Comme je te l’ai expliqué dans mon précédent article, les maths sont devenues obligatoires à l’écrit de la BCE en B/L en 2020. Jusque-là, les candidats devaient choisir pour ce concours entre une épreuve de maths et une épreuve de SES. Et c’est une très bonne chose. En effet, à la BCE tu seras interclassé avec les étudiants des autres filières (ECS, ECE, ECT et A/L), certains d’entre eux ayant deux épreuves de maths. Et dans cette matière, il est possible d’avoir une excellente note. Un petit 19 et hop tu remontes sensiblement dans l’interclassement !
Les statistiques de l’épreuve
Petit débrief de ce sujet 2020. Rappelons tout d’abord que cette épreuve a été co-conçue par HEC et l’ESSEC, et qu’elle a été utilisée par toutes les écoles de la banque BCE, chacune lui attribuant le coefficient de son choix. Le rapport de jury de cette épreuve n’est à ce jour pas disponible sur le site de la BCE, mais on peut lire dans les statistiques données par la banque que 302 candidats B/L ont composé sur cette épreuve, pour une moyenne de 10.02 et un écart-type de 5.57.
Le sujet
Le sujet était constitué de deux exercices et d’un problème, le tout balayant un très large spectre de notions du programme de B/L : probas à densité et intégrales, tracé de courbe, suites, séries, valeurs propres et puissances de matrices, trace, matrice inverse, probas discrètes, avec beaucoup de questions classiques. Un candidat ayant travaillé régulièrement les maths pendant ses deux années de prépa B/L avait donc largement matière à s’exprimer et à obtenir une note honorable, voire très bonne. Voyons le détail de chaque exercice.
Exercice 1
Cet exercice vise à déterminer la densité d’une VAR Z = X + Y, où X et Y sont des VAR à densité suivant une loi étudiée au début de l’exercice. Le produit de convolution ne figurant pas dans le programme de B/L, la formule pour obtenir la densité de Z est donnée dans l’énoncé.
Questions 1 à 3c : classiques pour une VAR à densité à support borné. Comme dans de nombreux sujets de B/L, il y a une courbe à tracer. Et en général, les élèves ne sont pas friands de ce genre de question. C’est dommage car ça se travaille facilement et ça permet de gagner des points précieux !
Question 4a : peut-être un peu plus déroutante avec l’apparition d’un max et d’un min. Pourtant l’équivalence s’obtient facilement en utilisant le support de X.
Question 4b : question facile qui propose d’obtenir une décomposition en éléments simples d’une fonction rationnelle.
Question 5a : si tu as lu le sujet en intégralité auparavant, tu comprends qu’il ne faut pas utiliser la densité de Z puisqu’on te la demande à la question suivante. En revanche il faut utiliser le fait que Z = X + Y, puis la linéarité de l’espérance, et l’indépendance de X et Y permet d’obtenir la variance de Z.
Question 5b : plus délicate, car il faut considérer différents cas (x < 0, x > 2, et x appartenant à [0 ;2] avec à nouveau une disjonction de cas).
Exercice 2
Cet exercice plutôt classique d’analyse peut se faire dès la fin de la première année de B/L. En effet, il ne nécessite que des connaissances sur les suites et les séries.
Question 1a à 1c : ces questions faciles proposent d’étudier la nature d’une suite (divergente, convergente, ou « bien convergente » – notion qui est introduite dans l’énoncé). Pour la question c, il faut penser à utiliser l’égalité remarquable 1-u2=(1-u)(1+u).
Question 2a : pour le calcul de p2n, il ne faut pas hésiter à écrire le produit « à la main » pour voir comment il peut se simplifier.
Question 2b : après calculs, il vient p2n+1=1, ce qui permet de conclure.
Question 3a : il est ici facile de conclure en utilisant une récurrence. Attention à la rédiger rigoureusement.
Question 3b : l’inégalité s’obtient rapidement en utilisant l’écriture sous forme exponentielle. Note que les concepteurs de l’épreuve sont sympas de te rappeler que “a puissance 2n ” est différent de “(a2)n “.
Question 4a : il faut ici penser à écrire un comme le quotient de pn par pn-1, en justifiant que ce dernier n’est pas nul.
Question 4b : en considérant la somme partielle, on se ramène à une somme télescopique en utilisant la question précédente. L’hypothèse de « bien convergence » (je ne sais pas si ça se dit ;-)) de (pn) permet de conclure.
Question 4c : ici on sait que (pn) est divergente, mais a priori rien ne prouve que sa limite est + infini. Il faut donc prouver que cette suite est croissante pour pouvoir conclure.
Problème
Partie I
Toutes les questions de la partie A sont des questions d’algèbre ultra-classiques, voire faciles. Cependant, la 3c est assez chronophage. Dans la 3d, il faut avoir lu le sujet jusqu’au bout, pour voir qu’on te demande seulement dans la partie B de redémontrer que Tr(UV)=Tr(VU). Ce n’est donc pas l’utilisation de ce résultat de cours qui est attendue dans cette question.
Dans la partie B, on est dans Mp(R), avec p entier quelconque supérieur ou égal à 2, mais il n’y a pas de difficultés particulières.
Partie II
Si tu es arrivé jusque-là, tu as déjà bien avancé dans le sujet. Tu lis alors la suite de l’énoncé, et tu te dis : « mais qu’est-ce que c’est que cette histoire de figure colorée ?! » Ça te rappelle peut-être vaguement tes cours de spécialité maths sur les graphes si tu étais en Terminale ES, mais je te sens dubitatif. En effet, cette partie sort des sentiers battus. Mais c’est ça qui est fun ! Dans ce cas, il est important de prendre le temps de bien lire l’énoncé (et les exemples donnés) pour bien comprendre de quoi il retourne.
Il y a beaucoup de texte dans la partie A, mais finalement ce qu’il faut retenir pour traiter les questions de cette partie A, c’est le fait que les F1, F2, … , Fn sont colorées par un élément de C avec équiprobabilité et indépendance.
Dans la partie B, même sans avoir traité les questions 6 et 7, tu peux avancer puisqu’il s’agit à nouveau d’algèbre et de matrices. La question 8 est tout à fait faisable.
La question 9 revient au cas général, pour tenter d’obtenir le nombre de colorations correctes d’une figure donnée, puis se termine avec deux questions de probabilités.
