Coucou gentil(le) B/L !
Aujourd’hui au programme de ce post : un petit débrief sur le sujet de maths tombé au concours ENS en 2020. Tout d’abord, sache que tu peux trouver ici le sujet, le rapport de jury ainsi que les statistiques du concours.
Ce sujet, composé de trois problèmes, sortait un peu des sentiers battus, même si la longueur du sujet était raisonnable. Rappelons qu’il était destiné à des étudiants visant les écoles de la BLSES (les 3 ENS, les écoles de statistiques, les écoles d’ingénieurs du GEIDIC, l’ENSG, l’ISMaPP, les 4 écoles Ecricome, la L3 Sciences Sociales de Dauphine…). Cela étant, il y avait tout de même moyen de tirer son épingle du jeu en repérant les questions faisables, et en les rédigeant correctement. On ne le dira jamais assez, la qualité de la rédaction à l’ENS est primordiale.
Le problème A traitait de nombres complexes, de probas à densité et d’analyse (intégrales). Le problème B était un problème d’algèbre, et le problème C s’intéressait à un problème d’optimisation d’une fonction de q variables, avec un cas particulier pour q=2, et se terminait par de l’algèbre bilinéaire avec des produits scalaires. Voyons chacun des problèmes plus en détail.
Le problème A
Le problème A commençait « gentiment » avec deux questions sur les complexes (il ne s’agissait ni plus ni moins que de redémontrer une formule de trigo de cours). Ce point du programme n’est en général pas vraiment apprécié des étudiants, d’autant qu’il n’a souvent pas trop de lien avec le reste. Là pour le coup, tu pouvais réutiliser le résultat de la question 1b dans le changement de variable de la question 3d.
Les questions 2a à 2d portaient sur une étude de fonctions : ensemble de définition, parité, dérivabilité, et tracé de courbe. Tous les ans il y a un tracé de courbe aux concours B/L, et pourtant les étudiants n’attachent pas beaucoup d’importance à ce genre de question. C’est dommage car ce sont des points facilement gagnés si la courbe est bien faite. De mon temps, on apprenait à tracer des belles courbes dès la classe de 1ère(rho la vieille !)…
Les questions 3a à 3e étaient « originales », dans le sens où tu n’as sans doute jamais vu de probabilité d’un événement du type « (X,Y) appartient à un sous-ensemble de R2 ». C’est pour cela qu’une telle probabilité, donnée par le calcul d’une aire, était donnée et admise. Cependant, il était pratique de connaître pour ces questions l’équation d’un cercle, même si la géométrie n’est pas dans l’esprit du programme de B/L. Si tu ne la connaissais pas, tu pouvais t’en sortir en utilisant la fonction définie dans la question 2. Et si vraiment ça ne t’inspirait pas, tu pouvais sauter les questions 3a, 3b, 3c, et rebondir sur la 3d en admettant la 3c. La question 3e, en revanche, était largement faisable, puisque l’énoncé laissait penser que les événements n’étaient pas indépendants.
Dans la question 4, on revenait à des questions de support d’une VAR D, et de fonction de répartition. Pour la question 4g, il suffisait de montrer que la fonction de répartition de D ne coïncidait pas avec celle d’une VAR suivant une loi uniforme, notamment en 1.
Le problème B
Le problème B était un problème d’algèbre, mais ce n’était pas de l’algèbre linéaire classique. On y parlait valeurs propres, fonctions polynômiales et limite de suites. Les notations de la matrice diagonale et de la fonction polynomiale t’ont peut-être paru un peu funky, mais si si, je t’assure, elles font partie de l’alphabet grec (lambda majuscule, et chi – prononcé « ki »).
Les questions 6a et 6b étaient faisables, voire classiques. Pour les 6c et 6d, on se ramenait à des limites de banales suites géométriques.
Pour la question 7, comme le sujet ne l’indiquait pas, la bonne idée était de faire le tableau de variations de cette fameuse fonction « chi ». Comme ça, en un coup d’œil, tu voyais comment pouvaient se répartir les « zéros » de cette fonction (ie. les valeurs de x qui annulent cette fonction). Pour la 7d, il suffisait de développer la fonction factorisée, et d’identifier les coefficients, et ça te donnait l’égalité souhaitée, étant donné que la fonction « chi » ne possède pas de termes en x2. Pour la 7e, il fallait réutiliser le résultat de la question 7b (1 seule valeur propre > 0) en plus de la 7d et l’affaire était pliée. Pour les questions 7f et 7g, il fallait voir que r + rs = chi(1). Pour conclure ce problème, il fallait utiliser le fait que les 2 racines complexes sont conjuguées, et donc ont même module.
Le problème C
L’intro du problème C pouvait te faire un peu peur, en raison d’un texte un peu long, et d’un lexique particulier (« optimisation », « mécontentement »… lol). Mais c’est là où ta grande force intérieure acquise pendant tes années de prépa peut t’être d’un grand secours. Ne jamais se décourager ! Et essayer de trouver des questions à faire, car il y en a toujours. En l’occurrence, les questions 9 (somme nulle de termes positifs => termes tous nuls), puis 12 à 16 (questions basiques sur les fonctions de 2 variables) étaient à la portée de tous. La 11 aussi, si tu comprenais bien ce qui était attendu.
Même s’il y a parfois des questions faciles qui se cachent à la fin d’un sujet, les questions 17 à 21 étaient tout de même plus délicates.
