Voici le corrigé de l’épreuve de mathématiques HEC ECE de 2015.
Lien vers le corrigé : Corrigé maths HEC ECE 2015
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Analyse de l’épreuve :
Le sujet était de difficulté moyenne comparativement aux autres années
Chapitres abordés
Exercice 1 : Application linéaire, diagonalisation, réduction d’endomorphisme, dimension, théorème du rang , représentation matricielle
Problème : Loi exponentielle, estimateurs, fonction de répartition, variable aléatoire à densité, intégrale impropre, changement de variable, série, convergence en loi, variable aléatoire discrète, intervalle de confiance, équivalent, Scilab
Analyse détaillée
L’exercice 1 commence par des questions classiques d’algèbre linéaire (montrer qu’une application linéaire est un endomorphisme, montrer des égalités d’applications). Puis on enchaine sur des questions de diagonalisation (Ne pas oublier que les racines d’un polynôme annulateur d’un endomorphisme sont uniquement des valeurs propres éventuelles). Le théorème du rang devra être utilisé par la suite, notamment pour arriver à une inégalité de dimension. Il faut être à l’aise avec les éléments étudiés (bien reconnaitre qu’est-ce qu’un sous espace, qu’est-ce qu’un vecteur, et qu’est-ce qu’une application linéaire dans les objets qu’on étudie.) et réussir à faire le lien entre les questions. La dernière question porte majoritairement sur une représentation matricielle.
La partie I du problème commence avec des questions faciles, sur la loi exponentielle, et sur la détermination d’un estimateur sans biais convergent. La question 3a est un calcul incontournable, (bien précisé qu’il y a indépendance et que les variables suivent la même loi). Dans la question 3b il faut penser à la convergence absolue. La question 3c est un changement de variable relativement facile, de même pour l’intégration par partie à la question 3e. La question 4a montre qu’il faut bien connaitre les propriétés de l’espérance et de la variance, la 4b est une question sur les séries. La question 4d est une question intéressante portant sur les polynômes où il est important de prendre du recul.
Le début de la partie II se résume à des calculs analytiques autours d’estimateurs sans biais et convergents. La question 6a est intéressante car c’est un travail entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire à densité, la méthode est à retenir. La question 7 porte sur les intervalles de confiance, la méthode est souvent la même donc là encore, cette question est à savoir faire, et avec une rédaction précise. (Elle demande d’être à l’aise avec les principes de convergence en loi)
La dernière partie de ce problème établit la convergence en loi d’une suite de variables vers la loi de Gumbel. Pour cela, elle commence par des calculs simples (mais on ne doit pas oublier les différents arguments permettant d’avancer dans les calculs comme l’indépendance des variables). La question 8c fait appel à des équivalents classiques afin de trouver une certaine limite. La question 9 vise à trouver une limite d’une certaine fonction de répartition et fait appel à des arguments d’analyses. La question 10 fait l’objet d’un travail sur les intégrales (relativement compliqué) pour arriver à notre conclusion. La question 11 porte sur Scilab, elle est relativement longue et assez difficile.
L’exercice et le problème comptaient respectivement pour 20% et 80% des points du barème. Plus précisément, les parties I, II et III du problème comptaient respectivement pour 24%, 21% et 35% des points du barème.
