Les formules de Viète établissent un lien fondamental entre les coefficients d’un polynôme et ses racines. Elles permettent notamment de déterminer la somme et le produit des solutions d’une équation polynomiale sans avoir nécessairement à calculer explicitement ces solutions. Ces relations sont particulièrement utiles pour les polynômes de degré deux, mais elles se généralisent également aux polynômes de degré supérieur. Elles interviennent dans de nombreux exercices portant sur les équations, la factorisation, les suites définies par leurs racines ou encore la recherche de relations entre plusieurs solutions. Dans cet article, nous allons présenter les formules de Viète, les démontrer, puis expliquer comment les utiliser efficacement dans les exercices.
Formules de Viète pour un polynôme du second degré
Considérons un polynôme du second degré :
\[
P(x)=ax^2+bx+c
\]
avec :
\[
a\neq0
\]
Supposons que ce polynôme possède deux racines, réelles ou complexes, notées \(x_1\) et \(x_2\).
On peut alors écrire :
\[
P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
En développant :
\[
P(x)
=
a\left(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right)
\]
Donc :
\[
P(x)
=
ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2
\]
En identifiant les coefficients avec :
\[
P(x)=ax^2+bx+c
\]
on obtient :
\[
-a(x_1+x_2)=b
\]
et :
\[
ax_1x_2=c
\]
Ainsi :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
Ce sont les formules de Viète pour un polynôme du second degré.
Formules à retenir
Si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines du polynôme :
\[
ax^2+bx+c
\]
alors :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
Exemple simple
Considérons l’équation :
\[
2x^2-5x+2=0
\]
On a :
\[
a=2,\qquad b=-5,\qquad c=2
\]
Si \(x_1\) et \(x_2\) désignent les deux racines, alors :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle -\frac{-5}{2}
=
\displaystyle \frac{5}{2}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{2}{2}
=
1
\]
On peut vérifier en calculant les racines :
\[
x_1=2
\qquad\text{et}\qquad
x_2=
\displaystyle \frac{1}{2}
\]
On retrouve bien :
\[
2+\displaystyle \frac{1}{2}
=
\displaystyle \frac{5}{2}
\]
et :
\[
2\times\displaystyle \frac{1}{2}=1
\]
Retrouver un polynôme à partir de ses racines
Les formules de Viète peuvent être utilisées dans le sens inverse.
Supposons que l’on connaisse deux nombres \(x_1\) et \(x_2\). Un polynôme ayant ces deux nombres pour racines est :
\[
P(x)=(x-x_1)(x-x_2)
\]
En développant :
\[
P(x)
=
x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2
\]
Si l’on connaît seulement la somme :
\[
S=x_1+x_2
\]
et le produit :
\[
P=x_1x_2
\]
alors \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l’équation :
\[
x^2-Sx+P=0
\]
Cette propriété est souvent utilisée pour construire une équation à partir d’informations portant sur ses solutions.
Exemple de construction d’une équation
On cherche deux nombres dont la somme vaut \(7\) et dont le produit vaut \(10\).
Ces nombres sont les racines de l’équation :
\[
x^2-7x+10=0
\]
On factorise :
\[
x^2-7x+10=(x-2)(x-5)
\]
Les deux nombres cherchés sont donc :
\[
2
\qquad\text{et}\qquad
5
\]
En effet :
\[
2+5=7
\]
et :
\[
2\times5=10
\]
Lien avec le discriminant
Pour le polynôme :
\[
ax^2+bx+c
\]
le discriminant est :
\[
\Delta=b^2-4ac
\]
Lorsque :
\[
\Delta\geq0
\]
les racines réelles sont :
\[
x_1
=
\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
et :
\[
x_2
=
\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
En additionnant ces deux expressions :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle \frac{-2b}{2a}
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
En les multipliant :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle
\frac{b^2-\Delta}{4a^2}
\]
Or :
\[
b^2-\Delta
=
b^2-(b^2-4ac)
=
4ac
\]
Donc :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{4ac}{4a^2}
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
Les formules de Viète sont donc cohérentes avec les formules donnant explicitement les racines.
Utiliser Viète sans calculer les racines
L’un des principaux intérêts des formules de Viète est qu’elles permettent de calculer certaines expressions sans résoudre complètement l’équation.
Supposons que \(x_1\) et \(x_2\) soient les racines de :
\[
3x^2-4x-2=0
\]
On a :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle \frac{4}{3}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle -\frac{2}{3}
\]
Cherchons par exemple :
\[
x_1^2+x_2^2
\]
On utilise l’identité :
\[
x_1^2+x_2^2
=
(x_1+x_2)^2-2x_1x_2
\]
Donc :
\[
x_1^2+x_2^2
=
\left(\displaystyle \frac{4}{3}\right)^2
–
2\left(\displaystyle -\frac{2}{3}\right)
\]
Ainsi :
\[
x_1^2+x_2^2
=
\displaystyle \frac{16}{9}
+
\displaystyle \frac{4}{3}
=
\displaystyle \frac{28}{9}
\]
Il n’a pas été nécessaire de calculer \(x_1\) et \(x_2\) séparément.
Calcul de l’inverse des racines
Supposons que les racines \(x_1\) et \(x_2\) soient non nulles.
On peut calculer :
\[
\displaystyle \frac{1}{x_1}
+
\displaystyle \frac{1}{x_2}
\]
En mettant au même dénominateur :
\[
\displaystyle \frac{1}{x_1}
+
\displaystyle \frac{1}{x_2}
=
\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}
\]
D’après les formules de Viète :
\[
\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}
=
\displaystyle
\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}
\]
Donc :
\[
\displaystyle \frac{1}{x_1}
+
\displaystyle \frac{1}{x_2}
=
\displaystyle -\frac{b}{c}
\]
Cette relation suppose naturellement que :
\[
c\neq0
\]
car sinon l’une des racines est nulle.
Formules de Viète pour un polynôme de degré trois
Considérons maintenant un polynôme de degré trois :
\[
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
\]
Supposons qu’il possède trois racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\). On peut écrire :
\[
P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
\]
En développant :
\[
P(x)
=
a\left[
x^3
-(x_1+x_2+x_3)x^2
+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x
-x_1x_2x_3
\right]
\]
Par identification, on obtient :
\[
x_1+x_2+x_3
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
puis :
\[
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
et enfin :
\[
x_1x_2x_3
=
\displaystyle -\frac{d}{a}
\]
Les signes alternent donc entre les différentes relations.
Formules de Viète dans le cas général
Considérons un polynôme de degré \(n\) :
\[
P(x)
=
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
\]
avec :
\[
a_n\neq0
\]
Supposons que ses racines soient \(x_1,\ldots,x_n\), comptées avec leur multiplicité.
On a :
\[
P(x)
=
a_n\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)
\]
Les formules de Viète donnent alors :
\[
x_1+\cdots+x_n
=
\displaystyle -\frac{a_{n-1}}{a_n}
\]
La somme de tous les produits de deux racines distinctes vaut :
\[
\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j
=
\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_n}
\]
Les signes continuent ensuite à alterner.
Enfin, le produit de toutes les racines vaut :
\[
x_1x_2\cdots x_n
=
(-1)^n
\displaystyle \frac{a_0}{a_n}
\]
Attention aux multiplicités
Les racines doivent être comptées avec leur multiplicité.
Par exemple :
\[
P(x)=(x-2)^2(x+1)
\]
possède les racines :
\[
2,\quad2,\quad-1
\]
La somme des racines vaut donc :
\[
2+2-1=3
\]
Il ne faut pas compter la racine \(2\) une seule fois.
En développant :
\[
P(x)=x^3-3x^2+4
\]
La formule de Viète donne bien :
\[
2+2-1
=
\displaystyle -\frac{-3}{1}
=
3
\]
Comment utiliser les formules de Viète dans un exercice ?
Lorsqu’un polynôme et ses racines apparaissent, il faut identifier immédiatement ses coefficients.
Il est ensuite utile :
- de calculer la somme des racines ;
- de calculer leur produit ;
- de réécrire l’expression demandée à partir de ces deux quantités ;
- d’éviter de calculer explicitement les racines lorsque cela n’est pas nécessaire ;
- de tenir compte des multiplicités ;
- de faire attention à l’alternance des signes pour les degrés supérieurs.
Dans le cas d’un polynôme du second degré, il faut surtout retenir :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
Conclusion
Les formules de Viète relient directement les coefficients d’un polynôme à ses racines. Pour un polynôme du second degré :
\[
ax^2+bx+c
\]
de racines \(x_1\) et \(x_2\), on a :
\[
x_1+x_2
=
\displaystyle -\frac{b}{a}
\]
et :
\[
x_1x_2
=
\displaystyle \frac{c}{a}
\]
Ces relations permettent de construire une équation à partir de ses racines, de calculer des expressions symétriques sans résoudre l’équation et d’étudier plus facilement les propriétés des solutions.
Elles se généralisent aux polynômes de degré supérieur, où les coefficients sont reliés aux sommes et aux produits des racines. Dans un exercice, les formules de Viète constituent souvent le moyen le plus rapide d’exploiter les informations données sans effectuer de calculs inutiles.
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