Les matrices idempotentes forment une famille importante de matrices carrées. Elles apparaissent naturellement lorsqu’on étudie les projections, les sous-espaces vectoriels, les valeurs propres ou encore la diagonalisation. Leur définition est très simple : une matrice idempotente reste inchangée lorsqu’on l’élève au carré. Bien que le terme idempotent puisse sembler technique, les propriétés associées sont accessibles et particulièrement utiles dans les exercices d’algèbre linéaire. Une matrice idempotente permet notamment de décomposer un espace vectoriel en deux sous-espaces supplémentaires. Dans cet article, nous allons définir les matrices idempotentes, étudier leurs principales propriétés et expliquer comment les reconnaître dans un exercice.
Définition d’une matrice idempotente
Soit \(A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\). On dit que \(A\) est une matrice idempotente lorsque :
\[
A^2=A
\]
Autrement dit, multiplier la matrice \(A\) par elle-même ne la modifie pas.
Cette propriété peut également s’écrire :
\[
A(A-I_n)=0
\]
ou encore :
\[
A(I_n-A)=0
\]
Attention : cette égalité ne signifie pas nécessairement que \(A=0\) ou que \(A=I_n\). Contrairement aux nombres réels, un produit de matrices peut être nul sans que l’une des matrices soit nulle.
Les deux exemples les plus simples de matrices idempotentes sont :
\[
0_n
\qquad\text{et}\qquad
I_n
\]
En effet :
\[
0_n^2=0_n
\]
et :
\[
I_n^2=I_n
\]
Un premier exemple
Considérons la matrice :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\]
Calculons son carré :
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&0
\end{pmatrix}
=A
\]
La matrice \(A\) est donc idempotente.
L’endomorphisme associé est défini par :
\[
u(x,y)=(x,0)
\]
Il conserve la première coordonnée et annule la seconde. Il s’agit de la projection sur l’axe des abscisses parallèlement à l’axe des ordonnées.
Cet exemple montre le lien fondamental entre les matrices idempotentes et les projections.
Lien avec les projecteurs
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(p\) un endomorphisme de \(E\). On dit que \(p\) est un projecteur lorsque :
\[
p\circ p=p
\]
En notation plus simple :
\[
p^2=p
\]
Si \(A\) est la matrice de \(p\) dans une base de \(E\), alors :
\[
p^2=p
\Longleftrightarrow
A^2=A
\]
Ainsi, une matrice est idempotente si et seulement si elle représente un projecteur.
L’interprétation est naturelle. Une première application du projecteur envoie un vecteur sur le sous-espace de projection. Une seconde application ne modifie plus ce vecteur, puisqu’il appartient déjà à ce sous-espace.
Image et noyau d’une matrice idempotente
Soit \(p\) un endomorphisme vérifiant :
\[
p^2=p
\]
Son image et son noyau jouent un rôle central.
Si \(y\in Im(p)\), alors il existe \(x\in E\) tel que :
\[
y=p(x)
\]
On obtient :
\[
p(y)=p(p(x))=p^2(x)=p(x)=y
\]
Ainsi, tout vecteur de l’image de \(p\) est fixé par \(p\).
Réciproquement, si \(p(y)=y\), alors \(y\) appartient à l’image de \(p\), puisque :
\[
y=p(y)
\]
On a donc :
\[
Im(p)=\{x\in E\mid p(x)=x\}
\]
L’image de \(p\) est donc l’ensemble des vecteurs fixes du projecteur.
Par ailleurs, le noyau est défini par :
\[
\ker(p)=\{x\in E\mid p(x)=0\}
\]
Les vecteurs du noyau sont ceux qui sont entièrement annulés par le projecteur.
Décomposition de l’espace
Une propriété fondamentale des matrices idempotentes est la décomposition :
\[
E=Im(p)\oplus\ker(p)
\]
Pour le montrer, considérons un vecteur \(x\in E\). On peut écrire :
\[
x=p(x)+\big(x-p(x)\big)
\]
Le vecteur \(p(x)\) appartient naturellement à \(Im(p)\).
De plus :
\[
p\big(x-p(x)\big)
=
p(x)-p^2(x)
=
p(x)-p(x)
=
0
\]
Donc :
\[
x-p(x)\in\ker(p)
\]
Tout vecteur de \(E\) est ainsi la somme d’un vecteur de l’image et d’un vecteur du noyau.
Enfin, si un vecteur \(x\) appartient à la fois à l’image et au noyau, alors :
\[
p(x)=x
\]
car \(x\in Im(p)\), mais également :
\[
p(x)=0
\]
car \(x\in\ker(p)\). On obtient donc \(x=0\), ce qui prouve que la somme est directe.
Valeurs propres d’une matrice idempotente
Soit \(\lambda\) une valeur propre d’une matrice idempotente \(A\). Il existe un vecteur non nul \(X\) tel que :
\[
AX=\lambda X
\]
Comme \(A^2=A\), on a :
\[
A^2X=AX
\]
Or :
\[
A^2X=A(AX)=A(\lambda X)=\lambda AX=\lambda^2X
\]
et :
\[
AX=\lambda X
\]
Donc :
\[
\lambda^2X=\lambda X
\]
Comme \(X\neq0\), on obtient :
\[
\lambda^2=\lambda
\]
Ainsi :
\[
\lambda(\lambda-1)=0
\]
Les seules valeurs propres possibles d’une matrice idempotente sont donc :
\[
0\qquad\text{et}\qquad1
\]
Les vecteurs propres associés à \(1\) sont précisément les vecteurs de l’image, tandis que les vecteurs propres associés à \(0\) sont les vecteurs du noyau.
Diagonalisation d’une matrice idempotente
Toute matrice idempotente est diagonalisable.
En effet, l’espace se décompose sous la forme :
\[
E= Im(p)\oplus\ker(p)
\]
On choisit une base de \(Im(p)\), puis une base de \(\ker(p)\). La réunion de ces deux bases forme une base de \(E\).
Dans cette base, les vecteurs de l’image sont associés à la valeur propre \(1\), tandis que les vecteurs du noyau sont associés à la valeur propre \(0\).
La matrice de \(p\) prend donc la forme :
\[
\begin{pmatrix}
I_r&0\\
0&0
\end{pmatrix}
\]
où \(r\) désigne la dimension de l’image de \(p\).
Ainsi, toute matrice idempotente est semblable à une matrice diagonale ne contenant que des \(0\) et des \(1\).
La matrice \(I_n-A\)
Si \(A\) est idempotente, alors \(I_n-A\) est également idempotente.
En effet :
\[
(I_n-A)^2
=
I_n-2A+A^2
\]
Comme \(A^2=A\), on obtient :
\[
(I_n-A)^2
=
I_n-2A+A
=
I_n-A
\]
La matrice \(I_n-A\) représente le projecteur complémentaire.
On a notamment :
\[
Im(I_n-A)=\ker(A)
\]
et :
\[
\ker(I_n-A)=Im(A)
\]
Les matrices \(A\) et \(I_n-A\) projettent donc sur deux sous-espaces supplémentaires.
Exemple avec une matrice non diagonale
Considérons :
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix}
\]
Calculons :
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0
\end{pmatrix}
=A
\]
La matrice est donc idempotente, bien qu’elle ne soit pas diagonale.
L’endomorphisme associé est :
\[
u(x,y)=(x+y,0)
\]
Son image est l’axe des abscisses :
\[
Im(u)
=
Vect\big((1,0)\big)
\]
Son noyau est constitué des vecteurs vérifiant \(x+y=0\), donc :
\[
\ker(u)
=
Vect\big((-1,1)\big)
\]
On retrouve bien :
\[
\mathbb R^2
=
Im(u)\oplus\ker(u)
\]
Comment reconnaître une matrice idempotente ?
La méthode la plus directe consiste à calculer \(A^2\) et à vérifier :
\[
A^2=A
\]
Dans certains exercices, on peut aussi utiliser une relation polynomiale. Si une matrice vérifie :
\[
A(A-I_n)=0
\]
alors elle est idempotente.
Il faut ensuite penser immédiatement aux conséquences suivantes :
- la matrice représente un projecteur ;
- ses seules valeurs propres possibles sont \(0\) et \(1\) ;
- elle est diagonalisable ;
- l’espace est la somme directe de son image et de son noyau ;
- la matrice \(I_n-A\) est également idempotente.
Conclusion
Une matrice idempotente est une matrice carrée vérifiant :
\[
A^2=A
\]
Elle représente un projecteur et permet de décomposer l’espace en la somme directe de son image et de son noyau :
\[
E=Im(A)\oplus\ker(A)
\]
Ses seules valeurs propres possibles sont \(0\) et \(1\), ce qui permet de montrer qu’elle est toujours diagonalisable.
Dans un exercice, dès que la relation \(A^2=A\) apparaît, il faut penser aux projecteurs, aux vecteurs fixes, au noyau et à l’image. Cette simple égalité permet ainsi d’obtenir rapidement de nombreuses informations sur la matrice et sur l’endomorphisme associé.
Tu peux retrouver le méga-répertoire qui contient toutes les annales de concours et les corrigés. Tu peux également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques !
