutions irrationnelles d’une équation de degré deux à coefficients entiers.
Par exemple :
\[
\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}
=
[1;1,1,1,\ldots]
=
[1;\overline{1}]
\]
Ce nombre est le nombre d’or.
Un résultat important affirme qu’un réel irrationnel possède un développement en fraction continue périodique à partir d’un certain rang si et seulement s’il est un irrationnel quadratique.
Conclusion
Les fractions continues permettent de représenter un nombre réel à l’aide d’une suite d’entiers. Un rationnel possède un développement fini, tandis qu’un irrationnel possède un développement infini.
Les réduites obtenues en interrompant ce développement donnent des approximations rationnelles particulièrement précises. Elles peuvent être calculées à l’aide de relations de récurrence ou de produits matriciels.
Bien que les fractions continues soient hors programme, elles constituent une notion riche qui mobilise plusieurs outils classiques : divisions euclidiennes, suites, matrices et convergence. Leur étude permet surtout de comprendre comment des fractions simples peuvent approcher avec une grande précision des nombres irrationnels comme \(\sqrt{2}\) ou le nombre d’or. Maîtriser cette notion pourra t’aider aux épreuves parisiennes ainsi qu’aux oraux de mathématiques qui peuvent comporter des notions à la frontière du programme.
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