L’épreuve de mathématiques approfondies de EM-Lyon est souvent considérée comme une épreuve incontournable où de très bonnes notes sont accessibles. En effet, elle est utilisée par un grand nombre d’écoles et elle peut être maîtrisée avec dévouement et persévérance. Dans cet article, nous analyserons ma copie de Maths EML de 2023 notée 20/20 en découvrant les méthodes et les astuces qui ont conduit à ce résultat. Mon objectif est ainsi de te montrer ce qui m’a permis d’avoir une telle note, en soulignant question par question tous les points positifs et négatifs de ma copie.
La copie complète de maths appro de Tanguy
Le premier exercice : faire attention à la rédaction
La première question de ce sujet est assez classique, il est courant de la rencontrer dans les sujets EML, EDHEC et ECRICOME. Lorsque tu es confronté à une telle question il faut que tu sois particulièrement vigilant quant à ta rédaction. D’autant plus que cette dernière est un critère de notation dans les épreuves EML. Tu peux ainsi retenir ce modèle de rédaction pour ces premières questions qui portent sur l’encadrement de la somme harmonique et sur des inégalités d’intégrales. Les points de rédaction les plus importants sont la justification concernant la décroissance de la fonction inverse et la croissance de l’intégrale. Ces deux arguments ne sont pas assez cités par les candidats.
J’ai continuée sur cette lancée en justifiant rigoureusement une limite avec le théorème des gendarmes pour en déduire un équivalent à la série harmonique.
Nous passons désormais aux premières questions de Python qui arrivent tôt dans ce sujet et qui peuvent être un moyen facile de gagner des points. Dans ces questions nous de ne devions pas fournir un algorithme mais simplement analyser et comprendre un programme.
Les questions qui suivent étaient déjà tombées auparavant dans un sujet EDHEC, j’ai donc pu gagner du temps en accélérant. Lorsque que tu rencontres des questions que tu connais il faut que tu en profites pour accélérer, tu pourras utiliser ce temps gagné sur des questions plus complexes. J’ai donc utilisé la formule d’une somme géométrique pour ensuite réaliser une IPP et appliquer le théorème des gendarmes pour obtenir la limite de \( \displaystyle \int_0^x \frac{t^n}{1-t} \mathrm{d}t\) lorsque \(n\) tend ver \(+\infty.\)
Finalement, on arrive à démontrer l’objet de ce premier exercice i.e. la valeur de la série \( \displaystyle \sum_{k \ge 1} \frac{x^k}{k}\) une série qui se rapproche de la série exponentielle sauf qu’ici le dénominateur n’est pas \(k! \; \text{mais} \; k.\)
Un deuxième exercice sur les probabilités
Contrairement aux sujets HEC, il est courant que les parties des sujets EML soient complètement indépendantes les unes des autres. C’est le cas ici avec un deuxième exercice qui porte sur les probabilités après un premier exercice d’analyse.
La première question de ce deuxième exercice est classique car elle consiste à calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire du minimum de \(n\) variables aléatoires. Il faut donc une fois de plus être précis en terme de rédaction en rappelant l’indépendance des \((X_k)_{k \in \mathbb{N}} \) et en présentant correctement la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Il faut ensuite montrer le fait que \(Z_n\) est une variable aléatoire à densité, une question qui peut paraitre déroutante mais qui est en réalité simple. Il faut montrer la continuité de sa fonction de répartition sur \(\mathbb{R}\). Il te suffira de dériver cette fonction de répartition pour obtenir une densité de \(Z_n.\)
Nous retrouvons une question de Python où il faut savoir utiliser la librairie random. Cependant, une seule ligne suffisait pour répondre à cette question.
Les deux questions qui vont suivre sont d’un niveau plus élevé que les questions précédentes et sont donc discriminantes et importantes. La première question porte que la convergence en Loi. C’est un chapitre souvent vu en fin de deuxième année que les étudiants ont tendance à éviter mais qu’il faut maitriser car il tombe régulièrement aux concours. La deuxième question nécessite de se rendre compte que \(\text{inf}(X_1, …, X_n)=X_n\) si et seulement si \(X_n \le \text{inf}(X_1, …, X_{n-1}).\)
La question suivante est originale car contrairement à la 1) b), il faut montrer que la variable \(T_n\) n’est pas à densité. J’ai ici opté pour un raisonnement par l’absurde qui nous fait utiliser le résultat que nous venons de démontrer.
Nous tombons de nouveau sur une question de Python qui fait utiliser la librairie random. Je me suis permis de commenter mon code avec des # pour expliquer les différentes lignes.
Un problème sur les formes linéaires
Nous passons désormais au problème qui correspond à la partie la plus importante de ce sujet. Elle porte sur les formes linéaires i.e. des applications linéaires qui prennent toutes leurs valeurs dans \( \mathbb{R}. \) Les premières questions portent sur des raisonnements que tu as du voir en cours et la fin du sujet te fait étudier les liens entre les hyperplans, les produits scalaires et les formes linéaires.
Avant de se lancer dans le problème il faut comprendre l’objet avec lequel on travaille. Cela te permettra de répondre facilement aux questions du préliminaire qui seront essentielles dans la suite du problème. Elles ont pour but de te faire travailler sur la définition d’une forme linéaire et sur la dimension de l’espace des formes linéaires.
Partie I
La première partie de ce problème te fait travailler sur deux exemples de formes linéaires sur l’espace des polynômes avant de de te faire démontrer des résultats dans le cas général.
Le premier exemple concerne les polynômes et les intégrales. Pour la question a), il fallait montrer que \(g\) est une forme forme linéaire en s’appuyant sur la définition d’une forme linéaire qui était rappelée dans le sujet. Pour la question b), il fallait appliquer un résultat du préliminaire et finalement pour la question c), il fallait appliquer un résultat de cours et faire le calcul d’une intégrale.
Le second exemple porte sur la forme linéaire qui associe à tout polynôme \(P\) la valeur \(P(0).\) De même que dans le premier exemple, il fallait montrer que \(f\) est une forme linéaire en s’appuyant sur la définition d’un telle application. La question b) utilise une fois de plus un résultat du préliminaire et un résultat de cours.
La question 5) a) fait utiliser une fois de plus une question du préliminaire, d’où l’importance de ces questions !
La question 5) b) est relativement simple et c’est une opportunité de la justifier très rigoureusement. J’ai ainsi réalisé un raisonnement par l’absurde qui supposait la négation du prédicat attendu. Cela fait utiliser la négation de quantificateurs de logique.
La 5) c) te fait travailler sur la notion de somme directe et vient vérifier si tu maitrises sa définition. Il faut que tu raisonnes en deux temps en montrant que la somme des dimensions des espaces vaut la dimension de \(E\) puis en montrant que l’intersection de ces espace est réduit au singleton composé de \(0_E.\)
Pour finir cette première partie il faut utiliser le résultat que nous venons de démontrer. Cela nous permet d’affirmer que \(f\) et \(g\) sont des formes linéaires colinéaires.
Partie II
La seconde partie de ce problème porte sur les hyperplans et les liens qu’ils entretiennent avec les formes linéaires.
Cette partie commence avec une question où il suffit d’énoncer le théorème de la base incomplète qui est rappelé dans l’énoncé. Ensuite, il suffit de vérifier que l’application donnée est correcte et de montrer que \( \forall i \in [\![1,n-1]\!], \; \phi(e_i)=0.\)
Pour montrer l’égalité entre les deux ensembles de la question 7) il faut procéder par double inclusion : un raisonnement courant dans ce genre d’exercices.
La question 8) a) nécessite une fois de plus d’utiliser un résultat démontré dans la partie préliminaire. Quant à la question 8) b), il faut appliquer directement le résultat de la 8) a).
La question 9) a) peut paraitre déroutante car elle est ouverte. J’ai donc fait le choix d’encadrer \(m\) entre deux valeurs. Quant à la 9) b), il faut une fois de plus appliquer le théorème de la base incomplète qui est rappelé dans l’énoncé.
J’ai fait le choix de passer la question 9) c) et 10) a) pour me concentrer sur les questions restantes. Cela montre bien qu’il n’est pas nécessaire de faire toutes les questions pour avoir 20/20. De plus, j’ai précisé que je passais les questions et que j’admettais les résultats demandés – un geste généralement apprécié par les correcteurs -.
J’ai cependant réalisé la dernière question de la deuxième partie, la 10) b). Il fallait appliquer le résultat de la question 7) et de la question 10) a), d’où l’importance d’avoir précisé que j’admettais le résultat de la 10) a).
Partie III
Cette dernière partie étend notre objet d’étude à l’algèbre bilinéaire en te faisant travailler avec des produits scalaires. Il s’agira ici de tisser des liens entre les formes linéaires et des produits scalaires.
La question 11) a) te fait utiliser la définition du produit scalaire pour montrer que l’application indiquée qui utilise un produit scalaire est bien une forme linéaire. Quant à la question 11) b), elle nécessite une distinction de cas lorsque \(a\) vaut 0 ou non, il faudra ensuite travailler sur l’orthogonal d’un espace vectoriel. Finalement, la question 11) c) te fait utiliser la définition du produit scalaire avec son caractère défini.
La question 12) te fait démontrer le théorème de représentation des formes linéaires. Dans un premier temps il faut que tu montres que l’application étudiée est linéaire puis tu dois montrer qu’elle injective et surjective i.e. que l’application en question est un isomorphisme. La question 12) c) te fait finalement utiliser le caractère bijectif que tu viens de démontrer.
La question 13) a) est un classique que tu as probablement vu en cours, il faut montrer que l’application qui associe à \((A,B), \; \text{Tr}({}^tAB) \) est un produit scalaire. Cela montre bien qu’il y a des questions qui peuvent rapporter des points facilement même à la fin d’un sujet. Pour la 13) b), il me manque un élément. En effet, il suffit de poser \(B={}^tA\) et nous obtenons l’existence d’une matrice qui respecte les conditions demandées.
Conclusion
Cet article visait à partager mon expérience personnelle sur l’épreuve de mathématiques approfondies de EM-Lyon, où j’ai obtenu la note de 20/20. À travers l’analyse détaillée de ma copie, mon intention était de mettre en lumière les stratégies, méthodes de rédaction, et la préparation rigoureuse qui m’ont aidé à exceller dans cette épreuve.
Les exercices abordés, qu’ils traitent d’analyse, de probabilités, ou d’algèbre, illustrent l’importance d’une compréhension profonde des concepts, d’une rédaction claire, et de la capacité à appliquer des méthodes de résolution efficaces. Les questions de Python soulignent également l’importance de la programmation dans les sujets de concours.
J’espère que le partage de mon expérience et de mes méthodes pourra te guider dans ta préparation aux épreuves de concours.
N’hésite pas à consulter toutes nos autres ressources mathématiques !